文档内容
豫西北教研联盟 (许洛平) 2024-2025 学年
高三第一次质量检测数学试题
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,
用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。 写在本试卷
上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符
合题目要求的。
1. 已知向量 a=(x,−3),b=(3x,x+2) ,若 a⋅b=0 ,则 x=
A. -1 B. 2 C. 2 或 -1 D. 2 或 -2
2. 已知集合 A={x∣1B, q:sin A>sinB
D. 直线 l :ax+2y+6=0,l :x+(a−1)y+3=0, p:l //l , q:a=2
1 2 1 2
5. 已知 f (x)=ln(x+√1+x2) ,则 f (x2−8)+f (2x)≥0 的解集为
A. {x∣−2≤x≤4} B. {x∣−4≤x≤2}
C. {x∣x≥4 或 x≤−2} D. {x∣x≥2 或 x≤−4}x2 y2
6. 过双曲线 C: − =1(a>0,b>0) 的右焦点 F 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,若线
a2 b2
段 AB 的长度取最小值时,直线 l 恰有两条,则双曲线 C 的离心率为
A. √2 B. √3 C. 2 D. √5
7. 已知数列 {a },{b } 中, a =2,b =6,a =2a ,b =2b −a ,若 a =b ,则 m=
n n 1 1 n+1 n n+1 n n m m
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
{−ax2−(a−2)x+lnx,x>0
8. 已知 a>0 ,若函数 f (x)= 没有零点,则实数 a 的取值范围是
ln(−x+1)−axex,x<0
A. (e,+∞) B.(1, e) C.(0,1) D.
(1,+∞)
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目
要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
1
9. 已知 ab= 且 a,b∈(0,1) ,则
4
1 4 2 1 1
A. a2+b2≥ B. b+ a> C. + ≥4
2 9 3 a b
3
D.
a2+b≥
4
10. 在平面直角坐标系中,角 α 的顶点为坐标原点 O ,始边为 x 轴的非负半轴,终边与以 O
(√3 1)
为圆心,1 为半径的圆交于点 A ,− ,射线 OA 绕点 O 逆时针旋转 2θ 后交圆 O 于
2 2
点 B , 若点 B 的纵坐标为 y ,设 y=f (θ) ,则
5π
A. α= B.
6
( π)
f (θ)=sin 2θ−
6
[ π π ]
C. 函数 y=f (θ) 的单调递增区间为 − +kπ, +kπ ,k∈Z
6 3
(π kπ )
D. f (θ) 的对称中心为 + ,0 ,k∈Z
3 2
11. 在棱长为 2 的正方体 ABCD−A B C D 中, E 为棱 CC 的中点, P 为线段 A E 上
1 1 1 1 1 1
的动点, Q 为底面 ABCD (含边界) 上的动点,且平面 A QC⊥ 平面 A DC ,则
1 1π
A. 直线 BP 与平面 BCC B 所成角的最大值为
1 1 4
B. 点 Q 的轨迹长度为 √5
C. 三棱锥 Q−A D E 的体积为定值
1 1
[1 )
D. 若 ⃗A P=λ⃗A E ,且 PQ// 平面 ADD A ,则 λ 的取值范围为 ,1
1 1 1 1 2
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知复数 z 满足 z(4−3i)=2+i ,则 |z|= _____.
13. 设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F ,直线 l:4x−5 y+4=0 与 C 的一个交点为 M ,直
线 MF 与 C 的另一个交点为 N ,则 |MN|=_____.
14. 已知三棱锥 P−ABC,AC=2√2,PB=2,AB⊥BC ,二面角 P−AB−C 的大小为 60∘
,当三棱锥 P−ABC 的体积取得最大值时,其外接球的表面积为_____.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
x2 y2 ( √3)
设 F ,F 为椭圆 C: + =1(a>b>0) 的左、右焦点,点 G √3, 在椭圆 C 上,点
1 2 a2 b2 2
G 关于原点的对称点为 H ,四边形 GF H F 的面积为 √3 .
1 2
(1) 求椭圆 C 的方程;
12√2
(2) 过点 F 作直线 l 与 C 交于 A,B 两点, △F AB 的面积为 ,求 l 的方程.
2 1 7
16. (15 分)
√3 x
已知函数 f (x)= sinx+cos2 ,在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且
2 2
3
f (B)= .
2
(1) 求 B ;a+b
(2) 若 2b2=2c2+ac ,求 的值. 17. (15 分)
c
17.(15 分)
如图,四棱锥 P−ABCD 中, PA⊥PD,△PCD 为等边三角形,四边形 ABCD 为直角梯形,
AB//CD,AB⊥BC,CD=2AB=2 .
(1) 证明: 平面 PAD⊥ 平面 PDC ;
(2) 若 PA 与平面 ABCD 所成的角为 60∘ ,求平面 PBC 与平面 PAD 夹角的余弦值.
18. (17 分)
x
已知函数 f (x)= −ax .
ex
1
(1) 若 f (x) 在点 (1,f (1)) 处的切线方程为 x−y+ =0 ,求 a 的值;
e
1
(2) 若 a≤− ,判断函数 f (x) 的单调性;
e2
(3) 当 a=0 时,证明: emf (x)≤(1−m)x+m2 ,其中 0≤x≤2,0
