开封市2026届高三年级第一次质量检测数学答案_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年01月高三试卷_0106河南省开封市2026届高三年级第一次质量检测（开封一模）

2026 届高三年级第一次质量检测 数学参考答案 注意事项：答案仅供参考，其他合理答案也可酌情给分。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D B A A D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AB ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．32 13． f  x 3x 答案不唯一，f  x  ax  ae 均满足 14． 2 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） （1）设点P的坐标为(x,y)，依题意得|x|  x2 2  y2 ，………2分 化简得 y2 4  x1  ，所以W的方程为 y2 4  x1  .………5分 （2）设A  x ,y ，B  x ,y  ，由题意，l: y  x2，………7分 1 1 2 2 将l带入方程 y2 4  x1  ，化简得：x2 8x+80，则x x =8，………11分 1 2 由W 的定义可知 AB  AF  BF =x x =8.………13分 1 2 16.（15分） （1） f(x)=cosxasinx，………1分    2 2 依题意， f( )=cos asin =  a= 2，………3分 4 4 4 2 2 解之得：a=3.………5分 1 （2）令 f(x)=cosx3sinx=0，解之得：tanx= ，………6分 3   令g  x  f(x)，则g'(x)=sinx3cosx0，所以 f(x)在 0, 上单调递减，………7分    2 1   记tan= ， 0, ， 3  2   则x 0,，f(x)0，f  x 单调递增，x  ,  ，f(x)0，f  x  单调递减，  2 所以 f  x 在x=处取极大值，………9分 10 3 10 又因为sin= ，cos= ，………11分 10 10 10 9 10 所以 f sin+3cos= + = 10，………12分 10 10 1 {#{QQABBQak5goQgpSACJ4KBwEQCkgYkIOgLGgMQRCQKAQKgRFIBKA=}#}   又 f  0 sin0+3cos0=3， f   sin +3cos =1，………14分 2 2 2   比较可得：函数 f  x 在区间  0,  上的最大值为 10，最小值为1.………15分  2 17.（15分） （1）M 是线段OC 上的动点，且直线QM ∥平面PBD，故平面QOC∥平面PBD，………2分 又平面QOC平面ABCD=OC，平面PBD平面ABCD=BD，所以OC∥BD，………4分  所以AOC=OBD= ，又OB=OD，所以OBD是正三角形，所以OB=BD=OC，………6分 3 所以OBDC 是平行四边形，所以CD∥AB.………7分 （2）取CD的中点记为N，易证ON  AB，    如图，分别以ON,OB,OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz， ………8分 不妨设AB2r，又PAB是正三角形，  3r r    则A0,r,0，B0,r,0，D , ,0，P 0,0, 3r ，    2 2          3r r  则AP 0,r, 3r ,BP= 0,r, 3r ,BD= , ,0， ………10分    2 2  设n(x,y,z)为平面PBD的法向量，  ry 3rz 0,  nBP 0,  有  则 3r r nBD 0,  x y 0,  2 2 令x=1，所以平面PBD的一个法向量n(1, 3,1)， ………12分   nAP 3r+ 3r 15 所以cos n,AP =    ，………14分 |n|| AP| 2 5r 5 15 所以，直线PA与平面PBD所成角的正弦值为 . ………15分 5 18.（17分） 4 3 3 2 3 （1）设A=“编号为2的抽屉里放的是黑球”,则P  A      .………3分 7 6 7 6 7 （2）X 的可能取值为1，2，3，4，………4分 C1C3 4 C2C2 18 P(X 1) 4 3  ， P(X 2) 4 3  ， C4 35 C4 35 7 7 C3C1 12 C4 1 P(X 3) 4 3  ，P(X 4) 4  ， C4 35 C4 35 7 7 用表格表示分布列，如下表所示： X 1 2 3 4 4 18 12 1 P ………8分 35 35 35 35 4 18 12 1 16 E(X)1 2 3 4  .………9分 35 35 35 35 7 （3）依题意，编号为1的抽屉里放的一定是白球，一共可以分为如下5种情况：………10分 2 {#{QQABBQak5goQgpSACJ4KBwEQCkgYkIOgLGgMQRCQKAQKgRFIBKA=}#}4 3 3 2 3 ①白—黑—白—白……，P      ， 1 7 6 5 4 35 4 3 3 2 2 2 ②白—黑—白—黑—白……，P       ， 2 7 6 5 4 3 35 4 3 3 2 3 ③白—白—黑—白……，P      ， 3 7 6 5 4 35 4 3 3 2 2 2 ④白—白—黑—黑—白……，P       ，………15分 4 7 6 5 4 3 35 4 3 2 4 ⑤白—白—白……，P     ， 5 7 6 5 35 14 2 P  C P P P P P  = .………17分 1 2 3 4 5 35 5 19.（17分） 由于两实数相乘满足交换律，以下解答中不妨设i j. （1）a aa  248；………3分 3 1 2 （2）若对任意nN* n 2 ，a a ，则a =aa 2816，或a =a a 4832；………5分 n n1 4 1 3 4 2 3 ①若a =16，则a =aa 21632，或a =a a 4832，或a =a a 41664， 4 5 1 4 5 2 3 5 2 4 或a =a a 816128；………7分 5 3 4 ②若a =32，则a =aa 23264，或a =a a 432128，或a =a a 832256； 4 5 1 4 5 2 4 5 3 4 a =16, a =32, 综上， 4 或 4 ………9分 a =32,或a =64,或a =128, a =64,或a =128,或a =256. 5 5 5 5 5 5 （3）因为a 2,a 4=22，且对任意nN* n3 ，总存在i，jN*，使得a =aa  i  j,i n, j n ， 1 2 n i j 所以数列 a 的任意一项都可以写成2的正整数指数幂的形式， n 又因为对任意nN* n 2 ，a a ，所以a 2a ，………12分 n n1 n n1 所以a 2a 22a 2nka ,kN*，………13分 n n1 n2 k a a a a a 所以S a a a a a a  n  n  n  n  na ………14分 n 1 2 3 k n1 n 2n1 2n2 2n3 2nk 2 n 1 1 1 1 1 (     1)a 2n1 2n2 2n3 2nk 2 n 1 1[1( )n] 1  2 a  2[1( )n]a  2a .………17分 1 n 2 n n 1 2 3 {#{QQABBQak5goQgpSACJ4KBwEQCkgYkIOgLGgMQRCQKAQKgRFIBKA=}#}