2026届高三年级上学期期末质量检测
数 学
本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题
卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.若i为虚数单位，则(1+i2)(1+i?)=
A.2+2i B.2—2i C.2 D.0
2.若两个球的表面积之比为1:9,则它们的体积之比为
A.1:3 B.1:9
C.1:27 D.1:729
3.离散型随机变量ξ的取值为1,2,3,…,9,P(E=k)=ak(k=1,2,3,…,9).若数列{a}为
等差数列，则a?=
A.5 B. c.10 D.9
4.已知动点P在正方体ABCD-A?B?C?D?的侧面CDD?C?内(包括边界)运动，记向量
AP=zAB+yAD+zAA?(x,y,z∈R),则x+y+z的取值范围是
A.[1,2] B.[√2,2√2] C.[1,3] D.[√3,3√3]
5.用模型y=1+log?(kx+b)去拟合y与x的关系，令z=2,得到z关于x的回归直线方
程为z=3x+2,则b=
A.1 B.2 C.3 D.4
6.若曲线y=lnx与圆x2+y2—2my-2+m2=0恰有一个公共点，则实数m的值为
C.
A.e B.2 D.1
高三年级数学试卷 第1页 共4页7.将点A(一6,8)绕着原点O逆时针旋转120°到B点，则B点的坐标为
A.(3-4√3,-4-3√3) B.(3-4√3,-4+3√3)
C.(3+4√3,一4+3√3) D.(-3-4√3,4-3√3)
8.设双曲线C:-62=1(a>0,b>0)上一点P(2,y。)到其两焦点F?(-3,0),F?(3,0)的
c.
距离之和为d?,到y轴的距离为d?.若d?=12d?,则a=
D.4
A.2 B.1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图所示，函数f(z)=2sin(wx+φ)(o<φ<2)
)的图象经过A(0,t),B(1,0),C(2,一1)
三点，则
A.t=1 y4
B.φ=6
A
C.u=5 0 B x
C
D.f(x)在(一5,3)
)上单调递增
10.如果“若p则q”和“若q则p”同为真命题或同为假命题，就称p与q具有“同步关系”.
已知非零函数f(x)的定义域为R,p:y=f(x)为R上的单调递增函数，则p与下列选
项中的q具有“同步关系”的是
A.q:对任意x1,x?∈R,都有(x?—x2)[f(x?)一f(x?)]>0
B.q:y=f(x+1)为R上的单调递增函数
C.q:h(x)=e2·f(x)为R上的单调递增函数
D.q:g(x)=x+f(x)为R上的单调递增函数
11.若X?与X?是相互独立的随机变量，均服从二项分布，且X?～B(n?,p),X?～B(n?,p),
其中n?∈N*,nz∈N°,0<p<1,则下列说法中正确的是
A.E(X?)=n?p
B.D(X?)=(1一p)E(X?)
C.令X=X?+X?,则X～B(n?+n?,p2)
D若AEN“neEN”,满足n一n,≤k<n,则有PXx:-#1IX:+x?-=)-cc
高三年级数学试卷 第2页 共4页三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知数列{a。)的前n项和S。满足Sn+1=S?+2”,则a?=_____.
13.过抛物线y2=4x的焦点F的直线与该抛物线交于A,B两点，若4<|AFI<8,则|BFI
的取值范围是____.
14.若3m∈Z,使得集合A=(a”,a?+3)中包含且仅包含两个整数m+1和m+2,则正实
数a的取值范围是_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cosAcos(C-B)=cosBcos(A—C).
(1)若a=3,求b;
(2)若D为边BC上的点，且CD=2DB,求cos∠CAD的最小值.
16.(15分)
如图，在三棱柱ABC-A?B?C?中，平面A?ACC?⊥平面ABC,A?A=A?C=AC=4,
BC=2,∠BAC=30°,E,F分别是AC,A?B?的中点.
A? C?
(1)证明：EF⊥BC; F
B?
(2)求点F到平面A?BC的距离.
C
A‘ E
B
17.(15分)
f(x)=x+a+1-alnx(a∈R).
已知函数j
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
(2)若3x?∈[1,e],f(x?)≤0,求a的取值范围.
高三年级数学试卷 第3页 共4页18.(17分)
x,2
交于A,B两点(点B
已知O为坐标原点，直线l:y=kx+m与椭圆C:2+y2=1
在点A的右侧),P(xo,y。)是椭圆C在第二象限上的一动点(不同于A,B).
(1)若m=0,直线PA和直线PB的斜率分别记为k?,k?,求k?·k?的值；
(2)若k=1,是否存在点P使得四边形OAPB为平行四边形?若存在，求直线l的方程；
若不存在，请说明理由；
(3)若k=-2y。,m=0,N为线段OB上的一点，|PN|=√2,求证：直线PN 过定点，并
求出定点的坐标.
19.(17分)
甲、乙两人用一副卡牌玩“抢宝藏”游戏，卡牌包含若干对图案相同的普通牌和一张
不能成对的宝藏牌，在分配完卡牌，双方丢弃手中所有已经成对的普通牌后，恰好甲手中
有n(n∈N")张没有成对的普通牌，乙手中有n张没有成对的普通牌和1张宝藏牌，现
按以下规则游戏：
①甲乙轮流抽对方一张牌，甲先抽(甲乙抽对方牌均计入抽牌次数);
②若抽取的牌是宝藏牌则将其保留在手中，否则将手中与之成对的一张牌一并丢弃；
③直到有人手中没有牌时游戏结束，手中只剩宝藏牌的玩家获胜；
(1)若n=5,经过三次抽牌后，求宝藏牌在甲手中的概率；
(2)设游戏开始时甲手中有n张牌，游戏结束时乙获胜的概率为pn,由全概率公式得
p?=2+(1一p1),即p?=3
,类似地，求p?,ps;
(3)记X,为这次游戏结束需要抽牌的次数，期望为E(X?),
求证：E(X。)<n+÷1m2+5(n∈N,n≥3)
高三年级数学试卷 第4页 共4页
