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沈阳市第 120 中学 2003—2024 学年度下学期
高二年级第二次质量监测试题
数 学
满分：150分 考试时间：120分钟
命题人：赵立强 刘甫春 审题人：孙爽
一、单选题；本题共8小题，满分40分．每小题给出的选项中，只有1顶是符合题目要求的．
1. 求值：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+2017﹣2019＝（ ）
A. ﹣2020 B. ﹣1010 C. ﹣505 D. 1010
2. 等差数列 和 的前 项和分别记为 与 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数 的图象如图所示， 是函数 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在等比数列 中， 则 为（ ）
A. B. C. D.
5. 设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 ( )
.
A 3 B. 4 C. 5 D. 66. 已知数列 满足 ， ，令 ．若数列 是公比为2的等
比数列，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知 是公比不为1的等比数列 的前 项和，则“ 成等差数列”是“存在不相等的正整数
，使得 成等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知数列 满足 ， ，且 （ ，
），设 （ 表示不超过实数 的最大整数），又 ，则
的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 过点 且与曲线 相切的直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角
垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n层有 个球，从上往
下n层球的总数为 ，则下列结论正确的是（ ）A. B.
C. ， D.
11. 对于无穷数列 ，定义： ，称数列 是 的“倒差数列”，下列叙述正确
的有（ ）
A. 若数列 单调递增，则数列 单调递增
B. 若数列 是常数列， ，则数列 是周期数列
.
C 若 ，则数列 没有最小值
.
D 若 ，则数列 有最大值
三、填空题：本题共3小题，满分15分．
12. 已知 ，则 __________．
13. 已知 ，记 ， ， ， ，则
______．
14. 数列 满足 ，前16项和为540，则 ______________.
四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
.
15 已知函数 .（1）分别求出 和 的导数；
（2）若曲线 在点 处的切线与曲线 在 处的切线平行，求 的值.
16. 已知 为等差数列， 是公比为正数的等比数列， .
（1）求 和 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和.
17. 牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植
公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入
金额比上一年减少 ，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销
售收入每年会比上一年增加 ．
（1）设n年内总投入金额为 万元，牧草销售总收入为 万元，求 ， 的表达式；
（2）至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（ ， ）
18. 过点 作曲线 （ ，常数 ， ）的切线．切点为 ，点 在x轴上的投
影是点 ；又过点 作曲线C的切线，切点为 ，点 在x轴上的投影是点 ；……依此类推，得到一
系列点 ， ，…， ，设点 的横坐标为 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证： ；
（3）求证： ．19. 已知数列 的前 项和为 ，且
（ ）求数列 的通项公式；
（ ）若数列 满足 ，求数列 的通项公式；
（ ）在（ ）的条件下，设 ，问是否存在实数 使得数列 是单调递增数列？
若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.沈阳市第 120 中学 2003—2024 学年度下学期
高二年级第二次质量监测试题
数 学
满分：150分 考试时间：120分钟
命题人：赵立强 刘甫春 审题人：孙爽
一、单选题；本题共8小题，满分40分．每小题给出的选项中，只有1顶是符合题目要求的．
1. 求值：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+2017﹣2019＝（ ）
A. ﹣2020 B. ﹣1010 C. ﹣505 D. 1010
【答案】B
【解析】
【分析】分组求和，奇数项和相邻的偶数和均为-2，即可求出结果.
【详解】
.
故选:B
【点睛】本题考查分组并项求和，考查计算能力，属于基础题.
2. 等差数列 和 的前 项和分别记为 与 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列下标和的性质可得 ，进而代值计算即可得解.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.3. 已知函数 的图象如图所示， 是函数 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象，由导数的意义和割线的斜率求解即可.
【详解】因为 在 上为递增函数，
由导数的意义可知， 为曲线在 处切线的斜率，
所以 ，
又由斜率 的定义可以 ，表示割线的斜率，
所以 ，
故选：A.
4. 在等比数列 中， 则 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据基本量运算求出等比数列 中 ，从而判断 是等比数列，最后应用求和公式计算即可.
【详解】令 的公比为 ，因为 ，所以 ，解得 .
根据等比数列的性质可知，数列 是公比为 首项为 的等比数列，
所以 .
故选：B.
5. 设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由 又 ，可得公差 ，
从而可得结果.
【详解】 是等差数列
又 ，
∴公差 ，
，故选C．
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能
力，属于中档题.
6. 已知数列 满足 ， ，令 ．若数列 是公比为2的等比数列，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】数列 是公比为2的等比数列，可得 ，则有 ，累加法结合等比数列求和
公式，计算 .
