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鹤山一中 2024—2025 学年度第一学期第二阶段考试
高二数学试卷 2024.12
一、单选题（每小题5分，共8小题40分）
1.为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得
分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75
百分位数为（ ）
A．8 B．9 C．8.5 D．9.5
2.若直线 是圆 的一条对称轴，则m的值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
3.下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)
＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)
＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4.已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m＝( )
A．5 B．6 C．9 D．10
5.若样本 的平均值是5，方差是3，样本 的平
均值是9，标准差是b，则（ ）
A． B． C． D．
6.若点 关于平面 和 轴对称的点分别为 ， ，则 （
）
A. B. C. 1 D. 9
7.孪生素数（素数是只有1和自身因数的正整数）猜想是希尔伯特在1900年正式提出的23
个问题之一，具体为：存在无穷多个素数 ，使得 是素数，素数对 称为孪生
素数，在不超过20的素数中随机选取2个不同的数，其中能够构成孪生素数的概率是（
）A． B． C． D．
8如图，正方体 的棱长为6，点 为 的中点，点 为底面
上的动点，满足 的点 的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每小题6分，共3小题18分）
9下列命题不正确的是（ ）
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有⃗AB+⃗BC+⃗CD+⃗DA=0⃗
B．“ ”是“ 共线”的充要条件
|⃗a|−|⃗b|=|⃗a+⃗b| ⃗a,⃗b
C．若⃗a,⃗b共线，则⃗a与⃗b所在直线平行
D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若⃗OP=x⃗OA+ y⃗OB+z⃗OC (其中
x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面
10.伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次
试验只有两种可能结果．若连续抛郑一枚质地均匀的硬币 次，记录这 次实验的结果，
设事件 表示“ 次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件 表示“ 次实验结
果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（ ）．
A. 若 ，则 与 不互斥 B. 若 ，则 与 不相互独立
C. 若 ，则 与 相互独立 D. 若 ，则 与 互斥
的
11.如图，正方形 边长为2， 为边 的中点，把 和 分别沿 ，折起.使得 ， 两点重合为一点 .下列四个命题正确的是（ ）
的
A. 平面 B. 直线 与直线 所成 角为
C. 二面角 的大小为 D. 点 到平面 的距离为
三、填空题（每小题5分，共3小题15分）
12.已知 ， ， ，则 .
⃗a=(1,1,√2) |⃗b|=2 |⃗a−⃗b|=2 ⃗a⋅⃗b=
13.已知平面 内一点 ，点 在平面 外，若 的一个法向量为
，则 到平面 的距离为______________．
14.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上，
且 ，过 作 的垂线交 轴于点 ，若 ，记椭圆的离心率为
，则 ______.
四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，
共5小题77分）
15已知向量 ， ， ．
（1）当 时，若向量 与 垂直，求实数 和 的值；
（2）若向量 与向量 ， 共面，求实数 的值．16已知圆心为 的圆经过 和 ，且圆心 在直线 上.
（1）求圆C的方程：
（2）若直线 与圆的交点为 两点，求 .
17.溺水､校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全
教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1
分，答错得0分.在竞赛中，甲､乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确
的概率均为 ，乙队每人回答问题正确的概率分别为 ， ， ，且两队各人回答问题正
确与否相互之间没有影响.
（1）求甲队总得分为1分的概率；
（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
18.椭圆 的中心是原点 ，焦点为 ，短轴长为 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）如果过点 的直线与椭圆相交于点 两点，且 ，求直线 的
方程.
19. 如图所示，正方形 所在平面与梯形 所在平面垂直， ，
， ，（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）在线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，
若存在求出 的值，若不存在，请说明理由.
