文档内容
20.2 数据的波动程度（单元教学设计）
一、【单元目标】
通过2个情境引入，了解数据的波动程度，抽象出方差这一概念，然后具体掌握方差的计算公式，并
学会骑具体应用；通过对方差概念的理解，再重新认识数据的波动这一概念；
（1）根据具体的试验测量数据，引导出方差的有关概念，通过计算发现方差的大小决定了属于的波
动程度；并通过对比平均数、中位数和众数等相关概念，得到方差对数据描述的侧重点，熟练掌握方差与
平均数、中位数和众数的联系与区别；
（2）通过小组合作探究，让学生参与教学过程，加深对基础概念的理解，提升了学生的数学抽象素
养，进一步发展了学生的类比推理素养；
（3）通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑推理素养；
（4）在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转化的数学思想，
同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养；
（5）通过观察图片，提高学生的观察事物的能力，同时激发学生的学习兴趣，提升学生的人文素养；
二、【单元知识结构框架】
1．方差的概念
2．方差的计算公式
3．利用方差解决更稳定、更整齐的问题
4．利用方差做决策
5．图表信息问题
三、【学情分析】
1．认知基础
本节内容不难，掌握方差的定义和计算公式，同时理解方差的具体意义，学会比较数据的波动程度，
并用方差来决策问题；
2.认知障碍
方差的计算略有些计算量，计算的时候一定要保证正确率，这属于送分题；另外要学会综合运用平均
数、众数、中位数和方差来解决实际问题；
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约2课时教学重点： 掌握方差的定义和计算公式；会用方差公式进行计算，会比较数据的波动大小；用方差
做决策问题；
教学难点： 综合运用平均数、众数、中位数和方差解决实际问题；
五、【教学问题诊断分析】
【情景引入1】
在生活和生产实际中，我们除了用平均数、中位数和众数来描述一组数据的集中程度外，有时需要了
解一组数据的离散程度．
乒乓球的标准直径为40mm，质检部门对甲、乙两厂生产的乒乓球的直径进行检测．
甲、乙两厂生产的乒乓球中各抽样调查了10只，检测的结果如下(单位：mm)：
甲厂：40.0，40.1，39.9，40.0，39.8，40.2，40.0，40.1，40.0，39.9；
乙厂：40.1，39.8，39.9，40.3，39.8，40.2，40.1，40.2，39.7，39.9.
你认为哪个厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢？
【情景引入2】
李大叔几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽了150棵荔枝，成活率约90%.现已挂果准备采收．为了分
析收成情况，他从两山上各选了4棵树采摘入库，每棵树荔枝的产量如下折线统计图所示．
通过折线统计图提供的信息，我们可以分别计算甲、乙两山样本的平均数，并根据样本的平均数估计
出甲、乙两山荔枝的产量总和，如果李大叔还想知道哪个荒山上荔枝的产量比较稳定，那么又该怎么办？
同学们能否帮助李大叔解决这个问题？
20.2.1 方差
问题1：（根据数据直接计算方差）为了从甲、乙两名同学中选拔一个射击比赛，对他们的射击水平
进行了测验，两个在相同条件下各射击10次，命中的环数如下(单位：环)：
甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4
乙：9，5，7，8，6，8，7，6，7，7
(1)求x ，x ，s，s；
甲 乙
(2)你认为该选择哪名同学参加射击比赛？为什么？【破解方法】用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果就是方差．
【解析】方差就是各变量值与其均值差的平方的平均数，根据方差公式计算即可，所以计算方差前要
先算出平均数，然后再利用方差公式计算．
解：(1)x ＝(7＋8＋6＋8＋6＋5＋9＋10＋7＋4)÷10＝7，s＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－
甲
7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]÷10＝3，x ＝(9＋5＋7＋8＋6＋8＋7＋6＋7＋7)÷10＝
乙
7，s＝[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]÷10＝
1.2；
(2)∵s＞s，∴乙的成绩稳定，选择乙同学参加射击比赛．
问题2：（已知原数据的方差，求新数据的方差）已知数据x ，x ，x ，…，x 的平均数是2，方差是，
1 2 3 20
则数据4x－2，4x－2，4x－2，…，4x －2的平均数和方差是( )
1 2 3 20
A．2， B．4，4 C．6， D．6，4
【破解方法】掌握数据都加上一个数(或减去一个数)时，方差不变，即数据的波动情况不变，平均数
也加或减这个数；当乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，平均数也乘以这个数是本题的关键．
【解析】∵x＝(x ＋x＋x＋…＋x )＝2，x ＝(4x －2＋4x－2＋4x－2＋…＋4x －2)＝6；s2＝[(x－2)2
1 2 3 20 新 1 2 3 20 1
＋(x －2)2＋(x －2)2＋…＋(x －2)2]＝，s＝[(4x －2－6)2＋(4x －2－6)2＋(4x －2－6)2＋…＋(4x －2－6)2]＝
2 3 20 1 2 3 20
×16＝4.故选D.