【详解】 ，数列 是公比为2的等比数列，则 ，
即 ，
.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题关键点是利用数列 的通项得到 ，用累加法即可计算 .
7. 已知 是公比不为1的等比数列 的前 项和，则“ 成等差数列”是“存在不相等的正整数
，使得 成等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合等差数列性质及等比数列通项公式和求和公式，根据充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】因为 是公比不为1的等比数列 的前 项和，所以若 成等差数列，则
，从而 ，结合 化简得 ，
若 成等差数列，则 ，即 ，所以 ，
故当 时，有 ，
即“ 成等差数列”能推出“存在不相等的正整数 ，使得 成等差数列”；
反之，满足 不一定是 ，如 ， ， ，
满足 ，但不满足 ，
即“存在不相等的正整数 ，使得 成等差数列”推不出“ 成等差数列”；
所以“ 成等差数列”是“存在不相等的正整数 ，使得 成等差数列”的充分不必要条件.
故选：A
8. 已知数列 满足 ， ，且 （ ，
），设 （ 表示不超过实数 的最大整数），又 ，则
的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 经过因式分解后得到递推关系，从而得到数列
的通项公式，进而得到 ； 可以表示为两点之间的距离的平方，根据 和满足的关系式，通过求距离最小值得到 的最小值.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，
左右两边同时减 得 ，即 ，
左右两边同时除以 得 ， ，
所以 ， ，则 ，
设 是抛物线 上的整点， 为直线 上的任意一点，
则 ，
点 到直线 的距离为 ，
当 即 时， ，
故 ，当且仅当 ， 时，等号成立，
从而 的最小值为 .
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 过点 且与曲线 相切的直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC【解析】
【分析】设过点 的切线与曲线 相切于点 ，根据导数的几何意义求出切线方程，
再根据切线过点 求出 ，即可得解.
【详解】设过点 的切线与曲线 相切于点 ，
因为 ，则曲线 在点 处 切的线斜率为 ，
所以切线方程为 ，
因为切线过点 ，所以 ，解得 或 ，
故切线方程为 或 .
故选：BC.
10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角
垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n层有 个球，从上往
下n层球的总数为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
.
C ， D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，归纳可得 ，由此求出数列的通项公式，据此分析选项，即可得答案.【详解】根据题意， ，
则有 ，
当 时，
，
也满足，所以 .
，A选项错误；
，B选项正确；
， ， C选项正确；
，
，D选项正确.
故选：BCD
11. 对于无穷数列 ，定义： ，称数列 是 的“倒差数列”，下列叙述正确
的有（ ）
A. 若数列 单调递增，则数列 单调递增
B. 若数列 是常数列， ，则数列 是周期数列
C. 若 ，则数列 没有最小值D. 若 ，则数列 有最大值
【答案】BD
【解析】
【分析】可通过反例说明A错误；令 ，可推导得到 ，由此整理得 ，
知B正确；分别在 为偶数和 为奇数两种情况下，根据 的单调性可确定 的单调性和正负，由
此确定最大值和最小值，知CD的正误.
【详解】对于选项 ：例如 ，则 ， ，
可知 ，故 错误；
对于选项 ：因为 是常数列，可设 ，
则 ，
可得 ，
又因为 不是常数列，则 ，
可得 ，整理得： ，
所以 ，可知数列 是以 为周期的周期数列，故B正确；
对于选项CD：若 ，则 ，①当 为偶数时， 且 单调递增，则 ，
所以 且 单调递增，此时 ；
②当 为奇数时， 且 单调递减，则 ，
所以 且 单调递减，此时 ；
综上所述： 既有最大值 ，又有最小值 ，C错误；D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，满分15分．
12. 已知 ，则 __________．
【答案】1024
【解析】
【分析】对等式两边同时求导可得： ，令 即可得结果.
【详解】因为 ，
两边同时求导可得： ，
令 ，可得 .
故答案为：1024.
13. 已知 ，记 ， ， ， ，则______．
【答案】
【解析】
【分析】多列几项，可以发现计算规律，每四项组合一起求和为 ，然后每四项组合在一起来求和.
【详解】解： ， ， ，
， ，则
所以
，
故答案为：
14. 数列 满足 ，前16项和为540，则 ______________.
【答案】
【解析】
【分析】对 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用
表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立 方程，求解即可得出结论.
【详解】 ，当 为奇数时， ；当 为偶数时， .
设数列 的前 项和为 ，
，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属
于较难题.
四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 .
