文档内容
西南大学附中高 2025 届高三上 11 月阶段性检测(二)
数学试题
(满分: 150 分; 考试时间: 120 分钟)
2024 年 11 月
注意事项:
1. 答题前,考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。
2. 答选择题时, 必须使用 2B 铅笔填涂; 答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米的黑色签
字笔书写; 必须在题号对应的答题区域内作答,超出答题区域书写无效；保持答卷清
洁、完整。
3. 考试结束后, 将答题卡交回 (试题卷学生保存, 以备评讲)。
一、单选题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,
只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={x∣log (x+1)<2},B={x∣2x2−5x−3≤0 ,则 A∩B= ( )
2
{ | 1 } { | 1 }
A. x − b>0),F ,F 分别为椭圆的左、右焦点, P 为椭圆上一
a2 b2 1 2
点,且 |PF |=2|PF | ,若 ∠F PF =60∘ ,则椭圆离心率为( )
1 2 1 2
❑ 1 √5 √3
A. B. C. D.
3 2 3 3
( π) √10 ( 2π)
6. 已知 cos α+ = ,则 cos 2α− = ( )
6 10 3
3 3 4 4
A. − B. C. − D.
5 5 5 5
7. 过点 P(0,−3) 作圆 2x2+m y2−12x−m=0(m∈R) 的两条切线,切点分别为
A,B 两点,则 cos∠APB= ( )
1 2 1 2
A. − B. − C. D.
9 9 9 9
32
8. 已知正三棱锥的高为 ℎ ,且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 π ,则三
3
棱锥体积的最大值是( )
32√3 64√3 128√3 256√3
A. B. C. D.
27 27 27 27
二、多选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多
项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知正方体 ABCD−A B C D ,则( )
1 1 1 1
A 直线 A B 与 B D 所成的角为 60∘ B. 直线 A A 与 B D 所成的角为 45∘
1 1 1 1 1
C. 直线 A C 与平面 BC D 所成的角为 90∘ D. 直线 BD 与平面 ABCD 所成
1 1 1
的角为 45∘
( π)
10. 已知函数 f (x)=Asin ωx+φ)|A>0,ω>0,|φ|< 的部分图像如图所示,下列说
2
法正确的是 ( )π
A. φ=
3
11
B. 函数 f (x) 的图像关于 x= 对称
12
[1 1]
C. 函数 f (x) 在 , 的值域为 [−√3,√3]
6 2
1
D 要得到函数 g(x)=Acos(ωx+φ) 的图像,只需将函数 f (x) 的图像向左平移 个
4
单位
11. 已知函数 f (x)=xex+alnx+ax 有零点,则 a 可以取到的整数值有 )
A. -5 B. -3 C. -1 D. 2
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
3+i2025
12. 已知复数 z= 的共轭复数为 ´z ,则 |´z|= _____.
2−i
2
13. 已知菱形 ABCD 的边长为 2,且 ∠ABC=60∘ ,若点 P 满足 ⃗BP= (⃗BC+⃗BA) ,
3
则 ⃗PC⋅⃗BP= _____.
{a=ab+c
14. 若实数 a 、 b 、 c 互不相等,且满足 b=bc+a ,则 a+b+c= _____.
c=ac+b
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤.
15. 在 △ABC 中, a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,已知
3
bcosAcosC+acosBcosC= c ,且 a=4,b=6 .
4
(1) 求 △ABC 的面积;
(2) D 为线段 BC 上一点,且满足 3⃗BD=⃗DC ,求 AD 的长度.16. 记 S 为数列 {a } 的前 n 项和. 已知 S =na +2n(n−1) .
n n n n
(1)证明: {a } 是等差数列；
n
(2)若 a 为 a 和 a 的等比中项,求 S 的最大值.
6 4 1 −1
17. 已知三棱锥 P−ABC ,平面 PAC⊥ 平面
ABC,PD=2DC,PA=PC=AC=2,AB=BC=√2 .
(1) 求证: AC⊥PB ;
(2)求直线 DB 与平面 PAB 所成角的正弦值；
(3)求点 P 到平面 ABD 的距离.
x2 y2
18. 已知双曲线 C : − =1(a>0,b>0) 的一条渐近线的斜率为 k ,双曲线
1 a2 b2 1
x2 y2
C : − =1 的一条渐近线的斜率为 k ,|k |⋅|k |=1 ,且 C 的一个焦点到其渐近
2 8 2 2 1 2 1
线距离为 2 .
(1) 求 C 的方程;
1
(2)若 C 上任意一点 A 关于直线 y=x 的对称点为 A' ,过 A' 分别作 C 的两
2 1
条渐近线的平行线,与 C 分别交于 PQ 求证: |A'P|⋅|A'Q| 为定值.
1
19. 对于一个函数 f (x) 和一个点 M(a,b) ,令 s(x)=(x−a) 2+(f (x)−b) 2 ,若 s(x) 在
x=x 时取得最小值的点,则称 (x ,f (x )) 是 M 的 “ f 最近点”.
0 0 01
(1) 对于函数 f (x)= ,x∈(0,+∞) ,求证: 对于点 M(0,0) ,存在点 P ,使得点 P 是
x
M 的 “ f 最近点”;
(2) 对于函数 f (x)=lnx,x∈(0,+∞),M(0,1) ,请判断是否存在一个点 P ,使它是
M 的“ f 最近点”,若存在,求出 f (x) 在点 P 处的切线方程; 若不存在,请说明理
由.
(3) 已知函数 f (x)(x∈R) 可导,函数 g(x)>0 在 x∈R 上恒成立,对于点
M (t+1,f (t)−g(t)) 与点 M (t−1,f (t)+g(t)) ,若对任意实数 t ,均存在点 P 同时
1 2
为点 M 与点 M 的 “ f 最近点”,说明 f (x) 的单调性.
1 2