问题3：（根据统计图表判断方差的大小）如图是2014年1～12月份某市居民消费价格指数、工业产
品出厂价格指数以及原材料等购进价格指数的折线统计图．由统计图可知，三种价格指数方差最小的是(
)
A．居民消费价格指数
B．工业产品出厂价格指数
C．原材料等购进价格指数
D．不能确定
【破解方法】折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
【解析】从折线统计图中可以明显看出居民消费价格指数的波动最小，故方差最小的是居民消费价格
指数．故选A.问题4：（由方差判断数据的波动程度）为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株麦苗，
测得苗高如下(单位：cm)：
甲：12，13，14，13，10，16，13，13，15，11
乙：6，9，7，12，11，16，14，16，20，19
(1)将数据整理，并通过计算后把下表填全：
小麦 中位数 众数 平均数 方差
甲 13 13
乙 16 21
(2)选择合适的数据代表，说明哪一种小麦长势较好．
【破解方法】平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列
后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
【解析】(1)中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的
平均数)；出现次数最多的这个数即为这组数据的众数；(2)方差越小，数据越稳定，小麦长势较好．
解：(1)将数据整理如下：
1
甲 10 11 12 13 13 13 14 15 16
3
1
乙 6 7 9 11 12 16 16 19 20
4
所以：
小麦 中位数 众数 平均数 方差
甲 13 13 13 2.8
乙 13 16 13 21
(2)因为甲种小麦苗高的方差远小于乙种小麦苗高的方差，故甲种小麦苗高整齐，而两种小麦苗高的中
位数和平均数相同，故甲种小麦长势较好．
20.2.2根据方差做决策
问题1：（利用方差解决更稳定、更整齐的问题）某中学开展“头脑风暴”知识竞赛活动，八年级1
班和2班各选出5名选手参加初赛，两个班的选手的初赛成绩(单位：分)分别是：
1班：85，80，75，85，100；
2班：80，100，85，80，80.
(1)根据所给信息将下面的表格补充完整；
平均 中位
众数 方差
数 数
1班初赛
85 70
成绩
2班初赛
85 80
成绩
(2)根据问题(1)中的数据，判断哪个班的初赛成绩较为稳定，并说明理由．【破解方法】方差是衡量一组数据波动大小的量，方差小的数据更稳定、更整齐．
【解析】(1)利用平均数的定义以及中位数、众数、方差的定义分别求出即可；(2)利用(1)中所求，得
出2班初赛成绩的方差较小，因而成绩比较稳定的班级是2班．
解：(1)由题意得x ＝(85＋80＋75＋85＋100)＝85；2班成绩按从小到大排列为80，80，80，85，
1
100，最中间的数是80，故中位数是80；1班：85，80，75，85，100，其中85出现的次数最多，故众数
为85；s＝[(80－85)2＋(100－85)2＋(85－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2]＝60.填表如下：
平均 中位
众数 方差
数 数
1班初赛
85 85 85 70
成绩
2班初赛
85 80 80 60
成绩
(2)2班的初赛成绩较为稳定．因为1班与2班初赛的平均成绩相同，而2班初赛成绩的方差较小，所
以2班的初赛成绩较为稳定．
问题2：（利用方差做出决策）某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体
总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上(含100个)为优秀，下表是成绩最好的甲、乙两班各5名学
生的比赛数据(单位：个).