（1）分别求出 和 的导数；
（2）若曲线 在点 处的切线与曲线 在 处的切线平行，求 的值.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）应用导数运算律及复合函数求导即可；
（2）先分别求出切线斜率再根据平行线斜率相等求参.
【小问1详解】
由导数公式得 ，由复合函数求导法则得 ；
【小问2详解】
由 可得曲线 在点 处的切线的斜率
，
从而切线方程为 ，即 .
由 ，可得曲线 在 处的切线斜率为 ，
由题意可得 ，
从而 ，
此时切点坐标为 ，曲线 在 处的切线方程为 ，
即 ，故符合题意.
16. 已知 为等差数列， 是公比为正数的等比数列， .
（1）求 和 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由等差数列、等比数列的基本量的计算算出公差，公比即可得解.
（2）直接由等比数列公式法、错位相减法求和运算即可得解.
【小问1详解】
由题意设等差数列等比数列的公差公比分别为 ，则由题意有 ，解得 ，
所以 和 的通项公式分别为 .
【小问2详解】
设数列 的前n项和为 ，由（1）可得 ，
所以 ， ，
两式相减得 ，
所以数列 的前n项和为 .
17. 牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植
公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入
金额比上一年减少 ，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销
售收入每年会比上一年增加 ．
（1）设n年内总投入金额为 万元，牧草销售总收入为 万元，求 ， 的表达式；
（2）至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（ ， ）
【答案】（1） ，
（2）至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入
【解析】
【分析】(1)利用等比数列求和公式可求出n年内的旅游业总收入与n年内的总投入；
(2)设至少经过 年旅游业的总收入才能超过总投入，可得 ，结合(1)进行化简并换元参数解不等
式，进而可得结果.
【小问1详解】由题知，每年的追加投入是以40为首项， 为公比的等比数列，
所以， ；
同理，每年牧草收入是以30为首项， 为公比的等比数列，
所以， .
【小问2详解】
设至少经过n年，牧草总收入超过追加总投入，即 ，
即 ，
令 ， ，则上式化为 ，即 ，
解得 ，即 ，所以， ，
即 ，所以 ，
所以，至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入．
18. 过点 作曲线 （ ，常数 ， ）的切线．切点为 ，点 在x轴上的投
影是点 ；又过点 作曲线C的切线，切点为 ，点 在x轴上的投影是点 ；……依此类推，得到一
系列点 ， ，…， ，设点 的横坐标为 ．（1）求数列 的通项公式；
（2）求证： ；
（3）求证： ．
【答案】（1）
（2）证明见详解 （3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义和数列的递推关系即可求解；
（2）由（1）可得 ，利用二项式定理放缩即可求解；
（3）由（1）可得 ，利用裂项
相消法分析证明；
【小问1详解】
因为 ，则 ，
若切点是 ，则切线斜率 ，
则切线方程为 .
①当 时，切线过点 ，
即 ，得 ；
②当 时，切线过点 ，
即 ，得 .所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 .
【小问2详解】
因为 ，可知 ，
所以
.
【小问3详解】
因为 ，
可得
，
又因为 ，则 ，可得 ，
所以 ，即 .
19. 已知数列 的前 项和为 ，且
（ ）求数列 的通项公式；
（ ）若数列 满足 ，求数列 的通项公式；（ ）在（ ）的条件下，设 ，问是否存在实数 使得数列 是单调递增数列？
若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】⑴ ；⑵ .
【解析】
【详解】试题分析：（1）由递推关系式消去 ，可得 ，数列 为等比数列，且首项为 ，
公比 ，所以 ．（2）由 递推得：
两式相减得： 又
当 时, 所以
（3） 因为
所以当 时,
依据题意,有 即
分类讨论， 为奇数或偶数，分离参数即可求出 的取值范围是
试题解析：⑴ 由 得 两式相减,得
所以 由又 得所以数列 为等比数列，且首项为 ，公比 ，所以 ．
⑵ 由 ⑴ 知
由
得
故 即
当 时, 所以
⑶ 因为
所以当 时,
依据题意,有 即
①当 为大于或等于 的偶数时,有 恒成立．
又 随 增大而增大,
则当且仅当 时, 故 的取值范围为②当 为大于或等于 的奇数时,有 恒成立,且仅当 时,
故 的取值范围为
又当 时,由
得
综上可得,所求 的取值范围是
点睛：本题考查了数列的递推公式，数列求和及与数列有关的含参问题，涉及分类讨论，属于难题．根据
数列前 项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析 ，在处理涉及 的数列问题，
一般要考虑分 为奇数和偶数来分类讨论，含参的的恒成立，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小
值问题来处理．
