江西省宜春市2025-2026学年上学期高三期末考试数学答案_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年02月高三试卷_260201江西省宜春市2025-2026学年上学期高三期末考试（全科）

宜春市 ２０２５—２０２６学年上学期高三期末考试 数学参考答案及评分细则 １．【答案】Ｂ １＋５ｉ（１＋５ｉ）（１＋ｉ） 【解析】因为（１－ｉ）ｚ＝１＋５ｉ，所以ｚ＝ ＝ ＝－２＋３ｉ，所以复平面内ｚ对应的点为(－２，３)，位于第二象 １－ｉ (１－ｉ)(１＋ｉ) 限．故选Ｂ． ２．【答案】Ｂ 【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，故命题ｐ的否定为ｘ≥３，ｘ－１＜２．故选Ｂ． ３．【答案】Ａ ｐ 【解析】因为Ａ（ｐ，２槡２）为Ｃ上的点，所以２ｐ２＝（２槡２） ２ ，所以ｐ＝２，所以 ＡＦ＝ｐ＋ ＝３．故选Ａ． ２ ４．【答案】Ｂ ｘ 【解析】令 －１＝ｔ，则ｘ＝４（ｔ＋１），得ｆ（ｔ）＝［４（ｔ＋１）］３－１，即 ｆ（ｘ）＝［４（ｘ＋１）］３－１，则 ｆ′（ｘ）＝１９２（ｘ＋１）２≥０，所 ４ 以函数ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递增．故选Ｂ． ５．【答案】Ｃ π π π 【解析】因为单位向量ｍ，ｎ满足〈ｍ，ｍ－ｎ〉＝ ，所以〈ｍ，ｎ〉＝ ，ｍ＋ｎ２＝ ｍ ２＋２ｍ ｎ·ｃｏｓ ＋ｎ２＝３， ３ ３ ３ 所以 ｍ＋ｎ＝槡３．故选Ｃ． ６．【答案】Ｄ １ π ｂ＋ｃ ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ 【解析】由余弦定理及ｂ２＋ｃ２＝ｂｃ＋ａ２，得２ｂｃｃｏｓＡ＝ｂｃ，即ｃｏｓＡ＝ ，所以Ａ＝ ，所以 ＝ ＝ ２ ３ ( π) ( π ) ａｓｉｎＣ＋ ｓｉｎＡｓｉｎ ＋Ｃ ６ ６ (２π ) 槡３ ３ ｓｉｎ －Ｃ＋ｓｉｎＣ ｃｏｓＣ＋ ｓｉｎＣ ３ ２ ２ ＝ ＝２．故选Ｄ． ｓｉｎ π ｓｉｎ ( π ＋Ｃ ) 槡３( 槡３ １ ) ｓｉｎＣ＋ ｃｏｓＣ ３ ６ ２ ２ ２ ７．【答案】Ｃ 【解析】由ｆ（ｘ）＝ｅｘ－ｋ（ｘ３＋５），得ｆ′（ｘ）＝ｅｘ－３ｋｘ２．因为 ｆ（ｘ）存在两个极值点 ｘ，ｘ，所以 ｅ ｘ１＝３ｋｘ２，ｅ ｘ２＝３ｋｘ２，又 １ ２ １ ２ ｅ ｘ１ ｅ ｘ１ ｅ ｘ１ １ ｘ＝３ｘ，所以ｋ＝ ，ｅ ３ｘ１＝２７ｋｘ２，所以ｅ ３ｘ１＝２７· ·ｘ２＝９ｅ ｘ１，解得ｅ ｘ１＝３，ｘ＝ｌｎ３，所以ｋ＝ ＝ ．故选Ｃ． ２ １ ３ｘ２ １ ３ｘ２ １ １ ３ｘ２ （ｌｎ３）２ １ １ １ ８．