文档内容
攀枝花市 届⾼三第⼀次统⼀考试
2026 2026.1
数学
本试题卷共4⻚，满分150分，考试时问120分钟.
注意事项：
1．答题前，务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.并⽤2B铅笔将答题卡
考号对应数字标号涂⿊.
2．答选择题时，选出每⼩题答案后，必须使⽤2B铅笔将答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊.
如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案标号.答⾮选择题时，必须使⽤0.5毫⽶⿊⾊签
字笔在答题卡上题⽬所规定的答题区域内作答，答在本试题卷上⽆效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回.
⼀、单项选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有
⼀项是符合题⽬要求的
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合 ，即可求出
【详解】由 得 ， ，
所以
故选：A
2. 等差数列 的前n项和为 ，若 ，则公差 ( )
A.1 B. C.2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列通项公式和前n项和公式列出关于 和d的⽅程组求解即可．
第1⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】由题可知 ．
故选：B．
3. 已知 ， ，则 是 （ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】结合对数的运算及充分不必要条件的定义判断即可.
【详解】由 ，可得 且 ；
由 ，不能得 ，
如当 时，满⾜ ，
此时对数⽆意义，
即由 能推出 ，但由 推不出 ，
所以 是 的充分不必要条件.
故选：B.
4. ⼆项式 的展开式中的常数项为（ ）
A.30 B.20 C.15 D.6
【答案】C
【解析】
【分析】由题可得展开式通项为 ，据此可得答案.
【详解】 的通项为： ，令 ，
则展开式中的常数项为： .
故选：C
5. 若双曲线 的⼀条渐近线平⾏于直线 ，则双曲线 的焦距为（ ）
第2⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A.2 B.4 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出双曲线的⼀条渐近线⽅程，再结合题意得到 ，进⽽求出 ，最后求解焦距即可.
【详解】由题意得双曲线 的⼀条渐近线⽅程为 ，
⽽双曲线 的⼀条渐近线平⾏于直线 ，可得 ，
由题意得 ，则 ，即 ，
可得双曲线C的焦距为 ，故D正确.
故选：D
6. 某校300名学⽣参加国学知识竞赛，随机抽取了40名学⽣的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直
⽅图如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A.a的值为
B. 这40名学⽣竞赛成绩的平均数为75
C. 这40名学⽣竞赛成绩 众数⼤于其平均数
D. 这40名学⽣竞赛成绩的第80百分位数约为
【答案】D
【解析】
【分析】利⽤所有⼩矩形的⾯积之和为 ，可求出 ，由此利⽤频率分布直⽅图结合选项即可逐⼀求解.
【详解】 ，故A错误
设这40名学⽣竞赛成绩的平均数为 ，则 ，
故B错误
第3⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司这40名学⽣竞赛成绩的众数为 ， ，故C错误；
设这40名学⽣竞赛成绩的第80百分位数为 ，则 ，解得
，故D正确.
故选：D
7. 已知函数 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的最⼩正周期为
B. 在区间 上单调递增
C. 的图象向左平移 个单位⻓度后关于y轴对称
D. 若 在区间 上恰有⼀个零点，则实数m的取值范围是
【答案】C
【解析】
【分析】利⽤三⻆恒等变换将已知函数化为 的形式，再结合该函数的性质逐项分析判断
即可.
【详解】
.
选项A：最⼩正周期 ，故A错误；
选项B：求 的单调递增区间：
令 ， ，解得 ， ，
所以区间 包含 （递增）和 （递减），故B错误；
选项C： 的图象向左平移 个单位⻓度后得到：
第4⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司，
为偶函数，图象关于 轴对称，故C正确；
选项D：令 ，即 ，
则 ， ，即 ， ，
当 时， ；当 时， ；
若 区间 上恰有⼀个零点，则 ，
所以实数 的取值范围为 ，故D错误.
故选：C.
8. 已知函数 ，若 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由对数函数，指数函数单调性可⽐较 ⼤⼩，然后由 单调性可得答案.
【详解】注意到 ， ， ，
则 .
当 ，易得 在R上单调递增.
则 ，从⽽ 在 上单调递增，则 .
⼜注意到当 时， 在 上单调递减，则 .
综上可得 .
故选：B
⼆、多项选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在年⼩题给出的四个选项中，有多项
符合题⽬要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
第5⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司9. 设复数z满⾜ （i为虚数单位），记 为z的共轭复数，则（ ）
A. B. 复数z的虚部为
C. D. 复数z在复平⾯内对应的点在第⼀象限
【答案】AC
【解析】
【分析】由已知计算出 ，根据复数模的计算公式求解判断A，根据复数的概念判断B，根据复数的
加法和乘法计算判断C，根据复数的⼏何意义判断D.
【详解】因为 ，所以 ，
对于A： ，A正确；
对于B：因为复数 ，所以复数 的虚部为 ，B错误；
对于C：因为 ，所以 ，所以 ，
⼜ ，所以 ，C正确；
对于D：因为复数 ，所以复数 在复平⾯内对应的点坐标为 ，在 第四象限，D错误；
故选：AC.
