文档内容
重庆市长寿中学校 2024-2025 学年高三开学考试
数学试题
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 是公比为 的等比数列，记 为 的前 项和，则下列说法正确的是( )
A. 若 是递增数列，则 ，
B. 若 是递减数列，则 ，
C. 若 ，则
D. 若 ，则 是等比数列
2.已知公差不为零的等差数列 中， ， ， ， 成等比数列，则等差数列 的
前 项和 为( )
A. B. C. D.
3.已知数列 满足 ， ，关于数列 有下述四个结论：
数列 为等比数列； ；
； 若 为数列 的前 项和，则 ．
其中所有正确结论的编号是( )
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司 1 84.已知数列 是 为首项， 为公差的等差数列， 是 位首项， 为公比的等比数列，设 ，
， ，则当 时， 的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知从 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为 ，第二行为 ， ，第三行为 ， ， ，
第四行为 ， ， ， ，如图所示，在宝塔形数表中位于第 行，第 列的数记为 ，比如 ，
， ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
6.近几年，我国新能源汽车行业呈现一片生机勃勃的景象 电动汽车因其智能性与操控感越来越被人们接
受与认可，尤其是其辅助驾驶功能 某品牌电动汽车公司为了更好地了解车主使用辅助驾驶功能的情况，
进行了问卷调查，从中抽取了 位车主进行抽样分析，分析 位车主在 次驾驶途中使用辅助驾驶功
能的次数，得到如下频率分布直方图 次以上的称为经常使用辅助驾驶功能 ，则下列结论错误的是(
)
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学科网（北京）股份有限公司 2 8A.
B. 估计车主在 次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数的平均数低于
C. 从这 位车主中随机选取一位车主，则这位车主经常使用辅助驾驶功能的概率约为
D. 按照“经常使用辅助驾驶功能”的人与“不经常使用辅助驾驶功能”的人进行分层抽样，从这 人
中抽取 人，则在经常使用辅助驾驶功能的人中应抽取 人
7.对某两名高三学生在连续 次数学测试中的成绩 单位：分 进行统计得到如下折线图．下面关于这两位
同学的数学成绩的分析中，正确的个数为( )
同学的成绩折线图具有较好的对称性，故而平均成绩为 分；
根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间 内；
乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；
乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过 分．
A. B. C. D.
8.博览会安排了分别标有序号为“ 号”“ 号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾，某嘉宾突
发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就
乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车，记方案一与方案二坐到“ 号”车的概率分
别为 ， ，则( )
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司 3 8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在数列的相邻两项之间插入此两项的和形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数
列 将数列 ， 进行构造，第一次得到数列 ， ， ；第二次得到数列 ， ， ， ， ； ；第
次得到数列 ， ， ， ， ， ， ，记 ，数列
的前 项和为 ，则( )
