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字节精准教育联盟 · CDS 2023 级高中毕业班第一次诊断性检测
数 学
注意事项：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.考试结束后，只交回答题卡.
一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分.
1. 已知 ，则 可能为（ ）
A. B. C. D.
2. 设复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 函数 的图象大致为（ ）
A B.
.
C. D.4. 已知函数 ，则“ 为幂函数”是“ ”的（ ）
.
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数 在 上只有一个零点，则正实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6. 在 中， ， ， ，则 （ ）
.
A B. C. D.
7. 在平面直角坐标系 中，已知圆 ，点 ，若圆 上存在点
，满足 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 的定义域为 ，且它的图象关于 对称，当 时，
恒成立，设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：共3小题，每小题6分，全选得满分，漏选得部分分，错选得0分，满分18分.
9. 在男子跳水10米台比赛中，某运动员发挥出色.在他的第一跳中，10位裁判给出的分数为：9.0，9.1，
9.3，9.5，9.5，9.7，9.9，10，10，10，对该组数据下列说法正确的有（ ）
A. 众数为10 B. 平均数为9.5 C. 极差为9 D. 中位数为9.610. 函数 的部分图象如图所示，其中 ，图象向右平移 个单位
后得到函数 的图象，且 在 上单调递减，则下列说正确的是（ ）
A. B. 为 图象 一的条对称轴
C. 可以等于8 D. 的最小值为2
11. 已知函数 ，若 有两个极值点 ，则下面判断正确的是（
）
A. B. C. D.
三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分.
12. 在等比数列 中，已知 ，则 ______．
13. 某学校举办作文比赛，共设6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文．则甲、乙两位
参赛同学抽到的主题不相同的概率为____________．
14. 已知正实数 ，满足 ，则 的最小值为___________．
四、解答题：共5小题，15题13分，16-17题每小题15分，18-19题每小题17分，共77分.
15. 在① ，② ，③ 这三个条件
中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知___________（只需填序号）.
（1）求角 ；
（2）设 是BC上一点，且 ， ，求 面积的最大值.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
16. 如图，在四棱锥 中，侧面 平面 ， 是边长为2的等边三角形，底面
为直角梯形，其中 ， ， .
（1）取线段 中点M，连接 ，证明： 平面 ;
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）线段 上是否存在一点E，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
17. 已知等差数列 的公差为2，且 成等比数列．
（1）求数列 的前 项和 ；
（2）若数列 的首项 ，求数列 的通项公式．
18. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上， 为 上
两点， 为椭圆上三个动点.
的
（1）求椭圆 标准方程；
（2）求椭圆 内接菱形 的面积的最小值；（3）是否存点 使 为 的重心？若存在，请探究 的面积是否为定值；若不存在，请
说明理由.
19. 已知函数 ， .
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 在区间 上单调递减，求 的取值范围：
（3）若 ， 存在两个极值点 ，证明： .字节精准教育联盟 · CDS 2023 级高中毕业班第一次诊断性检测
数 学
注意事项：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.考试结束后，只交回答题卡.
一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分.
1. 已知 ，则 可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集、元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由题意， ，
所以 ，则 可能为 ，
不可能为 .
故选：B
.
2 设复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求解 ，判断选项【详解】由 ，则 .
故选：B
3. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，再结合函数值以及特殊值即可判断出答案.
【详解】由题意知 的定义域为 ，
且 ，故 为奇函数，图象关于原点对称，A错误；
当 时， ，则 ，D错误；
当 时， ，结合图象可知C错误，只有B中图象符合题意，
故选：B
4. 已知函数 ，则“ 为幂函数”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义及充分必要条件的定义求解判断即可.
【详解】由函数 为幂函数，
得 ，解得 或 ，
所以“ 为幂函数”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 已知函数 在 上只有一个零点，则正实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别作出函数 与函数 的图象，分 ， 讨论即可．
【详解】由 ，得 ，
在同一坐标系内作出函数 与函数 的大致图象，
当 时， ，如图，当 时， 与 的图象有一个交点，符合题意；
当 时， ，如图，
当 时，要 与 的图象有一个交点，当且仅当 ，
即 ，而 ，解得 ，
综上，正实数m的取值范围为 ．
故选：D
【点睛】关键点点睛：解决的关键是作出二次函数与三角函数的图象，利用数形结合求解.
6. 在 中， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】已知三边求角，利用余弦定理即可求解.
【详解】由余弦定理 ，
又 ，所以 .
故选：B.7. 在平面直角坐标系 中，已知圆 ，点 ，若圆 上存在点
，满足 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设点 坐标，然后表示出 和 ，建立方程后得到点 的轨迹方程，由两个圆存在公共
点，得到圆与圆的位置关系，从而得到圆心距和半径的关系，求出 的取值范围.
【详解】设 ，则 ， .
因为 ，所以 ，
即 ，所以点 的轨迹是以 为圆心，以1为半径的圆 .
又因为点 在圆 上，所以圆 与圆 有公共点，所以 ，
即 ，解得 .