10. 已知 ， ，且 ，则（ ）
A. 有最⼤值 B. 有最⼩值8
C. 有最⼤值1 D. 有最⼩值
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接使⽤基本不等式可判断A；利⽤常数代换法，结合基本不等式可判断B；消元后结合⼆次函数
性质可判断C；配⽅后使⽤基本不等式可判断D.
【详解】对A，因为 ， ，且 ，所以 ，
整理可得 ，当且仅当 ，即 时等号成⽴，正确；
对B，因为 ，所以 ，
第6⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时等号成⽴，正确；
对C，因为 ，所以 ，当 时等号成⽴，
⼜ ，故取不到等号，即 的最⼤值不是1，错误；
对D，因为 ，所以 ，
由上知， ，所以 ，当且仅当 时等号成⽴，正确.
故选：ABD
11. 已知曲线 在 处的切线斜率为9，则（ ）
A.
B. 函数 有2个零点
C. 若函数 在区间 上有最⼩值，则实数b的范围为
D. 若 ， ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利⽤导数的⼏何意义求得 ，即可判断A；利⽤导数确定函数的单调区间及极值，作出图象，
得函数有3个零点，即可判断B；结合图象，可得 ，求解后即可判断C；解得 ，
，即可判断D.
【详解】对于A，因为 ，
所以 ，
所以 ，
由题意可得 ，
解得 ，故A正确；
对于B，由A可知 ， ，
所以当 时， ， 单调递增；
第7⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
且 ， ， ， ，
当 趋于 时， 趋于 ；当 趋于 时， 趋于 ；
作出 的图象，如图所示：
所以函数 在 ， 和 上分别有⼀个零点，
所以函数 有3个零点，故B不正确；
对于C，因为函数 在区间 上有最⼩值，
由函数的图象可得 ，解得 ，
即实数b的范围为 ，故C正确；
对于D，令 ，即 ，
所以 ， ，
即 ，
所以 或 ，
因为 ，
所以 ⽆解，
解得 ，即 ；
令 ，即 ，
即 ，
第8⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 或 ，
⼜因为 ，
所以 ⽆解，
解得 ，即 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 若平⾯向量 ， ， 均为单位向量，且 ，则 与 的夹⻆为______．
【答案】
【解析】
【分析】对 进⾏平⽅求出 的值，再利⽤向量的数量积公式求解即可.
【详解】由 可得， ，即 ，
因为 ， ， 均为单位向量，所以 ，
所以 ，即 .
设 与 的夹⻆为 ，
则 ，所以 .
故答案为：
13. 若 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】由 ，结合诱导公式和⼆倍⻆公式计算可得.
第9⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】因为 ，
所以
.
故答案为：
14. 已知函数 的图象不在x轴上⽅，则 的最⼤值为______．
【答案】
【解析】
【分析】问题即 恒成⽴，通过讨论确定 ，则 ，令 ，构造函数
利⽤导数求最⼤值.
【详解】 的图象不在 轴上⽅，即 恒成⽴.
若 ，当 时， ， ，所以 ，不合题意；
若 ，则 ，当 时， ，不合题意；
所以 ，且当 时，由 可得 ；当 时，由 可得 ，
⼜ 是增函数，所以当 时， ，即 ，
所以 ，令 ，则 ，
设 ，则 ，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以当 时， 取得最⼤值，最⼤值为 ，
即 的最⼤值为 .
故答案为： .
第10⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5⼩题，共77分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，内⻆A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满⾜ ．
（1）求⻆B；
（2）若 ，求 周⻓的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）已知条件利⽤余弦定理⻆化边，即可得 ，可求⻆B；
（2）已知 ， ，由正弦定理结合三⻆恒等变换得 ，再利⽤
⻆ 的范围和正弦函数的性质求得 周⻓的取值范围即可.
【⼩问1详解】
因为 ，
所以由余弦定理得 ，
即 ，即 ，
⼜ ，则 .
【⼩问2详解】
由（1）知 ，⼜ ，
由正弦定理可得 ，
则
，
第11⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司由 ，得到 ， ，
则 ，可得 ，
故 周⻓的取值范围为 ．
16. 如图，在四棱锥 中，底⾯ 是边⻓为2的正⽅形，侧⾯ 是正三⻆形，侧⾯
底⾯ ，E、F分别为 、 的中点．
（1）求证： 平⾯ ；
（2）求平⾯ 与平⾯ 夹⻆的余弦值．
【答案】（1）证明⻅解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线⾯平⾏的判定定理，通过作辅助线，说明线线平⾏，进⽽说明线⾯平⾏即可.
（2）根据⾯⾯夹⻆余弦值的向量⽅法，建⽴空间直⻆坐标系，写出点的坐标，求出平⾯法向量，进⽽求出
结果.