【答案】Ｄ ３ ３( ３) ３ ３ ３ ３ 【解析】由４ａ ＋３ａ＝３，得ａ － ＝－ ａ－ ，又 ａ＝０，故 ａ－ ＝－ ，所以数列｛ａ－ ｝是以－ 为首项、 ｎ＋１ ｎ ｎ＋１ ７ ４ ｎ ７ １ １ ７ ７ ｎ ７ ７ ３ ３ ３ ( ３) ｎ－１ ３ ３ ( ３) ｎ－１ ７ － 为公比的等比数列，所以ａ－ ＝－ ×－ ，即ａ＝ － ×－ ，ε＞０，取Ｎ＝ｌｏｇ ε＋２，则ｎ＞Ｎ， ４ ｎ ７ ７ ４ ｎ ７ ７ ４ ０ ３３ ０ ４ ３ ３ ３ ( ３) ｎ－１ ３ ３ ( ３) ｎ－１ ３ ( ３) ｌｏｇ３ ７ ３ ε＋１ ３ ３ 有 ａ－ ＝ － ×－ － ＝ × ＜ × ４ ＝ ε＜ε，故Ａ＝ ．故选Ｄ． ｎ ７ ７ ７ ４ ７ ７ ４ ７ ４ ４ ７ 高三数学 第 １页（共６页） 书书书９．【答案】ＡＣＤ（每选对１个得２分） ２π ( π ) π ５π 【解析】函数ｆ（ｘ）的最小正周期是Ｔ＝ ＝２π，故Ａ正确；ｆ（ｘ）的对称中心为 ｋπ－ ，１，ｋ∈Ｚ，令 ｋπ－ ＝－ ， １ ６ ６ ６ ２ π π π π π 得ｋ＝－ Ｚ，故Ｂ错误；令 ｘ＋ ＝ ＋ｋπ，ｋ∈Ｚ，即 ｘ＝ ＋ｋπ，ｋ∈Ｚ，当 ｋ＝０时，ｘ＝ ，故 Ｃ正确；因为－ ＋ ３ ６ ２ ３ ３ ２ π π ２π π ２ｋπ≤ｘ＋ ≤ ＋２ｋπ，ｋ∈ Ｚ，即 － ＋２ｋπ≤ ｘ≤ ＋２ｋπ，ｋ∈ Ｚ，所以 ｆ（ｘ）的单调递增区间为 ６ ２ ３ ３ [ ２π π ] ( π π) [ ２π π ] － ＋２ｋπ， ＋２ｋπ ，ｋ∈Ｚ，由 － ，  － ＋２ｋπ， ＋２ｋπ ，ｋ∈Ｚ，故Ｄ正确．故选ＡＣＤ． ３ ３ ３ ３ ３ ３ １０．【答案】ＢＤ（每选对１个得３分） 【解析】如图，在正方体ＡＢＣＤ－ＡＢＣＤ 中，因为ＡＣ⊥ＣＤ，ＡＣ⊥ＣＢ，ＣＤ∩ＣＢ＝Ｃ，所以ＡＣ⊥平面ＣＢＤ，又平 １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ 面ＣＥＦ与平面 ＣＢＤ 相交，所以 ＡＣ⊥平面 ＣＥＦ错误，故 Ａ错误；由 Ｅ，Ｆ分别是棱 ＢＣ，ＣＤ 上的动点， １ １ １ １ １ １ １ ＥＦ平面ＡＢＣＤ，平面ＡＢＣＤ∥平面ＡＢＣＤ，所以ＥＦ∥平面ＡＢＣＤ，故Ｂ正确；设ＣＥ＝ｘ，ＣＦ＝ｙ，则ｘ２＋ｙ２＝１， １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ ｘｙ １ 故ｘｙ≤ ，所以Ｖ ＝ ·Ｓ ·ＣＣ＝ ≤ ，故 Ｃ错误；设三棱锥 Ｃ－ＣＥＦ的外接球的半径为 Ｒ，则 ２ 三棱锥Ｃ－Ｃ１ＥＦ ３ △Ｃ１ＥＦ １ ６ １２ １ １ （２Ｒ）２＝ｘ２＋ｙ２＋１２＝２，所以Ｒ２＝ ，所以三棱锥Ｃ－ＣＥＦ的外接球的表面积是４πＲ２＝２π，故Ｄ正确．故选ＢＤ． ２ １ $ ! % # ! & ! ! " ! $ # ! " １１．