总
1号 2号 3号 4号 5号
数
甲
89 100 96 118 97 500
班
乙
100 96 110 90 104 500
班
统计发现两班总数相等，此时有人建议，可以通过考查数据中的其他信息来评判．试从两班比赛数据
的中位数、方差、优秀率三个方面考虑，你认为应该选定哪一个班为冠军？
【破解方法】在解决决策问题时，既要看平均成绩，又要看方差的大小，还要分析变化趋势，进行综
合分析，从而做出科学的决策．
【解析】平均数＝总成绩÷学生人数；中位数是按从小到大(或从大到小)次序排列后的第3个数；根据
方差的计算公式得到数据的方差．
解：甲班5名学生比赛成绩的中位数是97个，乙班5名学生比赛成绩的中位数是100个；
x ＝×500＝100(个)，x ＝×500＝100(个)；
甲 乙
s＝[(89－100)2＋(100－100)2＋(96－100)2＋(118－100)2＋(97－100)2]＝94；
s＝[(100－100)2＋(96－100)2＋(110－100)2＋(90－100)2＋(104－100)2]＝46.4，甲班的优秀率为2÷5＝
40%，乙班的优秀率为3÷5＝60%；
应选定乙班为冠军．因为乙班5名学生的比赛成绩的中位数比甲班大，方差比甲班小，优秀率比甲班
高，综合评定乙班踢毽子水平较好．
问题3：（根据方差解决图表信息问题）为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对
班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示(其中男生收看3次的人数没有标出)．
根据上述信息，解答下列各题：
(1)该班级女生人数是________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是________；
(2)对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于 3次的人数占其所在群体总人数的百分比
叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”．如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低
5%，试求该班级男生人数；
(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量(如下
表).
统计量 平均数
(次) 中位数
(次) 众数
(次) 方差
该班级男生
收看人数 3 3 4 2
根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻
次数的波动大小．
【破解方法】解答此类问题，首先要读懂图表，弄清楚统计图表的意义和统计图表中每部分的具体数
据，从图表中提取有效信息．问题的顺利解答在很大程度上取决于是否能够正确地识图表、用图表．【解
析】：(1)将柱状图中的女生人数相加即可求得总人数，中位数为第 10与11名同学的次数的平均数；(2)先
求出该班女生对“两会”新闻的“关注指数”，即可得出该班男生对“两会”新闻的“关注指数”，再列
方程解答即可；(3)较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小，需要求出女生的方差．
解：(1)20 3
(2)该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为×100%＝65%，所以男生对“两会”新闻的“关注指
数”为60%.设该班的男生有x人，则＝60%，解得x＝25，
答：该班级男生有25人；
(3)该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为＝3，女生收看“两会”新闻次数的方差为
＝.因为2＞.所以男生比女生的波动幅度大．
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
1．甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别是 ， ， ， ，这四个旅游团中年龄差异最小的旅游团
是（ ）
A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团
【答案】C
【分析】本题考查方差，根据方差越小，数据越稳定求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是丙旅游团，
故选：C．
2．甲、乙、丙、丁四人各进行30次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是 ，
，则射击成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】本题考查方差的实际应用，方差越小，数据越稳定．
【详解】解： ， ，
，
射击成绩最稳定的是乙．
故选B．
3．据了解，遵义市将在2023年8月举行全市中学生运动会，某校准备从甲、乙两名学生中选一名学生参
加 项目，根据表格信息，选一名发挥稳定的学生参加比赛 ．（填“甲”或“乙”）
甲 乙
平均数
方差方差S2 3.2 2.8
【答案】乙【分析】本题考查了方差及算术平均数的定义，解题的关键是了解方差及平均数的含义，难度不大．根据
平均数和方差的意义进行分析判断．
【详解】解：由表中数据，可知甲，乙两名学生成绩的平均数相同，而乙方差小，故应选择乙运动员．
故答案为：乙．
4．学校举行投篮比赛，某班有8名同学参加了比赛，比赛结束后，老师统计了他们各自的投篮数，分别为
