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高 2026 届高二第一学期期初考试数学试题
（总分：120分，时间：120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 若 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
2. 天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两
天下雨的概率．用 1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了 10组随机数180，792，454，417，
165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
.
A B. C. D.
的
3. 已知平面 平面 是平面 外两条不同 直线，则下列结论错误的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
4. 有专业机构认为某流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不
超过15例”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据判断，一定符合该标志的是（ ）
A. 甲地：均值为4，中位数为3 B. 乙地：均值为5，方差为10
C. 丙地：中位数为3，众数为2 D. 丁地：均值为3，方差大于0
5. 把一根长度为7的铁丝截成3段，如果三段的长度均为正整数，则能构成三角形的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 设 为两个非零向量 ， 的夹角，已知对任意实数 ， 的最小值为1，则（ ）
A. 若 确定，则 唯一确定 B. 若 确定，则 唯一确定
C. 若 确定，则 唯一确定 D. 若 确定，则 唯一确定
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学科网（北京）股份有限公司7. 在 中，AC=3,BC=4,∠C=90°．P为 所在平面内的动点，且 ，则⃑PA⋅⃑PB的
取值范围是（ ）
A. [−5,3] B. C. D.
8. 三棱锥 的侧棱 是它的外接球的直径，且 ，则三棱锥
的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 已知 、 都是复数，下列正确的是（ ）
.
A 若 ，则
B.
C. 若 ，则
D.
10. 已知事件A，B发生的概率分别为 ， ，则下列结论正确的有（ ）
A. 若A与B互斥，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则
11. 某市举办了普法知识竞赛，从参赛者中随机抽取1000人，统计成绩后，画出频率分布直方图如图所示，
则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 直方图中x的值为0.030 B. 估计该市普法知识竞赛成绩的平均数为85分
C. 估计该市普法知识竞赛成绩的众数为95分 D. 估计该市普法知识竞赛成绩的中位数为88分
12. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等， ， 为圆柱上下底面的圆心，O为
球心，EF为底面圆 的一条直径，若球的半径 ，则（ ）
A. 球与圆柱的体积之比为
B. 四面体CDEF 的体积的取值范围为
C. 平面DEF截得球的截面面积最小值为
D. 若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 的取值范围为
第Ⅱ卷（非选择题 共72分）
三、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 从某中学抽取12名同学，他们的数学成绩如下：87，85，92，90，83，92，87，98，96，84，99，78
（单位：分），则这12名同学数学成绩的第75百分位数为________．
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学科网（北京）股份有限公司14. 已知 ，且 ， 为虚数单位，则 的最大值是__．
15. 直线 的方向向量为 ，且 过点 ，则点 到 的距离为______．
16. 在一座尖塔的正南方向地面某点 ，测得塔顶的仰角为 ，又在此尖塔北偏东 地面某点 ，测
得塔顶的仰角为 ，且 ， 两点距离为 ，在线段 上的点 处测得塔顶的仰角为最大，则 点
到塔底 的距离为______m.
四、解答题：（本题共5小题，共56分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 是边长为8
（单位： ）的正方形， 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面
垂直．
（1）证明： 平面 ；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
18. 面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A、B、C三个独立的研究机构在一定的时
期研制出疫苗的概率分别为 .求：
（1）他们能研制出疫苗的概率；
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学科网（北京）股份有限公司（2）至多有一个机构研制出疫苗的概率.
19. 记 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ．
（1）求 的值；
（2）若 ，且 ，求 的面积．
20. 某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层
随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标价（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数
为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据；
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163
记抽取的第i个女生的身高为 （ ，2，3，…，10），样本平均数 ，方差 .
参考数据： ， ， .
（1）若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女
生身高在 范围内的人数；
（2）用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数 和标准差 ，求 ， 的值；
（3）如果女生样本数据在 之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本
身高的平均数与方差.
21. 如图①所示，矩形 中， ， ，点M是边 的中点，将 沿 翻折到
，连接 ， ，得到图②的四棱锥 ，N为 中点，
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学科网（北京）股份有限公司（1）若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的大小；
（2）设 的大小为 ，若 ，求平面 和平面 夹角余弦值的最小值.
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学科网（北京）股份有限公司高 2026 届高二第一学期期初考试数学试题
（总分：120分，时间：120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】B
二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】AC
【12题答案】
【答案】AD
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学科网（北京）股份有限公司第Ⅱ卷（非选择题 共72分）
三、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
【13题答案】
【答案】94
【14题答案】
【答案】8
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】
四、解答题：（本题共5小题，共56分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2） ．
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
【20题答案】
【答案】（1）40； （2） ；
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学科网（北京）股份有限公司（3）平均数为159，方差为 .
【21题答案】
【答案】（1） ；
（2）
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