【答案】ＡＣＤ（每选对１个得２分） ( １) ( ３) ｆ１－ ｆ ｘ－１ ２ ( ３) 【解析】在ｆ（ｘ）＝ 中取ｘ＝－１得ｆ（－１）＝－ｆ（１）＝－１＝ ，所以ｆ ＝１，故Ａ正确；当ｘ＞０时，－ｘ＜０， ｘ －１ ２ ( １ ) (ｘ＋２) ｆ１－ ｆ －ｘ－１ ｘ＋１ (ｘ＋２) 所以ｆ（－ｘ）＝ ，即－ｆ（ｘ）＝ ，所以ｆ ＝ｘｆ（ｘ），故Ｂ错误；因为ｆ（ｘ）是定义域为Ｒ的奇函数， －ｘ －ｘ ｘ＋１ ｘ＋２ (ｘ＋２) 所以ｆ(０) ＝０，当ｘ＞０时，令 ＝ｘ，得ｘ＝槡２，把ｘ＝槡２代入ｆ ＝ｘｆ（ｘ）中得ｆ（槡２）＝槡２ｆ（槡２），所以 ｆ（槡２）＝ ｘ＋１ ｘ＋１ ( ３ ) ＋２ ( ３) ２ ３( ３) ３ ０，又ｆ(－槡２) ＝－ｆ（槡２）＝０，所以ｆ（ｘ）＝０至少有３个实根，故Ｃ正确；由ｆ ＝１，得 ｆ ＝ ｆ ＝ ，即 ２ ３ ２ ２ ２ ＋１ ２ ( ７) ３ ４ ７ ３ ( ４ ) ｆ ＝ ，因为 ＜ ＜槡２＜ ＜２，且ｆ（槡２）＝０，所以ｆ（ｘ）在区间 ，２上不单调，故Ｄ正确．故选ＡＣＤ． ５ ２ ３ ５ ２ ３ １２．【答案】３ 【解析】因为Ａ∩Ｂ＝｛０，２｝，所以Ａ∩Ｂ的所有非空子集的个数为２２－１＝３． 高三数学 第 ２页（共６页）１３．【答案】｛０｝∪[２，４] ２ 【解析】２（槡ｘ＋槡ｙ）＝ｘ＋ｙ＝（槡ｘ） ２ ＋（槡ｙ） ２ ≥ （槡ｘ＋槡ｙ） ，所以槡ｘ＋槡ｙ≤４，又（槡ｘ＋槡ｙ）２＝ｘ＋ｙ＋２槡ｘｙ＝２（槡ｘ＋槡ｙ）＋ ２ ２槡ｘｙ，即２槡ｘｙ＝（槡ｘ＋槡ｙ）（槡ｘ＋槡ｙ－２）≥０，解得槡ｘ＋槡ｙ≤０或槡ｘ＋槡ｙ≥２，所以槡ｘ＋槡ｙ＝０或２≤槡ｘ＋槡ｙ≤４，即 ａ＝ ０或２≤ａ≤４． １４．【答案】槡３ ｙ ｙ ｙ 【解析】设Ｍ(ｘ，ｙ)，ｘ＞ａ，ｙ＞０，则 ｋ＝ ０ ，Ｎ(－ｘ，ｙ)，又 Ａ(－ａ，０)，则 ｔａｎ∠ＮＡｘ＝ ０ ，ｔａｎ∠ＭＡｘ＝ ０ ，所以 ０ ０ ０ ０ ｘ ０ ０ ａ－ｘ ａ＋ｘ ０ ０ ０ ｙ ｙ ２ｘｙ ０ － ０ ００ ｔａｎ∠ＮＡｘ－ｔａｎ∠ＭＡｘ ａ－ｘ ａ＋ｘ ａ２－ｘ２ ２ｘｙ ｔａｎ∠ＭＡＮ＝ｔａｎ(∠ＮＡｘ－∠ＭＡｘ) ＝ ＝ ０ ０ ＝ ０ ＝ ００ ①．因为点 Ｍ在 Ｃ １＋ｔａｎ∠ＮＡｘ·ｔａｎ∠ＭＡｘ ｙ ｙ ｙ２ ａ２－ｘ２＋ｙ２ １＋ ０ · ０ １＋ ０ ０ ０ ａ－ｘ ａ＋ｘ ａ２－ｘ２ ０ ０ ０ ｘ２ ｙ２ ａ２ －２ｂ２ ｘ ４ ４ｘ －２ｂ２ 上，所以 ０－０＝１（ａ＞０，ｂ＞０），则ｘ２－ａ２＝ ｙ２②，将②代入①得 ｔａｎ∠ＭＡＮ＝ · ０＝ ＝ ０ ，所以 ＝４， ａ２ ｂ２ ０ ｂ２ ０ ａ２－ｂ２ ｙ ｋ ｙ ａ２－ｂ２ ０ ０ ｃ ｂ２ 即ｂ２＝２ａ２，所以Ｃ的离心率为ｅ＝ ａ ＝ 槡 １＋ ａ２ ＝槡３． １５．解：（１）当ｍ＝１时，ｆ(ｘ) ＝ｘｌｎｘ，ｘ∈(０，＋!)，则ｆ′(ｘ) ＝ｌｎｘ＋１，（２分） 则ｆ(１) ＝０，ｆ′（１）＝０＋１＝１，（４分） 故所求切线方程为ｙ＝ｘ－１，即ｘ－ｙ－１＝０．