3，5，5，6，5，6，4，6．则这组数据的方差为 ．
【答案】1
【分析】本题考查方差，掌握方差公式是解题的关键．
根据方差公式计算即可．
【详解】解： ，
，
故答案为：1．
5．为了从甲、乙两学生中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测验，两人在相同的条件下
各射靶6次，命中环数如下：
甲：
乙：
(1)求甲同学的成绩平均数；
(2)已知甲、乙同学的成绩平均数相同，求 的值；
(3)如果谁的成绩稳定，派谁参加比赛，应选谁参加比赛？
【答案】(1)
(2)
(3)乙同学成绩更稳定，应派乙同学参加射击比赛，理由见解析
【分析】（1）根据平均数的定义求解；
（2）根据平均数相同，即可求出 值；
（3）比较两人成绩的方差作出判断．
【详解】（1）解：甲同学成绩的平均数 ；
（2）解：∵ ，∴ ；
（3）解：应派乙同学参加射击比赛，
，
，
∵ ，
∴乙同学成绩更稳定，应派乙同学参加射击比赛．
【点睛】本题考查一组数据的平均数和方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均
水平，而方差反映波动的大小，波动越小数据越稳定．
6．为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、人年级学生进行防溺水知识竞赛
（满分 分）．现分别在七、八年级中各随机抽取 名学生的测试成绩：（单位：分）进行统计、整理
如下：
七年级： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
八年级： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
七、八年级测试成绩频数统计表
七年级
八年级
七、八年级测试成绩分析统计表
平均数 中位数 众数 方差
七年
级
八年
级
根据以上信息，解答下列问题：
(1) ______， ______， ______；
(2)如果把分数不低于 分记为“优秀”，现七、八年级共有 名学生，该估计七八年级在本次知识竞
赛中成绩优秀的学生人数；
(3)你认为哪个年级的学生学提防溺水知识的总体水平较好？请说明理由．【答案】(1) ， ，
(2) 人
(3)八年级较好，理由见解析．
【分析】（1）根据表格中八年级各阶段的人数即可求 的值，将七年级成绩从小到大排序后根据中位数的
计算方法即可求 的值，根据八年级成绩中出现次数最多的成绩即为 的值；
（2）把七、八年级中不低于 分的人数找出，计算其百分比，根据样本的百分比估算总体的数量即可求
解；
（3）运用方差作决策即可求解．
【详解】（1）解：∵八年级中随机抽取 名学生的测试， 的有 人， 的有 人，
∴ 的有 人，即 ，
∵七年级成绩从小到大排序为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
∴中位数是 ，即 ，
∵八年级成绩中出现次数最多的是 ，
∴ ，
故答案为： ， ， ．
（2）解：七年级中不低于 的人数有 人，八年级中不低于 的人数有 人，
∴七八年级测试成绩达到“优秀”的学生人数为： 人，
∴七八年级测试成绩达到“优秀”的学生人数约为 人．
（3）解：八年级较好，
∵七、八年级的平均成绩相等，但八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，
∴八年级的学生掌握防溺水知识的总体水平较好．（答案不唯一，理由合理即可）
【点睛】本题主要考查调查与统计中的相关概念及计算，掌握样本容量的计算方法，中位数、众数的计算
方法，运用样本百分比估算总体的数量，运用方差决策等知识是解题的关键．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
1．体育课上，甲、乙两名同学分别进行了6次立定跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两
名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（ ）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】D
【分析】此题考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与其平均值的离
散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生立定跳远成绩的方差．
故选D．
2．为加强学生的安全意识，学校举行了“交通安全”演讲比赛，个人展示环节中共有7位评委给选手A进
行评分，得到7个数据，并计算这7个数据的平均数，中位数，众数，方差，若将这7位评委的成绩去掉
一个最高分和一个最低分后，剩余5个数据的平均数，中位数，众数，方差中，一定不会发生变化的统计
量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【分析】本题考查了统计量的选择，去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位
数．
【详解】解：统计每位选手得分时，去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的最中间的数产生
影响，即中位数．
故选：B．
3．藤球是一项古老而独特的体育运动项目，有着悠久的历史，又叫“脚踢的排球”．下表是学校藤球队
中四名同学成绩的平均数及方差，若要从这四名队员中，选择一名成绩好且状态稳定的选手代表学校参加
市藤球赛，应选择 同学．