故选：B.
8. 已知函数 定义域为 ，且它的图象关于 对称，当 时，
的
恒成立，设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，得到函数 在 上单调递增，再由 的图象关于 对称，求得， ，结合 ，即可求解.
【详解】由函数 的定义域为 ，当 时， 恒成立，
可得函数 在 上单调递增，
又由函数 的图象关于 对称，可得 ， ，
则有 ，即 .
故选：D.
二、多选题：共3小题，每小题6分，全选得满分，漏选得部分分，错选得0分，满分18分.
9. 在男子跳水10米台比赛中，某运动员发挥出色.在他的第一跳中，10位裁判给出的分数为：9.0，9.1，
9.3，9.5，9.5，9.7，9.9，10，10，10，对该组数据下列说法正确的有（ ）
A. 众数为10 B. 平均数为9.5 C. 极差为9 D. 中位数为9.6
【答案】AD
【解析】
【分析】根据众数，平均数，极差和中位数的定义进行求解.
【详解】A选项，10出现了3次，出现次数最多，故众数为10，A正确；
B选项，平均数为 ，
故平均数为 ，B错误；
C选项，极差为 ，C错误；
D选项，从小到大排列，第5个数和第6个数的平均数为中位数，即 ，D正确.
故选：AD
10. 函数 的部分图象如图所示，其中 ，图象向右平移 个单位
后得到函数 的图象，且 在 上单调递减，则下列说正确的是（ ）A. B. 为 图象的一条对称轴
C. 可以等于8 D. 的最小值为2
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数 的图象确定 的值，得 ，排除A项，代入检
验 可 判 断 B 项 ； 根 据 题 意 求 得 ， 利 用 其 单 调 性 确 定
，结合 ，取值计算可判断C，D两项.
【详解】由图可知，函数 的周期 满足 ，解得 ，则
，即 .
当 时，函数 图象经过点 ，可得 ，
即 ，又 ，方程无解，舍去；当 时，函数 图象经过点 ，可得 ，
即 ，又 ，则 ，即 ，
因 时， ，故A错误，B正确；
依题意， ，当 时， ，
因 在 上单调递减，可得 ，
解得 ，因 ，当 时， ，则 取得最小值2；
当 时， ，则 ，故C，D均正确.
故选：BCD.
11. 已知函数 ，若 有两个极值点 ，则下面判断正确的是（
）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】求导后，分别在 、 、 和 的情况下，讨论 单调性，从而得到极
值点个数，确定 ；利用韦达定理可判断A正确；根据单调性可知 ，得到B正确；利用 可化简 ，结合 可知C错误；将 化简成关于 的函数，利用
导数可求得最值，知D正确.
【详解】由题意知： 定义域为 ， ；
当 时， ， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
有且仅有一个极值点 ，不合题意；
当 时，令 ，则 ；
①当 ，即 时， 恒成立，即 恒成立，
在 上单调递增，无极值点，不合题意；
②当 ，即 且 时，令 ，解得： ， ；
（1）当 时， ， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
有且仅有一个极值点 ，不合题意；
（2）当 时， ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
的极大值点为 ，极小值点为 ，满足题意；对于A， 是方程 的两根， ，A正确；
对于B，当 时， ， 当 时， 单调递减，
，B正确；
对于C， ， ，
， ；
， ，
，C错误；
对于D，
，
是方程 的两根， ， ，
，
令 ， ，
在 上单调递增， ， ，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数极值点个数求解参数范围，并判断相关结论；解题关键是能够采
用讨论含参数函数单调性的方法，讨论得到函数极值点个数，从而确定满足题意的参数的取值范围.三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分.
12. 在等比数列 中，已知 ，则 ______．
【答案】6
【解析】
【分析】设数列 的公比为 ，由条件结合等比数列性质可得 ，分类讨论求解即可.
【详解】设数列 的公比为 ，由于 ，则 ，
若 ，则 矛盾，
则 ，此时 ， 符合．
所以 .
故答案为： .
13. 某学校举办作文比赛，共设6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文．则甲、乙两位
参赛同学抽到的主题不相同的概率为____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用古典概型计算即可.
【详解】由题意可知甲乙两人抽取主题的情况有 种，不相同的情况有 种，
所以其概率为 .
故答案为：
14. 已知正实数 ，满足 ，则 的最小值为___________．【答案】
【解析】
【分析】由不等式 变形为 ，通过换元 根据不
等式恒成立得出 和 之间的关系，从而把 表示为关于 的函数，通过构造函数，考查函数单调性即可
求得.
【详解】 ,
即 ，令
则有 ，
设 ，则 ，
令 得
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 又
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
所以 可得 ，
设
则 令 得所以当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以
故 的最小值为
故答案为：
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题
从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调
性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用
的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是
一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
四、解答题：共5小题，15题13分，16-17题每小题15分，18-19题每小题17分，共77分.
15. 在① ，② ，③ 这三个条件
中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.
