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高二上学期 10 月月考试数学试题答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A C C D A B B BD ABD ACD
7．【详解】由题意知实数 满足 ，则 ，
故点 在直线 上，点 在直线 上，
而 表示点 和点 之间的距离的平方，
故 的最小值为两平行线 和 间距离的平方，
最小值为 ，
8．【详解】如图，设光线从点 出发，依次经过平面 的 点与平面 的
反射后重新回到点 ，根据光线反射的特征可知，平面 平面 ，
平面 平面
设 的中点为 ，则 点在 上， 点在 上.
因为 为中点， 是正三角形，所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，平面 平面 .下面计算三角形 的周长.
因为 是边长为 2 的正三角形， ，
如图建立平面直角坐标系，则 ， ，设 ， ， 关于直线 的对称点为
， 关于直线 的对称点为 ，设 .
直线 的方程为 ，因 关于直线 的对称点 ，
，解得 ， .
所以 （当且仅当 共线时等号成立）
，且 .
所以 ，即 ，所以光线经过的路径长度的取值范围是 .11．【详解】经检验， 均满足方程 ，且 不共线，
则 可以确定唯一平面 ，则平面 的方程 为 ，A 正确；
若方程为 的平面 经过点 ，则 ，
整理得 ，因为 无实数解，所以 ，B 不正确；
显然，点 满足方程 ，则 是平面 内一点，
平面 的一个法向量为 ，则 ，
点 到平面 的距离 ，C 正确.
易知方程 的一组公共解为 ，且 的另一组公共解为 ，
则直线 经过 和 的一个方向向量为 ，
平面 的一个法向量为 .设 与平面 所成角的大小为 ，
则 ，D 正确.
三、填空题
12. ； 13. 或 ； 14.
14． 【详解】依题意得点 M 在以 为圆心半径为 1 的圆上，如图所示：
依题意得 ， ，
又因为 所以 ，
当直线 与圆 相切时， ，得 ，
又因为
所以 ， ，
此时
或 ，此时 所以
四、解答题:
15．【答案】(1) (2) (3)
【详解】（3）由题意知： ,
故与 同方向的单位向量为： ，
与 同方向的单位向量为： ，
故 角平分线所在的直线的方向向量为： ，
设 角平分线所在的直线的斜率为 ，
又 直线的方向向量可以表示为 ， ，直线又过 ，
故 角平分线所在的直线方程为： ，即 .
16．【答案】 (2)
【详解】（2）由（1）得 两两垂直，故以 为坐标原点，分别以
所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则 ， ， ， ， ．易知 ．
因为 是 的中点，点 是 的中点，所以 ， ．
， ．
设平面 的法向量为 ，则 得
取 ，则 ，得平面 的一个法向量为
设直线 与平面 所成角为 ， 则 ．
17．【答案】(1) (2) 或
【详解】（2）圆 C 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，在 中， ， ，
由余弦定理得： ，即 ，
设圆心 C 到直线 的距离为 ，则
当直线 l 的斜率不存在时，可得方程为 ， ，符合题意；
当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 ，即 ，
圆心到直线的距离为 =1，解得 ，
直线 l 的方程为 ，即 ， 综上所述，直线 l 的方程为 ，或
.
18．【答案】(1)证明见解析 (2)应该把 点取在距离 点 米处
【详解】（1）因为 ， ，所以 是正三角形，则 ，
易知 底面圆 ，而 底面圆 ，所以 ，
又在 中， ，所以 ，
因为 是正三角形，所以 ，
且 ， ，所以 ， ，
同理可证 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ， 即拉绳 所在直线和平面 垂直；
（2）如图，建立以 为原点的空间直角坐标系 ，
设 ，
所以
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，故 ，
设直线 和平面 所成的角为 ，则
，
当且仅当 ，即 米时，拉绳 所在直线和平面 所成角的正弦值最大，
故应该把 点取在距离 点 米处.
19．【答案】(1)相交 (2)① ；②证明见解析
【详解】（1）圆 ： 转化为标准方程为： ，
， ， ， 或 0，
， ， ， ， ， ，
， ， ， 与 相交.
（2）①直线 ， ，设 ， ，由 ，
消去 得： ，由韦达定理 ， ， ，
由 有 ，
同理由 有 ， （*），
将韦达定理代入（*） ， ；
②证明： ， ，则直线 ，直线 ，
联立两直线方程消 得： （**），
由韦达定理有 ，即 ，代入（**）可得 ，解得 .
故直线 交点 在定直线 上.