甲 乙 丙 丁
/分 96 98 96 98
3 3 0.4 0.4
【答案】丁
【分析】本题考查平均数和方差的意义，根据平均数可选出成绩好的同学是乙、丁，再根据方差的意义即
可得出答案．解题关键是理解平均数和方差的意义：平均数是反映一组数据的平均水平；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小．
【详解】解：∵乙、丁的成绩平均分高于甲、丙的成绩平均分，
∴乙、丁的成绩更好；
∵丁的成绩方差比乙的成绩方差小，
∴丁的成绩较稳定，
∴应选择丁同学参赛．
故答案为：丁．
4．学校举办的体育运动会中，铅球选手小亮、小松两名同学分别投掷了6次铅球，把小亮、小松同学的成
绩绘制成折线图如图所示．小亮、小松两名同学成绩较稳定的是
【答案】小亮
【分析】本题考查了折线统计图．通过折线统计图获取信息成绩波动的大小从而表明这组数据分布比较集
中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：从图中看出小亮的成绩波动较小，则小亮的成绩稳定．
故答案为：小亮．
5．某中学的国旗护卫队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队员担任护旗手，两队每个队员的身
高（单位：cm）如下：
甲
177 179 178 179 177 178 178 179 178 177
队平均数 中位数 众数 方差
甲
178 a 178 c
队
乙
177.1 177 b 0.89
队
两组样本数据的平均数，中位数，众数，方差如表中数据所示：
(1)表中 ________， ________．
(2)请计算甲队的方差c，并判断哪队队员身高更整齐．
【答案】(1)
(2) 甲队队员身高更整齐
【分析】（1）根据中位数和众数的定义可直接求得答案．
（2）根据方差的定义可直接求得甲队的方差，方差越小，数据的波动越小，即可判断哪队队员身高更整
齐．
【详解】（1）将甲队身高数据按从小到大的顺序排列，且数据个数为偶数，则中间两个数 和 的平
均数为这组数据的中位数，即中位数 ．
乙队身高数据中，出现次数最多的数据为 ，所以这组数据的众数 ．
故答案为：
（2）
，所以甲队队员身高更整齐．
【点睛】本题主要考查中位数、众数、方差的定义，牢记中位数、众数、方差的定义是解题的关键．
6．为适应体育中考新标准，某校随机抽取了10名女生和10名男生的跳绳成绩，并依据中考标准分数表进行整理，得到了如下统计表：
表1：
分值
5 6 7 8 9 10
（分）
男生
1 0 1 1 3 4
（人）
女生
0 1 0 2 2 5
（人）
表2：
众
数据 平均数 中位数 方差
数
男生成绩（分） 8.7 9 b 2.41
女生成绩（分） 9 a 10 c
(1)上述表格中， ， ， ；
(2)该校应届毕业生中有330名男生，270名女生选择跳绳作为体育中考项目，请估计选择跳绳的应届毕业
生中满分的学生人数；
(3)结合表1和表2中的统计量，你认为男生、女生谁的成绩较好？请简述理由．
【答案】(1)9.5，10，1.6；
(2)267名；
(3)女生的成绩比较好．理由见解析.
【分析】（1）根据众数、中位数以及方差的计算公式分别得出 、 、 的值；
（2）用男、女生的人数分别乘以选择跳绳的应届毕业生中满分的学生人数各占的百分比，即可得出答案；
（3）根据女生成绩的平均数、中位数都高于男生，男生成绩的方差大于女生成绩的方差，可得女生掌握
知识的整体水平比男生好；
【详解】（1）解：（1） 共有10名女学生，中位数是第5、第6个数的平均数，
中位数 ，
出现了4次，出现的次数最多，
众数 ；
．故答案为：9.5，10，1.6；
（2）根据题意得：
（名 ，
答：估计选择跳绳的应届毕业生中满分的学生人数有267名；
（3）女生的成绩比较好．
虽然男、女生成绩的众数相同，但女生成绩的平均数、中位数都高于男生，男生成绩的方差大于女生成
绩的方差，
女生掌握知识的整体水平比男生好．
【点睛】此题考查了方差，用样本估计总体，算术平均数，中位数，众数，解决本题的关键是掌握方差的
定义．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
1．一个小组12名同学的出生月份（单位：月）如下表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月份 3 6 8 6 11 5 7 8 8 7 8 7
则下列说法错误的是（ ）
A．这组数据的平均数是7 B．这组数据的众数是8
C．这组数据的中位数是6 D．这组数据的方差是3.5
【答案】C
【分析】本题主要考查了中位数、众数、平均数、方差，关键是掌握三种数的定义，掌握方差的计算公式．
【详解】解：A.平均数 ，正确，该选项不符合题意；
B.8出现的次数最多，因此众数为8，正确，该选项不符合题意；
C.中位数： ，错误，该选项符合题意；
D.数据的方差 ，正确，该选项不
符合题意．故选：C．
2．现有一组样本数据 ，它们的平均数和方差分别是m，n．若将其中的每个数据都扩大至原
来的两倍，则平均数和方差分别变为（ ）
A． ，n B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查数据的平均数、方差的计算和平均数、方差的性质，属于基础题．
根据题意，由方差和平均数的计算公式求解即可．
【详解】根据题意，样本数据 的平均数为m，方差为n，
则有 ，
，
若将其中的每个数据都扩大至原来的两倍，则数据变为 ，
其平均数 ，
其方差
，
故选：D．
3．一组数据2，4， ，2，4，10的众数是2，则这组数据的平均数是 ；中位数是 ；方差是
.
