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一.选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.设命题 p:"xÎR,x2 +1>0，则Øp为（ ）
A. $x ÎR,x2 +1>0 B. $x ÎR,x2 +1£0
0 0 0 0
C. $x ÎR,x2 +1<0 D. "xÎR,x2 +1£0
0 0
2.已知集合A={x|x>2},B={x|1< x<3}，则A B=（ ）
I
A.{x|x>2} B.{x|x>1} C.{x|2< x<3} D.{x|1< x<3}
3.对一个容量为N 的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法
抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 p ,p ,p ，则（ ）
1 2 3
A.p = p < p B.p = p < p C.p = p < p D.p = p = p
1 2 3 2 3 1 1 3 2 1 2 3
4.下列函数中，既是偶函数又在区间(-¥,0)上单调递增的是（ ）
1
A.f(x)= B.f(x)= x2 +1 C.f(x)= x3 D.f(x)=2-x
x2
5.在区间[-2,3]上随机选取一个数X ，则X £1的概率为（ ）
4 3 2 1
A. B. C. D.
5 5 5 5
6.若圆C :x2 + y2 =1与圆C :x2 + y2 -6x-8y+m=0，则m=（ ）
1 2
A.21 B.19 C.9 D.-11
7.执行如图1所示的程序框图，如果输入的tÎ-2,2，则输出的S 属于（ ）
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A.
-6,-2
B.
-5,-1
C.
-4,5
D.
-3,6
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8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等
于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
9.若0< x < x <1，则（ ）
1 2
A.ex 2 -ex 1 >lnx -lnx B.ex 2 -ex 1 xex 2 D.x ex 1 < xex 2
2 1 2 1
10.在平面直角坐标系中，O为原点，A-1,0，B 0，3 ,C3，0，动点D满足 CD =1,
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则 OA+OB+OD 的取值范围是（ ）
A. 4，6 B. 19-1，19+1 C.2 3，2 7 D. 7-1，7+1
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
3+i
11.复数 （i为虚数单位）的实部等于_________.
i2
第2页 | 共5页 2
x = 2+ t
2
12.在平面直角坐标系中，曲线C: （t为参数）的普通方程为___________.
2
y =1+ t
2
y£ x
13.若变量x，y满足约束条件x+ y£4，则z =2x+ y的最大值为_________.
y1
14.平面上以机器人在行进中始终保持与点F 1，0 的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过
点P -1，0 且斜率为k的直线，则k 的取值范围是___________.
15.若 f x =ln e3x +1 +ax是偶函数，则a=____________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.
n2 +n
16.（本小题满分12分）已知数列 a 的前n项和S = ，nÎN.
n n 2
(1)求数列 a 的通项公式；
n
(2)设b =2a n + -1 na ，求数列 b 的前2n项和.
n n n [来源:学科网]
17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组
往年研发新产品的结果如下：
a，b， a，b ，a，b，a ，b， a ，b ，a，b，a，b， a， b ，
a ，b， a，b ， a ，b ，a，b， a，b ，a ，b，a，b
其中 a，a 分别表示甲组研发成功和失败；b，b分别表示乙组研发成功和失败.
(1)若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均
数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率.
18.（本小题满分12分）如图3，已知二面角-MN -的大小为60，菱形ABCD在面内，A,B
两点在棱MN 上，BAD =60，E是AB的中点，DO 面，垂足为O.
(1)证明：AB 平面ODE；
(2)求异面直线BC 与OD所成角的余弦值.
第3页 | 共5页19.（本小题满分13分）如图4，在平面四边形ABCD中，
2
DA AB,DE =1,EC = 7,EA=2,ADC = ,BEC =
3 3
(1)求sinCED的值；
(2)求BE的长
x2 y2
20. （本小题满分 13 分）如图 5，O为坐标原点，双曲线C : - =1(a >0,b >0)和椭圆
1 a2 b2 1 1
1 1
x2 y2 2 3
C : + =1(a >b >0)均过点P( ,1)，且以C 的两个顶点和C 的两个焦点为顶点的四边
2 a 2 b 2 2 2 3 1 2
2 2
形是面积为2的正方形.
(1)求C ,C 的方程；
1 2
(2)是否存在直线l，使得l 与C 交于A,B两点，与C 只有一个公共点，且|OA+OB|=| AB|？证明你的
1 2
结论.
第4页 | 共5页21.（本小题满分13分）已知函数 f (x) = xcosx-sinx+1(x >0).
（1）求 f (x)的单调区间；
1 1 1 2
（2）记x 为 f (x)的从小到大的第i(iÎN*)个零点，证明：对一切nÎN*，有 + + + < .
i x2 x2 L x2 3 [来
1 2 n
源:学科网ZXXK]
1 1 1 2 1 1 1 2
+ + + < . + + + < .
L L
x2 x2 x2 3 x2 x2 x2 3
1 2 n 1 2 n
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