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高二数学试题答案
一、选择题：
1、C
2、D
3、B
4、A
5、D
6、A
7、C
8、B
二、选择题：
9、ABC
10、AC
11、BCD
三、填空题：
12、 2 。
3√5
。
13、
5
1
。
14、
2
四、解答题：本题共5小题，共75分
15、（本小题满分12分）
16、（本小题满分12分）
1
解 (1) 证 明 :⃗C O=⃗C C+⃗CO=⃗C C+ (⃗CB+⃗CD), 因 为 ⃗C O·
1 1 1 2 1
[ 1 ]·( )=( · · )+1( )=0,所以
⃗BD= ⃗C C+ (⃗CB+⃗CD) ⃗CD−⃗CB ⃗C C ⃗CD−⃗C C ⃗CB ⃗CD2−⃗CB2
1 2 1 1 2C O⊥BD。因为 CC =2,CO= ,∠C CO=45°,所以 C O= ,所以 C O2+OC2=C ,
1 1 √2 1 1 √2 1 C2
1
所以 C O⊥OC,又因为 BD∩OC=O,且 BD,OC 平面 ABCD,所以 C O⊥平面
1 1
ABCD。
⊂
(2)如图建立空间直角坐标系,则 B(√2,0,0),A(0,-√2,0),C (0,0,√2),C(0,√2,0),所以
1
A (0,-2 , ),D(- ,0,0),所以 =( , ,0), =(0,- , ), =(- , ,0),设平
1 √2 √2 √2 ⃗AB √2 √2 ⃗A A √2 √2 ⃗AD √2 √2
1
面 AA B 与 平 面 AA D 的 一 个 法 向 量 分 别 为 n =(x ,y ,z ),n =(x ,y ,z ), 则 有
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
{ √2x 1 +√2y 1 =0, {−√2y 2 +√2z 2 =0, 不妨取x 1 =x 2 =1,则n 1 =(1,-1,-1),n 2 =(1,1,1)。设
−√2y +√2z =0, −√2x +√2y =0,
1 1 2 2
二面角B⁃AA 1⁃D的平面角为θ,则|cos θ|= |n
1
·n
2
|
=
1
=
1,sin θ=2√2。所
|n ||n | √3×√3 3 3
1 2
2√2
以二面角B⁃AA 1⁃D的正弦值为 。
3
17、（本小题满分12分）
解 (1)由椭圆过点(b,2e),得b2 4e2=1,又a2=8,e2=c2 a2−b2 b2,所以
+ = =1−
8 b2 a2 a2 8
(
b2
)
4 1− =1,解得 b2=4 或 b2=8(舍去),所以椭圆 C 的方程为 x2 y2
b2 8 +
+ 8 4
8 b2
=1。
(2)设直线 l 的方程为 y=k(x-1),A(x ,y ),B(x ,y ),联立直线 l 与椭圆的方
1 1 2 2程可得{ y=k(x−1), 整理可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-8=0,所以x +x = 4k2
1 2
x2+2y2−8=0, 1+2k2
,x x =2k2−8,y y =k2[x x -(x +x )+1]=k2[2k2−8 4k2 ] −7k2 , 所 以 |
1 2 1 2 1 2 1 2 − +1 =
1+2k2 1+2k2 1+2k2 1+2k2
AT|·|BT|= ·
√(x −1) 2+ y2
1 1
√(x −1) 2+ y2= √ 1 y2+ y2 √ 1 y2+ y2= ( 1+ 1 ) |y1y2|= 1+k2· 7k2 = 7(1+k2 ),
2 2 k2 1 1 k2 2 2 k2 k2 1+2k2 1+2k2
由题意设直线 MN 的方程为 y=kx,代入椭圆的方程可得 x2+2k2x2=8,所
以 x2= 8 , 所 以 y2= 8k2 , 所 以 |MN|2=4(x2+y2)=4·8(1+k2 ), 所 以
1+2k2 1+2k2 1+2k2
7(1+k2
)
|AT|·|BT| 1+2k2 7 ,即|AT|·|BT| 7 。
= = 的值为
|MN|2 32(1+k2 ) 32 |MN|2 32
