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绝密★启用前 ７．已知函数 ｆ（ｘ）＝ｅｘ－ｋ（ｘ３＋５）存在两个极值点 ｘ，ｘ满足 ｘ＝３ｘ，则实数 ｋ的值为
１ ２ ２ １
宜春市 ２０２５—２０２６学年上学期高三期末考试 １ １ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ ．（ｌｎ３）２
ｌｎ２ ｌｎ３ （ｌｎ３）２
数 学 试 卷
８．定义：已知数列｛ａ｝，若对于任意给定的正数 ε（不论它多么小），总存在正整数 Ｎ，使得当 ｎ＞Ｎ
ｎ ０ ０
（宜春市教育教学研究中心命制）
时，ａ－Ａ＜ε（Ａ是一个确定的实数），则称数列｛ａ｝为“聚点数列”，Ａ称为数列｛ａ｝的聚点．已知
ｎ ｎ ｎ
数列｛ａ｝的首项 ａ＝０，满足４ａ ＋３ａ＝３，则数列｛ａ｝的聚点 Ａ的值为
试卷共４页，１９小题，满分１５０分。考试用时１２０分钟。 ｎ １ ｎ＋１ ｎ ｎ
３ ３
注意事项： Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－ Ｄ．
７ ７
１．考查范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复
二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
数、空间向量与立体几何、数列、解析几何。
部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分．
２．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。
( π)
３．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 ９．已知函数 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ ＋１，则下列关于 ｆ（ｘ）的说法正确的是
６
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
( ５π )
上无效。 Ａ．ｆ（ｘ）的最小正周期是２π Ｂ ．－ ，１是 ｆ（ｘ）的一个对称中心
６
４．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。
π ( π π)
Ｃ．直线 ｘ＝ 是 ｆ（ｘ）的一条对称轴 Ｄ．ｆ（ｘ）在区间 － ， 上单调递增
３ ３ ３
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
１０．已知在棱长为１的正方体ＡＢＣＤ－ＡＢＣＤ 中，Ｅ，Ｆ分别是棱ＢＣ，ＣＤ 上的动点，且ＥＦ＝１，则
１ １ １ １ １ １ １ １
要求的．
Ａ．ＡＣ⊥平面 ＣＥＦ
１
１．已知复数 ｚ满足（１－ｉ）ｚ＝１＋５ｉ，则在复平面内 ｚ对应的点位于
Ｂ．ＥＦ∥平面 ＡＢＣＤ
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
１
Ｃ．三棱锥 Ｃ－ＣＥＦ的体积有最小值
２．已知命题 ｐ：ｘ≥３，ｘ－１≥２，则命题 ｐ的否定为 １ １２
Ａ．ｘ≥３，ｘ－１＜２ Ｂ．ｘ≥３，ｘ－１＜２ Ｄ．三棱锥 Ｃ－ＣＥＦ的外接球的表面积是２π
１
Ｃ．ｘ＜３，ｘ－１≥２ Ｄ．ｘ≥３，ｘ－１≥２
( １)
ｆ１－
３．已知抛物线 Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０），Ｆ为 Ｃ的焦点，Ａ（ｐ，２槡２）为 Ｃ上的点，则 ＡＦ ＝
１１．若定义域为 Ｒ的奇函数 ｆ（ｘ）满足 ｆ（１）＝１，且 ｘ＜０时 ｆ（ｘ）＝
ｘ－１
，则
ｘ
Ａ．３ Ｂ．２槡２ Ｃ．２ Ｄ．４
( ３) (ｘ＋２)
( ｘ ) Ａ．ｆ ＝１ Ｂ．当 ｘ＞０时，ｆ ＝－ｘｆ（ｘ）
４．已知 ｆ －１＝ｘ３－１，则函数 ｆ（ｘ）的单调递增区间为 ２ ｘ＋１