（６分） １ （２）当ｍ＝２时，ｆ(ｘ) ＝ｘ２ｌｎｘ，ｘ∈(０，＋!)，则ｆ′(ｘ) ＝２ｘｌｎｘ＋ｘ２· ＝ｘ（２ｌｎｘ＋１），（７分） ｘ １ ( １ ) 令ｆ′(ｘ) ＞０，得ｘ＞ ，故ｆ(ｘ)在区间 ，＋! 上单调递增；（９分） 槡ｅ 槡ｅ １ ( １) 令ｆ′(ｘ) ＜０，得０＜ｘ＜ ，故ｆ(ｘ)在区间 ０， 上单调递减，（１１分） 槡ｅ 槡ｅ ( １) １ 所以ｆ(ｘ)的极小值为ｆ ＝－ ，无极大值．（１３分） 槡ｅ ２ｅ 【评分细则】 １．第一问：按评分标准给分，最后结果直线方程若是其他形式不扣分，未分别计算各值直接计算其结果，若正确 不扣分； ２．第二问：求出了极小值没有说明无极大值扣１分． １６．解：（１）由２槡３ｓｉｎ２Ａ＋２ｓｉｎ２Ａ＝ｃｏｓ２Ａ＋３，得２槡３ｓｉｎ２Ａ＋２ｓｉｎ２Ａ＝２ｃｏｓ２Ａ＋２，（１分） ( π) 即槡３ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ａ－ｃｏｓ２Ａ＝１，即槡３ｓｉｎ２Ａ－ｃｏｓ２Ａ＝１，即２ｓｉｎ２Ａ－ ＝１，（３分） ６ ( π) π ( π ５π) 又△ＡＢＣ是锐角三角形，所以Ａ∈ ０， ，所以２Ａ－ ∈ － ， ，（５分） ２ ６ ６ ６ π π π 故２Ａ－ ＝ ，即Ａ＝ ．（７分） ６ ６ ６ 高三数学 第 ３页（共６页）（２）由余弦定理得ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－槡３ｂｃ≥２ｂｃ－槡３ｂｃ＝（２－槡３）ｂｃ，（９分） ４ 即ｂｃ≤ ＝４（２＋槡３），当且仅当ｂ＝ｃ时等号成立，（１２分） ２－槡３ １ 所以Ｓ ＝ ｂｃｓｉｎＡ≤２＋槡３，即△ＡＢＣ面积的最大值为２＋槡３．（１５分） △ＡＢＣ ２ 【评分细则】 １．第一问：未说明锐角三角形中角Ａ的范围扣１分； ２．第二问：未说明不等式取等号的条件（ｂ＝ｃ）扣１分，方法不同但结果正确给满分． １７．（１）解：当ｎ＝１时，ａ＝Ｔ＝２．（１分） ２ １ 当ｎ≥２时，ａ＝Ｔ ，ａ ＝Ｔ＝ａＴ ＝ａ２，所以ｌｏｇａ ＝２ｌｏｇａ，（３分） ｎ ｎ－１ ｎ＋１ ｎ ｎ ｎ－１ ｎ ２ ｎ＋１ ２ ｎ 所以数列｛ｌｏｇａ｝从第２项开始是以ｌｏｇａ＝１为首项、２为公比的等比数列． ２ ｎ ２ ２ 所以ｌｏｇａ＝２ｎ－２，即ａ＝２２ｎ－２ ；（５分） ２ ｎ ｎ 当ｎ＝１时，不符合上式．（６分） {２，ｎ＝１， 所以数列｛ａ｝的通项公式ａ＝ （８分） ｎ ｎ ２２ｎ－２ ，ｎ≥２． ｌｏｇａ ２ｎ－１ １ １ （２）证明：由（１）知，ｂ＝ ２ ｎ＋１ ＝ ＝ － ，（１１分） ｎ （１＋ｌｏｇａ ）（１＋ｌｏｇａ ） （２ｎ－１＋１）（２ｎ＋１） ２ｎ－１＋１２ｎ＋１ ２ ｎ＋１ ２ ｎ＋２ １ １ １ １ １ １ １ １ １ 所以Ｓ＝ｂ＋ｂ＋…＋ｂ＝ － ＋ － ＋…＋ － ＝ － ＜ ．