A. B.
C. D.
10.下列论述正确的是( )
A. 样本相关系数 时，表明成对样本数据间没有线性相关关系
B. 由样本数据得到的经验回归直线 必过中心点
C. 用决定系数 比较两个回归模型的拟合效果时， 越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差
D. 研究某两个属性变量时，作出零假设 并得到 列联表，计算得 ，则有 的把握能
推断 不成立
11.甲罐中有 个红球， 个白球和 个黑球，乙罐中有 个红球， 个白球和 个黑球．先从甲罐中随机取
出一球放入乙罐，分别以 ， 和 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机
取出一球，以 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 事件 与事件 相互独立 D. ， ， 是两两互斥的事件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.现有甲、乙两个盒子，甲盒有 个红球和 个白球，乙盒有 个红球和 个白球 先从甲盒中取出 个球
放入乙盒，再从乙盒中取出 个球放入甲盒 记事件 为“从甲盒中取出 个红球”，事件 为“乙盒还剩
个红球和 个白球”，则 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司 4 813.某工厂生产 ， 两种元件，现从一批产品中随机抽取这两种元件各 件进行检测，检测结果记录如
下：
由于表格被污损，数据 ， 看不淸，统计员只记得 ， 两种元件的检测数据的平均数相等，方差也相
等，则 ．
14.已知数列 满足 ， ，若 表示不超过 的最大整数，则
．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题13分 某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修该课程的
名学生，得到数据如下表：
喜欢统计课程不喜欢统计课程合计
男
生
女
生
合
计
判断是否有 的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？
用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取 名学生做进一步调查，将这 名学生作为一个样本，
从中任选 人，求恰有 个男生和 个女生的概率．
下面的临界值表供参考：
考公式： ，其中
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学科网（北京）股份有限公司 5 816. 本小题15分 某次文化艺术展，以体现了中华文化的外圆内方经典的古钱币造型作为该活动的举办
标志，举办方计划在入口处设立一个如下图所示的造型 现拟在图中五个不同的区域栽种花卉，要求相邻
的两个区域的花卉品种不一样．
现有木绣球、玫瑰、广玉兰、锦带花、石竹等 各不同的品种．
共有多少种不同的栽种方法；
记“在 和 区域栽种不同的花卉”为事件 ，“完成该标志花卉的栽种共用了 种不同的花卉”
为事件 ，求 ；
设完成该标志的栽种所用的花卉品种数为 ，求 的概率分布及期望．
17. 本小题15分 已知数列 是公差不为 的等差数列， ， 是 和 的等比中项．
求数列 的通项公式
设数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
18. 本小题 分 在数列 中， ， ， ， ．
证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
设 ， ，求数列 的前 项和．
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学科网（北京）股份有限公司 6 819. 本小题 分 已知等差数列 的前 项中，奇数项的和为 ，偶数项的和为 ，且
其中
求数列 的通项公式；
若 是一个等比数列，其中 ，求数列 的通项公式；
若存在实数 ，使得 对任意 恒成立，求 的最小值．
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学科网（北京）股份有限公司 7 8数学参考答案
1-5.DCAD 6-8.DCC
9.ABD 10.ABD 11.ABD
12. 13. 14.
15.解： 零假设 ：喜欢“应用统计”课程与性别无关．
，
根据小概率值 的独立性检验可知零假设不成立，所以喜欢“应用统计”课程与性别有关，犯错
误的概率不超过 ，即有 的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关；
设所抽样本中有 个男生，则 ， ，
所以样本中有 个男生， 个女生，
从中任选 人的可能情况有 个，
其中恰有 名男生和 名女生的可能情况有 个，
所以恰有 名男生和 名女生的概率为
16.解： 涂色顺序： ，
若 和 同色，方法数为 ，
若 和 不同色，方法数为 ，
所以共有 种不同的栽种方法．
， ，
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学科网（北京）股份有限公司 8 8所以 ．
可能的取值为 ， ，
， ， ，
所以 的概率分布列为
期望为 ．
17.解： ， ， ，
，
， 舍去 ，
由 得 ，
，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司 9 818.证明： 由 ，
得 ，
又 ， ，
所以 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列．
所以 ，
所以 ．
解： 因为 ，
所以 ，
．
记数列 的前 项和为 ，
则
．
记数列 的前 项和为 ，
则
．
所以数列 的前 项和为 ．
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学科网（北京）股份有限公司 10 819.解 由题意， ， ，
因为 ，所以 ，解得 ．
所以 ，
因为 ，且 ，所以 ．
设数列 的公差为 ，则 ，
所以 所以 ，通项公式
由题意， ， ，
设这个等比数列的公比为 ，则 那么 ，
另一方面 ，所以
记 ，
则 ．
因为 ， 所以当 时， ，
即 ，又 ，
所以当 时， 取最大值 ， 所以 ．
又 ，当 时， ，所以当 时， 取最小值 ，所以 ．
综上， 的最小值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司 11 8