４
( ４ )
Ａ．（－!，－１） Ｂ．Ｒ Ｃ．（－１，＋!） Ｄ．（０，＋!） Ｃ．ｆ（ｘ）＝０至少有３个实根 Ｄ．ｆ（ｘ）在区间 ，２上不可能单调
３
π
５．已知单位向量 ｍ，ｎ满足〈ｍ，ｍ－ｎ〉＝ ，则 ｍ＋ｎ＝ 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分．
３
１２．已知集合 Ａ＝｛－１，０，１，２，３｝，Ｂ＝｛０，２，４｝，则 Ａ∩Ｂ的所有非空子集的个数为 ．
Ａ．１ Ｂ．槡２ Ｃ．槡３ Ｄ．２
ｂ＋ｃ
１３．已知 ｘ＋ｙ＝２（槡ｘ＋ 槡ｙ），则 ａ＝ 槡ｘ＋ 槡ｙ的取值范围是 ．
６．在△ＡＢＣ中，内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为 ａ，ｂ，ｃ，若 ｂ２＋ｃ２＝ｂｃ＋ａ２，则 ＝
( π) ｘ２ ｙ２
ａｓｉｎＣ＋ １４．已知双曲线 Ｃ： － ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左顶点 Ａ，直线 ｙ＝ｋｘ（ｋ＞０）与 Ｃ的右支交于一点 Ｍ，点 Ｍ
６ ａ２ ｂ２
１ 槡３ ４
Ａ． Ｂ． Ｃ．槡３ Ｄ．２ 关于 ｙ轴对称的点为 Ｎ．若 ｔａｎ∠ＭＡＮ＝ ，则 Ｃ的离心率为 ．
２ ２ ｋ
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书书书四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １８．（１７分）如图，四棱锥 Ｐ－ＡＢＣＤ中，四边形 ＡＢＣＤ为等腰梯形，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＝４，ＰＡ＝ＰＤ＝ＡＤ＝
１５．（１３分）已知函数 ｆ(ｘ) ＝ｘｍｌｎｘ． ＣＤ＝２，Ｅ为 ＡＢ的中点，平面 ＰＡＤ⊥平面 ＡＢＣＤ．
（１）当 ｍ＝１时，求 ｆ(ｘ)在点(１，ｆ(１))处的切线方程； &
（２）当 ｍ＝２时，求 ｆ(ｘ)的极值．
$
%
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（１）证明：平面 ＰＡＤ⊥平面 ＰＢＤ；
（２）求点 Ｃ到平面 ＰＤＥ的距离；
（３）在平面ＰＡＤ内是否存在一点Ｍ，使得直线ＢＭ∥平面ＰＤＥ，若不存在，请说明理由；若存在，说
明点 Ｍ的轨迹，并求出轨迹和点 Ｅ所确定的平面与平面 ＰＤＥ夹角的余弦值．
１６．（１５分）在锐角△ＡＢＣ中，角 Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为 ａ，ｂ，ｃ，满足２槡３ｓｉｎ２Ａ＋２ｓｉｎ２Ａ＝ｃｏｓ２Ａ＋３．
（１）求角 Ａ；
（２）若 ａ＝２，求△ＡＢＣ的面积的最大值．
ｘ２ ｙ２
１９．（１７分）已知椭圆 Ｃ： ＋ ＝１(ａ＞ｂ＞０) 的短轴长为 ２槡３，由 Ｃ的上顶点、右顶点及右焦点组成的
ａ２ ｂ２
槡３
三角形的面积为 ，直线 ｌ：ｙ＝ｋｘ与 Ｃ交于 Ａ，Ｂ两点，直线 ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｔ(ｔ≠０) 与 Ｃ交于 Ｍ，Ｎ两
２ １ ２
１７．（１５分）若数列｛ａ｝的前 ｎ项积为 Ｔ，满足 ａ ＝Ｔ且 ａ＝２． 点，Ｏ为坐标原点．
ｎ ｎ ｎ＋１ ｎ １
（１）求数列｛ａ｝的通项公式； （１）求 Ｃ的方程；
ｎ
ｌｏｇａ １ ３
（２）设 ｂ＝ ２ ｎ＋１ ，且数列｛ｂ｝的前 ｎ项和为 Ｓ，证明：Ｓ＜ ． （２）若直线 ＯＭ，ＯＮ的斜率之积为 ，求 ｋ的值；
ｎ （１＋ｌｏｇａ ）（１＋ｌｏｇａ ） ｎ ｎ ｎ ２ ４
２ ｎ＋１ ２ ｎ＋２
（３）若 ＡＢ ＝２ＭＮ，判断梯形 ＡＢＭＮ的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明
理由．
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