（１４分） ｎ １ ２ ｎ ２０＋１２１＋１２１＋１２２＋１ ２ｎ－１＋１２ｎ＋１ ２ ２ｎ＋１ ２ １ 所以Ｓ＜ 得证．（１５分） ｎ ２ 【评分细则】 １．第一问：漏讨论ｎ＝１时通项式ａ＝Ｔ＝２的值扣１分．中间步骤部分跳跃但结果正确不扣分； ２ １ {２，ｎ＝１或２， ２．第一问：结果写成ａ＝ 也给分； ｎ ２２ｎ－２ ，ｎ≥３ ３．第二问：求和时列式正确结果错误给１分． １８．（１）证明：如图，连接ＣＥ，因为Ｅ为ＡＢ的中点，所以ＣＤ∥ＢＥ且ＣＤ＝ＢＥ， 所以四边形ＣＤＥＢ为平行四边形，又因为ＢＣ＝ＣＤ， 所以四边形ＣＤＥＢ为菱形，ＢＤ⊥ＥＣ， 同理ＣＥ∥ＡＤ，所以ＢＤ⊥ＡＤ，（２分） 因为ＢＤ平面ＡＢＣＤ，平面ＰＡＤ⊥平面ＡＢＣＤ，平面ＰＡＤ∩平面ＡＢＣＤ＝ＡＤ， 所以ＢＤ⊥平面ＰＡＤ，（４分） 又ＢＤ平面ＰＢＤ，所以平面ＰＡＤ⊥平面ＰＢＤ．（５分） （２）解：以ＡＤ的中点Ｏ为坐标原点，易知ＯＡ，ＯＥ，ＯＰ两两相互垂直，以ＯＡ，ＯＥ，ＯＰ所在直线分别为ｘ，ｙ，ｚ轴建 立如图所示的空间直角坐标系， 则Ｄ（－１，０，０），Ｐ（０，０，槡３），Ｅ（０，槡３，０），Ｃ（－２，槡３，０），（６分） → → → 则ＤＰ＝（１，０，槡３），ＤＥ＝（１，槡３，０），ＤＣ＝（－１，槡３，０）．（７分） 设平面ＰＤＥ的法向量为ｍ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， １ １ １ 高三数学 第 ４页（共６页）{Ｄ → Ｐ·ｍ＝０， {ｘ＋槡３ｚ＝０， １ １ 则 即 → ＤＥ·ｍ＝０， ｘ＋槡３ｙ＝０， １ １ 令ｘ＝－槡３，得ｙ＝１，ｚ＝１， １ １ １ 则平面ＰＤＥ的一个法向量为ｍ＝（－槡３，１，１）．（８分） → ＤＣ·ｍ ２槡３ ２槡１５ 则点Ｃ到平面ＰＤＥ的距离ｈ＝ ＝ ＝ ．（１０分） ｍ 槡５ ５ ) & $ % * ! " # ’ ( （３）解：假设在平面ＰＡＤ内存在一点Ｍ使得直线ＢＭ∥平面ＰＤＥ， → 设点Ｍ坐标为Ｍ（ｘ，０，ｚ），由Ｂ（－１，２槡３，０），则ＢＭ＝（ｘ＋１，－２槡３，ｚ）． → 因为ＢＭ∥平面ＰＤＥ，所以ＢＭ·ｍ＝０，即－槡３ｘ＋ｚ＝３槡３，（１１分） 所以点Ｍ的轨迹是一条直线，当ｘ＝０时，ｚ＝３槡３；当ｚ＝０时，ｘ＝－３， 延长ＡＤ，ＢＣ交于点Ｆ，则ＦＯ＝３，Ｆ（－３，０，０），（１２分） → 所以ＦＥ＝（３，槡３，０），所以点Ｍ的轨迹是过点Ｆ且与ＰＤ平行的直线．（１３分） 设点Ｍ的轨迹和点Ｅ所确定的平面为α，α的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， ２ ２ ２ → {ＤＰ·ｎ＝０， { ｘ＋槡３ｚ＝０， ２ ２ 则 即 → ＦＥ·ｎ＝０， ３ｘ＋槡３ｙ＝０， ２ ２ 令ｘ＝槡３，得ｚ＝－１，ｙ＝－３，则平面α的一个法向量为ｎ＝（槡３，－３，－１）．