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2025 年秋期长寿中学高二年级半期考试
数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求.
1. 若直线 的一个方向向量为 ，则它的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，点 为 右支上一点．若 恰好
被 轴平分，且 ，则 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知两圆分别为圆 和圆 ，这两圆 位置关系是（ ）
A. 相离 B. 外切 C. 内含 D. 相交
4. 如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心 为一个焦点且离心率为 的椭圆，地球可看作
半径为 的球体，近地点离地面的距离为 ，则远地点离地面的距离 为（ ）
A. B. C. D.
5. 将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点 与点 重合，若此时 轴与直线
也正好重合，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知直线 （其中 为常数），圆 ，则直线 被圆
截得的弦长最小值为（ ）
A. B. C. D.
第 1页/共 4页7. 若圆 与圆 交于 M，N 两点，则四边形 的面积为（ ）．
A. 5 B. C. D. 10
8. 在长方体 中， ， ，点 E，F 分别是线段 上的动点（不
包括端点），且线段 EF 始终平行于平面 ，则四面体 的体积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错选的得 0 分.
9. 已知空间向量 ， ，下列结论正确的是（ ）
A.
B. ， 夹角 余弦值为
C. 若直线 l 方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ，则实数
D. 在 上的投影向量为
10. 已知椭圆 的左､右两个焦点分别为 为椭圆上一动点， ，则下列说法正
确的是（ ）
A. 存在点 使
B. 的周长为 16
C. 的最大面积为 12
D. 的最小值为
11. 如图，正方体 的棱长为 是侧面 上的一个动点（含边界），点 在棱
上，且 ，则下列结论正确的有（ ）
第 2页/共 4页A. 沿正方体的表面从点 到点 的最短距离为
B. 保持 与 垂直时，点 的运动轨迹长度为
C. 若保持 ，则点 的运动轨迹长度
D. 平面 截正方体 所得截面为等腰梯形
三、填空题：本题 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 过点 作圆 的切线 ，则直线 的方程为__________.
13. 已知直线 l：x+ay+6=0 和 l：（a-2）x+3y+2a=0，若 l⊥l，则 a=_____．
1 2 1 2
14. 已知双曲线 的右焦点为 ，左、右顶点分别为 ， ， 轴于点
，且 ．当 最大时，点 恰好在双曲线 上，则双曲线 的离心率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线 和 交点为 P．
（1）若直线 l 经过点 P 且与直线 平行，求直线 l 的方程；
（2）若直线 m 经过点 P 且与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点， 为线段 的中点，求△OAB 的面积．（其
中 O 为坐标原点）．
16. 如图，已知三棱锥 中， ， 和 都是边长为 2 的正三角形，点 E，F
分别是 AB，CD 的中点．
（1）记 用 表示 ；
第 3页/共 4页（2）求异面直线 AF 和 CE 所成角 余弦值．
17. 已知线段 的端点 B 的坐标是 ，端点 A 在圆 上运动，M 是线段 的中点.
（1）求点 M 的轨迹方程；
（2）记（1）中所求轨迹为曲线 C，过定点 的直线 l 与曲线 C 交于 P，Q 两点，并且被曲线 截得的
弦长为 ，求直线 l 的方程．
18. 如图所示，四棱锥 的底面 是平行四边形， ， ，
分别是棱 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
19. 已知 、 分别是椭圆 的左、右焦点，且焦距为 ，动弦 平行于 轴，
且 .直线 ，设直线 与椭圆 交于 、 两点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ，求实数 的取值范围；
（3）若直线 、 、 的斜率成等比数列（其中 为坐标原点），求△ 的面积的取值范围.
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