1+2k2
(3)设直线 l 的方程为 y=k(x-1),A(x ,y ),B(x ,y ),令 x=0 可得 y =-k,所以
1 1 2 2 P
P(0,-k),联立直线 l与椭圆的方程可得{ y=k(x−1), 整理可得(1+2k2)x2-
x2+2y2−8=0,
4k2x+2k2-8=0,所以 x +x = 4k2 ①,x x =2k2−8 ②, =(-x ,-k-y ),
1 2 1 2 ⃗AP 1 1 ⃗TB
1+2k2 1+2k2
2 2 2 2
=(x -1,y ),因为⃗AP= ⃗TB,所以-x = (x -1),所以 x + x2= ③,综合
2 2 1 2 1
5 5 5 5
①②③,得 50k4-83k2-34=0,解得 k2=2,又 k>0,所以 k=√2。所以直线 l 的
斜率k为√2。18、（本小题满分12分）
解 (1) 解 法 一 : 记 {a } 的 公 差 为 d, 由 3a +2a =S +6, 得 3(a +d)
n 2 3 5 1
5×4
+2(a +2d)=5a + d+6,
1 1
2
n(n−1)
解得 d=-2,所以 S =na + ×(-2)=-n2+(a +1)n。若数列{S }为单调
n 1 1 n
2
递减数列,则 S -S <0(n≥1)恒成立,即 a =a -2n<0(n≥1)恒成立,得
n+1 n n+1 1
a <2n(n≥1)恒成立,得a <2,即a 的取值范围为(-∞,2)。
1 1 1
解法二:记{a }的公差为d,由3a +2a =S +6,得
n 2 3 5
5×4
3(a +d)+2(a +2d)=5a + d+6,解得d=-2,所以
1 1 1
2
n(n−1)
S =na + ×(-2)=-n2+(a +1)n。若数列{S }为单调递减数列,则需满
n 1 1 n
2
a +1 3
足 1 < ,解得a <2,即a 的取值范围为(-∞,2)。
2 2 1 1
(2)由(1)知,{a }的公差d=-2,又a =1,所以a =1+(n-1)×(-2)=3-2n。根据
n 1 n
题意,数列{b }为
n
1,20,-1,20,21,-3,20,21,22,-5,…,-2n+3,20,21,…,2n-1,-2n+1,…。可将数列分组:
第一组为 1,20;第二组为-1,20,21;第三组为-3,20,21,22;第 k(k∈N*)组
(k+3)k
为-2k+3,20,21,22,…,2k-1。则前k组一共有2+3+…+(k+1)= (项),当
2
k=12时,项数为90。故T 相当于是前12组的和再加上-23,1,2,22,23,即
95
T =[1+(-1)+(-3)+…+(-21)]+[20+(20+21)+(20+21+22)+…+(20+21+…+211)]
95
+(-23+1+2+22+23)。20+(20+21)+(20+21+22)+…+(20+21+…+211)可看成是数列{c }(c =2n-1)的前12项和,所以
n n
(1−21)×12 2×(1−212 )
T = + -12-23+1+2+4+8=213-142=8 050。
95
2 1−2
19、（本小题满分12分）
解 (1)设等差数列{a }的公差为 d,因为 a -a =3d=6,所以 d=2,所以 a -
n 6 3 3
1=a +3,a -1=a +1,a =a +6,因为 a -1 是 a -1,a 的等比中项,所以(a -
1 2 1 4 1 3 2 4 3
1)2=(a -1)·a ,即(a +3)2=(a +1)(a +6),解得 a =3。所以数列{a }的通项
2 4 1 1 1 1 n
公式为a =2n+1。
n
(2) 由 (1), 得 b = 1 1 1( 1 1 ), 所 以
n = = −
a a (2n+1)(2n+3) 2 2n+1 2n+3
n n+1
T =b +b +…+b =
n 1 2 n
1(1 1 1 1 1 1 ) 1(1 1 ) n n 1
− + − +…+ − = − = 。由 <
2 3 5 5 7 2n+1 2n+3 2 3 2n+3 3(2n+3) 3(2n+3) 7
1
,得n<9。所以使得T < 成立的最大正整数n的值为8。
n
7