【⼩问1详解】
如下图所示，作 中点 ，连接 ，
第12⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司因为 分别为 的中点，所以在 中， 且 ，
因为 是 中点，四边形 为正⽅形，所以 且 ，
所以四边形 是平⾏四边形，所以 ，
因为 ⾯ ， ⾯ ，所以 ⾯ .
【⼩问2详解】
如下图所示，作 中点 ，连接 ，
因为 是正三⻆形，所以 ，
因为⾯ ⾯ ， 平⾯ ，平⾯ 平⾯ ，
所以 ⾯ ，
因为 分别为 的中点，四边形 为正⽅形，所以 ，
则 两两相互垂直，以 为坐标原点，分别以 为 轴建⽴空间直⻆坐标系，
第13⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司由正⽅形 边⻓为 ， 是正三⻆形，所以 ，
可得 ，
所以 ，
设⾯ 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，解得 ，所以⾯ 的⼀个法向量为 ，
设⾯ 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，解得 ，所以⾯ 的⼀个法向量为 ，
设平⾯ 与平⾯ 夹⻆为 ，则 ，
即 ，所以平⾯ 与平⾯ 夹⻆的余弦值为 .
第14⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司17. 已知数列 的前n项和为 ， ，且4， ， 成等⽐数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，记数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】（1）
（2）证明⻅解析
【解析】
【分析】（1）根据 与 的关系求数列的通项公式.
（2）利⽤裂项求和法求数列 的前 项和，再根据数列的单调性证明 .
【⼩问1详解】
由题意 .
当 时， .
当 时， ， ，
两式相减，得
所以 ，
⼜因为 ，所以 .
所以数列 是以 为⾸项，以 为公差的等差数列.
所以 .
【⼩问2详解】
因为 ，
所以
，
第15⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司因为 为单调递增数列，且 ,
所以 .
18. 已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）函数 有两个零点 ， ．
（i）求实数a的取值范围；
（ⅱ）若函数 有两个零点为 ， ，证明： ．
【答案】（1）答案⻅解析；
（2）（i） ；（ⅱ）证明⻅解析.
【解析】
【分析】（1）求导，分 和 讨论函数 的单调性，探索函数的极值情况.
（2）（i）问题转化为 与函数 的图象有两个不同交点，求 的取值范围，再分析
的极值及符号即可，（ⅱ）根据 ，及 ，可确定
.
【⼩问1详解】
因为 （ ），所以 .
当 时， 在 上恒成⽴，所以 在 上单调递减，⽆极值；
当 时，由 ；由 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 有极⼩值 ，⽆极⼤值.
【⼩问2详解】
第16⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（i） .
设 ，则问题转化为 与函数 的图象有两个交点.
因为 .
由 ，由 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
，且当 时， ； ；当 时， .
所以当 时， 与函数 的图象有两个交点.
所以实数 取值范围为 .
（ⅱ）由（i）可知， .
由 .
设 ， ，则 ，
由 ；由 .
所以 上单调递增，在 上单调递减.
⼜ ， ，当 时， .
当 时， 与函数 的图象有两个交点，且 .
所以 ，且 .
⼜ ， ， ， ，
结合（i）， ， .
由 ，由 .
所以 .
第17⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 .
19. 某校组织知识问答⽐赛，每名参赛选⼿都赋予6分的初始积分，每答对⼀题加1分，每答错⼀题减1分，
已知⼩王每道题答对的概率为 ，答错的概率为 ，且每道题答对与否互不影响．
（1）求⼩王答3道题后积分⼩于6的概率；
（2）设⼩王答4道题后积分为X，求 ；
（3）若⼩王⼀直答题，直到积分为0或12时停⽌，记⼩王的积分为 （ ，1，2，…，12）时，最终
积分为12的概率为 ，则 ， ．
（i）证明：数列 为等⽐数列；
（ⅱ）求 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）（i）证明⻅解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）分⼩王3题都答错，或答对1题，答错2题讨论，再利⽤独⽴事件乘法公式和加法公式即可
得到答案；
（2）设⼩王答对的题数为 ，得到关系式 ，再利⽤⼆项分布的均值公式和均值性质即可得到答
案；
（3）（i）根据全概率公式得 ，再构造成等⽐数列即可证明；
（ii）根据（i）的结果并结合累加法和等⽐数列求和即可得到答案.
【⼩问1详解】
⼩王答3道题后积分⼩于6，则⼩王3题都答错，或答对1题，答错2题，
故所求概率为 .
【⼩问2详解】
设⼩王答对的题数为 ，则他答错的题数为 ，
第18⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 ．
由题意知 ，所以 ，所以 ．
【⼩问3详解】
（i）当⼩王的积分为 时，若⼩王接下来⼀题答对，
则积分变为 ，若⼩王接下来⼀题答错，则积分变为 ．
由全概率公式有 ，
整理可得 ．
⼜ ，所以 为等⽐数列．
（ii）由（i）可得 ，
所以 ，
⼜ ，所以 ．
所以 .
第19⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