【答案】 4 3 8
【分析】本题主要考查方差、平均数、中位数、众数，解题的关键是掌握方差、平均数、中位数、众数的
定义．先根据众数的概念求出 的值，将原数据重新排列，再由平均数、中位数和方差的定义列式计算即
可．
【详解】解： 数据2，4， ，2，4，10的众数是2，
，
这组数据为2，2，2，4，4，10，
所以这组数据的平均数为 ，中位数为 ，
方差为 ，
故答案为：4、3、8
4．小红参加校园健美操比赛，初赛结束后五名评委对小红的评分如下表所示，比赛规定要去掉一个最高
分和最低分为选手的最终得分，则去掉最高分和最低分后，小红成绩的方差 ．（填“增大”“减
小”或“不变”）
评委 1 2 3 4 5
小红得分 97 98 95 95 92
【答案】减小
【分析】本题考查了方差的定义，方差代表数据的稳定性，方差越大，数据的稳定性越差，若去掉一个最
高分和最低分，数据更加稳定，方差减小．据此即可作答．
【详解】解：依题意，方差代表数据的稳定性，方差越大，数据的稳定性越差，
当去掉最高分和最低分，则数据越稳定性，即方差减小，
∴去掉最高分和最低分后，小红成绩的方差减小，
故答案为：减小
5．省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，成绩（单位：
环）如表：
队 第三 第五
第一次 第二次 第四次 第六次
员 次 次
甲 9 7 10 10 9 9
乙 10 8 9 8 10 9
(1)分别计算甲、乙六次测试成绩的平均数；
(2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差，你认为推荐谁参加全国比赛更合适？请说明理由．
【答案】(1)甲、乙六次测试成绩的平均数均为9环；
(2)甲方差为1，乙方差为 ，推荐乙参加全国比赛更合适，理由见解析．
【分析】（1）根据加权平均数公式计算即可；（2）根据表格中的数据可以分别计算出甲和乙的方差，然后根据方差越小越稳定即可解答本题．
本题考查方差和算术平均数，解答本题的关键是明确题意，会计算一组数的算术平均数和方差．
【详解】（1）解：甲的平均成绩是： （环 ，
乙的平均成绩是： （环 ，
故甲、乙六次测试成绩的平均数均为9环；
（2）解：推荐乙参加全国比赛更合适，理由：
甲的方差是： ，
乙的方差是： ，
，
乙成绩比较稳定，
推荐乙参加全国比赛更合适．
6．为了解九年级的数学学习情况，我校在5月27日举行了数学模拟考试．考试结束后，老师们从甲班、
乙班中各随机抽取20名同学的数学模拟考试成绩（单位：分）进行统计、分析（成绩用x表示，共分为五
组：A． ，B． ，C． ，D． ，E． ），下面
给出了部分信息．
甲班抽取的20名同学数学模拟考试成绩为：139，145，135，142，135，136，147，130，135，150，
135，139，141，133，135，140，144，119，143，137
乙班抽取的20名同学数学模拟考试成绩为：150，141，147，142，132，141，150，143，137，143，
140，141，134，141，122，137，142，140，130，107
甲、乙两班各抽取的20名同学数学模拟考试成绩整理表
甲班 0 1 0 a 8
乙班 1 0 1 5 13
甲、乙两班各抽取的20名同学数学模拟考试成绩统计表
众
平均分 中位数 方差
数
甲
138 135 b 43.3
班乙
138 c 141 91.5
班
(1)请直接写出a，b，c的值；
(2)你认为哪个班的学生数学模拟考试的成绩较好，请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)已知我校九年级共有学生1600人，请你估计在本次考试中数学成绩不低于140分的有多少人？
【答案】(1)
(2)甲班成绩较好，理由见解析
(3)有840人
【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得答案；
（2）根据方差的定义可得答案；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【详解】（1）解：将甲班成绩重新排列为：119，130，133，135，135，135，135，135，136，137，
139，139，140，141，142，143，144，145，147，150，
∴ 的频数a＝11，其中位数 ，
乙班成绩出现次数最多的是141，出现4次，
所以乙班成绩的众数为141；
（2）甲班成绩较好，
因为甲班成绩的方差小于乙班，
所以甲班成绩更加稳定，
所以甲班成绩较好（答案不唯一，合理即可）；
（3） （人），
答：估计在本次考试中数学成绩不低于140分的有840人．
【点睛】此题主要考查数据的统计和分析的知识，准确把握三数（方差、中位数、众数）和理解样本和总
体的关系是关键．
七、【教学反思】