的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知___________（只需填序号）.
（1）求角 ；
（2）设 是BC上一点，且 ， ，求 面积的最大值.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角恒等变换结合正弦定理即可逐一化简求解；（2）分解向量得到 ，平方得条件等式 ，结合基本不等式以及三角
形面积公式即可求解.
【小问1详解】
若选① ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ；
若选② ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
而 ，
所以 ，即 ；
若选③ ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ；
综上所述，无论选择①，②还 是③，都有 ；
【小问2详解】
由题意 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，等号成立当且仅当 ，
从而 面积 ，等号成立当且仅当 ，
综上所述， 面积的最大值为 .
16. 如图，在四棱锥 中，侧面 平面 ， 是边长为2的等边三角形，底面
为直角梯形，其中 ， ， .（1）取线段 中点M，连接 ，证明： 平面 ;
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）线段 上是否存在一点E，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2） ；
（3）存在， .
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，连接 ，证出四边形 为平行四边形，即可得证.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，由向量夹角公式即可求解；
（3）求得平面 的法向量 以及 ，利用向量夹角公式即可求解．
【小问1详解】
在四棱锥 中，取 中点N，连接 ，
由 为 的中点，且 ， ，
得 ， ，
则四边形 为平行四边形，所以 ，
而 平面 ， 不在平面 内，
所以 平面 .【小问2详解】
取 的中点O，连接 ，
由 为等边三角形，得 ，
而平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
则 平面 .
由 ， ，得四边形 是平行四边形，
于是 ，而 ，则 ，直线 两两垂直，
以O为坐标原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【小问3详解】令 ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
取 ，得 ，
平面 的法向量为 ，
于是 ，
化简得 ，又 ，解得 ，即 ，
所以线段 上存在点E，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ， .
17. 已知等差数列 的公差为2，且 成等比数列．
（1）求数列 的前 项和 ；
（2）若数列 的首项 ，求数列 的通项公式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前 项和公式，即可进行基本量的计算求解；
（2）对数列 进行迭代相减，再累加计算，即可求得数列 的通项公式.
【小问1详解】因为 成等比数列，所以 ，
又等差数列 的公差为 ，
所以
可解得 ，
所以数列 的前 项和 ；
【小问2详解】
①，
当 时， ，可得 ，
可得 ②，
由②式减①式，得 ，
所以
，
且 符合上式，所以 .
18. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上， 为 上
两点， 为椭圆上三个动点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求椭圆 内接菱形 的面积的最小值；
（3）是否存点 使 为 的重心？若存在，请探究 的面积是否为定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）8 （3）是定值，
【解析】
【分析】（1）设椭圆的方程为 ，代入 可得标准方程；
（ 2 ） 联 立 ， 可 得 ， 同 理 可 得 ， 从 而
，再由 ，结合均值不等式求解最值；
（3）分直线 的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，斜率不存在时取特殊点易得 的面积为
，斜率存在时联立直线 和椭圆方程，得到韦达定理，结合重心的性质可表示出点 的坐标，将
的坐标代入椭圆方程，化简可得 ，由三角形面积公式表示出 的面积并化简，可
得 的面积为定值 ，所以 .
【小问1详解】
设椭圆 为 ，
由题意得 ，解得 ，故椭圆C的标准方程为 .
【小问2详解】
由椭圆的对称性，菱形 中心为原点，设直线，联立 ，
所以 ，同理 ，
所以
（“ ”在 时取得）.
【小问3详解】
当直线 的斜率不存在时，取 符合题意，
故存在点 ，使 为 的重心，且此时 的面积为 ，
当直线 的斜率存在时，设 ，联立 的方程消去 得
.
设 ，则 .
由条件得 ，得 ，
则 ，
，
综上， 的面积为定值，其值为 ，
所以 .19. 已知函数 ， .
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 在区间 上单调递减，求 的取值范围：
（3）若 ， 存在两个极值点 ，证明： .
【答案】（1） ；
（2） ；
.
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程；
（2）根据单调性可知 在 上恒成立，利用分离变量法可得 ，由
可得结果；
（3）设 ，则 ，将所证不等式转化为 ，令 ，利
用导数可求得 ，由此可证得结论.
【小问1详解】
由题意知： ， 定义域为 ；
，又 ，
曲线 在 处的切线方程为 ；【小问2详解】
，又 在区间 上单调递减，
在 上恒成立， 即 在 上恒成立，
在 上恒成立；
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增， ，
，即实数 的取值范围是 .
【小问3详解】
由（2）知： 满足 ，
.
不妨设 ，则
.
则要证 ，即证 ，
即证 ，也即证 成立.
设函数 ，则 ，
在 单调递减，又 ， 当 时， ，，即 .
【点睛】关键点点睛：本题考查导数在函数中的综合应用问题，涉及到已知单调性求解参数范围、利用导
数证明不等式等知识；证明不等式的关键是能够将双变量的问题转化为单一变量的问题，从而将不等式证
明转化为关于单一变量的函数最值的求解问题.