（１５分） ２ ２ ２ ｍ·ｎ ７槡６５ 设平面α与平面ＰＤＥ的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝ ＝ ， ｍ ｎ ６５ ７槡６５ 所以平面α与平面ＰＤＥ夹角的余弦值为 ．（１７分） ６５ 【评分细则】 １．第一问：证明过程中省略关键步骤酌情扣分，思路方法不同，证明理由充分不扣分； ２．第二问：建系正确给１分，结果未分母有理化扣１分； ３．第三问：结果未分母有理化扣１分． １９．解：（１）设Ｃ的半焦距为ｃ， ２ｂ＝２槡３，  {ｂ＝槡３， 由题意得 １ （ａ－ｃ）ｂ＝ 槡３ ，解得 ａ＝２，（３分） ２ ２   ｃ＝１， ａ２＝ｂ２＋ｃ２， 高三数学 第 ５页（共６页）ｘ２ ｙ２ 所以Ｃ的方程为 ＋ ＝１．（４分） ４ ３ {ｙ＝ｋｘ＋ｔ， （２）设Ｍ（ｘ，ｙ），Ｎ（ｘ，ｙ），联立直线ｌ与椭圆Ｃ的方程 １ １ ２ ２ ２ ３ｘ２＋４ｙ２＝１２， 可得(３＋４ｋ２)ｘ２＋８ｋｔｘ＋４ｔ２－１２＝０， Δ＝６４ｋ２ｔ２－４(４ｋ２＋３)(４ｔ２－１２) ＞０，可得ｔ２＜４ｋ２＋３，（５分） ８ｋｔ ４ｔ２－１２ 由韦达定理可得ｘ＋ｘ＝－ ，ｘｘ＝ ，（６分） １ ２ ４ｋ２＋３ １２ ４ｋ２＋３ 所以ｙｙ＝(ｋｘ＋ｔ)(ｋｘ＋ｔ) ＝ｋ２ｘｘ＋ｋｔ(ｘ＋ｘ) ＋ｔ２ １２ １ ２ １２ １ ２ ４ｋ２ｔ２－１２ｋ２－８ｋ２ｔ２＋４ｋ２ｔ２＋３ｔ２ ３ｔ２－１２ｋ２ ＝ ＝ ，（７分） ４ｋ２＋３ ４ｋ２＋３ ｙｙ ３ｔ２－１２ｋ２ 所以 １２＝ ，（８分） ｘｘ ４ｔ２－１２ １２ ３ 因为直线ＯＭ，ＯＮ的斜率之积为 ， ４ ３ｔ２－１２ｋ２ ３ 槡３ 所以 ＝ ，解得ｋ＝± ．（１０分） ４ｔ２－１２ ４ ２ {ｙ＝ｋｘ， （３）联立直线ＡＢ与椭圆Ｃ的方程得 得(４ｋ２＋３)ｘ２＝１２， ３ｘ２＋４ｙ２＝１２， 槡４８(４ｋ２＋３)(１＋ｋ２) ｔ ＡＢ＝ ，直线ＭＮ到直线ＡＢ的距离为ｄ＝ ， ４ｋ２＋３ 槡１＋ｋ２ ４槡(１２ｋ２＋９－３ｔ２)(１＋ｋ２) ＭＮ ＝槡１＋ｋ２·槡(ｘ＋ｘ)２－４ｘｘ＝ ，（１３分） １ ２ １２ ４ｋ２＋３ 因为 ＡＢ＝２ＭＮ，所以槡４８(４ｋ２＋３)(１＋ｋ２) ＝８槡(１２ｋ２＋９－３ｔ２)(１＋ｋ２) ， ９ 解得ｔ２＝３ｋ２＋ ，（１５分） ４ ９ ３ｋ２＋ １ ３ ３ 槡４８(ｋ２＋１)(４ｋ２＋３) ４ ９ 所以Ｓ ＝ （ＡＢ＋ＭＮ）·ｄ＝ ＡＢ·ｄ＝ · · ＝ ． 梯形ＡＢＭＮ ２ ４ ４ ４ｋ２＋３ 槡 １＋ｋ２ ２ ９ 所以梯形ＡＢＭＮ的面积为定值 ．（１７分） ２ 【评分细则】 １．第一问：求出ａ与ｂ的值，未求ｃ的值不扣分，求对一个值给１分； ２．第二问：最后结果漏写一个扣１分； ３．第三问：联立方程正确给１分，求距离给１分，部分步骤跳跃，但理由充分不扣分． 高三数学 第 ６页（共６页）