文档内容
新疆维吾尔自治区 2025 年普通高考第一次适应性检测
数学
（卷面分值：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试
卷和答题卡相应位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效，
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的交集定义可知 或 ，即可根据并集的定义求解.
【详解】由于 ，故 或 ，
因此当 时， ，
当 时， ，
故 ，
故选：C
2. 已知复数 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. 为纯虚数
C. 的虚部为 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得 ，即可结合选项逐一求解.
【详解】由 可得 ，
对于A， ，A错误，
对于B， 不是纯虚数，B错误，
对于C， 的虚部为 ，C错误，
对于D， ，D正确，
故选：D
3. 已知 ， 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是
A. 若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行
B. 若 ， 平行于同一平面，则 与 平行
C. 若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线
D. 若 ， 不平行，则 与 不可能垂直于同一平面
【答案】D
【解析】
【详解】由 ，若 ， 垂直于同一平面，则 ， 可以相交、平行，故 不正确；由 ，若 ， 平
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学科网（北京）股份有限公司行于同一平面，则 ， 可以平行、重合、相交、异面，故 不正确；由 ，若 ， 不平行，但 平
面内会存在平行于 的直线，如 平面中平行于 ， 交线的直线；由 项，其逆否命题为“若 与
垂直于同一平面，则 ， 平行”是真命题，故 项正确.所以选D.
考点：1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.
4. 已知 , 均为单位向量，若 在 上的投影向量为 ，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量可得 ，即可利用模长公式求解.
【详解】 在 上 投影向量为 ，故 ，
的
因此 ，
故选：A
5. 已知函数 在 处有极小值，则极大值为（ ）
A. 32 B. 1 C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】求导，根据极值点可得 或 ，即可代入导数中，确定函数单调性，得函数的极值点求解.
【详解】由题意可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由于 是极小值点，故 ，或 ,
当 时， ，当 和 时， ，当 时， ，
故 在 单调递减，在 和 单调递增，
此时 是函数的极大值点，不符合题意，舍去，
当 时， ，当 和 时， ，当 时， ，
故 在 单调递减，在 和 单调递增，
此时 是函数的极小值点，符合题意，且 是极大值点，故极大值为 ，
故选：C
6. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有
A. 192种 B. 216种 C. 240种 D. 288种
【答案】B
【解析】
【详解】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．
解：最左端排甲，共有 =120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有 =96种，根据加法原理可得，
共有120+96=216种．故选B．
7. 已知 ，动圆 经过原点，且圆心在直线
上.当直线 的斜率取最大值时，动圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据圆心直线上可得 ，即可根据基本不等式求解 的最值，即可得斜率的最值，
根据不等式取等条件可得圆的半径.
【详解】由于 经过原点，所以 ，
圆心 在直线 上,所以 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，
因此圆的面积为 ，
故选：C
8. 已知 分别为 上的奇函数和偶函数，且满足 ，当 时，
，若 ，则 大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用 分别为 上的奇函数和偶函数，得 的周期为2，且求出 ，利用导数
判断出 时， 为单调递增函数，再利用对数的性质判断出 的大小可得答案.
【详解】因为 分别为 上的奇函数和偶函数，
所以 ，
由 ， 得 ，
所以 ，可得 的周期为2，
又 ，
可得 ，
两式相加可得 ，
当 时，因为 都是增函数，
所以 为增函数，
且 ，所以 为单调递增函数，
，
， ，
所以 .
故选：A.
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：解题的关键点是求出 ，利用导数判断出 时， 为单调递增函数.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为了弘扬奥运会中我国射击队顽强拼博的布斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到8名
同学的射击环数为：6，6，7，8，9，9，9，10（位：环），则这组样本数据的（ ）
A. 极差为4 B. 平均数是8
C. 75%分位数是9 D. 方差为4
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据极差、方差、平均数、百分位数定义，结合给定数据求对应值，即可判断各项正误.
【详解】将这组数据从小到大排序，得 ，这组数据的极差为 ，故A正确；
平均数为 ，故B正确；
因为 ，所以第75%分位数为 ，故C正确；
方差为 ，故D错误.
故选：ABC
10. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在区间 上为增函数
C. 的对称中心为
D. 的最小值为
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学科网（北京）股份有限公司【答案】ACD
【解析】
【分析】根据周期函数的定义及性质判断A，根据对称性判断C，利用导数说明函数在 上的单调性，
求出最小值，即可判断D，结合D判断B.
【详解】对于A：因为 的最小正周期为 ， 的最小正周期为 ，
所以 的最小正周期为 ，
事实上 ，故A正确；
对于C：
， ，
所以 的对称中心为 ，故C正确；
对于D：因为 的最小正周期为 ，
所以只需考虑求 在 上的最小值即可.
又 ，
则 ，
令 ，求得 或 ，
所以当 或 时， ，此时 ，
则 在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，此时 ，但不恒为 ，
则 在 上单调递减，
则当 时，函数 取得最小值，
为 ，故D正确；
对于B：由D可知 在区间 上不单调，所以 在区间 上不单调，故B错误.
故选：ACD
11. 已知椭圆 的离心率为 ，左焦点为 ，直线 与 交于
两点， 轴，垂足为 ，直线 与 的另一个交点为 ，则（ ）
A. B. 直线 的斜率为
C. 的最小值为 D. 为直角
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据离心率即可求解A，根据斜率公式即可求解B，根据椭圆定义，结合基本不等式的乘“1”法
即可求解C，根据斜率公式可得 ，结合 的斜率为 ，即可求解 ，进而根据
求解D.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由于 ，故 ，进而 ，故A正确，
设 ,则 ,
故 ，故B正确，
对于C，取椭圆的右焦点 ,连接 ,根据对称性可知四边形 为平行四边形，故 ，
因此 故
，
当且仅当 ，即 ，等号成立，故 的最小值为 ，故C错
误，
对于D，设 ，则 ，
故
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学科网（北京）股份有限公司，故 ，
因此 ，故 ，即 为直角，
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：根据 ，可得 ，进而根据
求解垂直.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线 过点 的切线方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，代入 即可求解 ，进而可求解.
【详解】设切点为 ，则 ，
故切线方程 为 ，
将 代入可得 ，解得 ，
故切线方程为 ，即 ，
故答案为：
13. 已知 ，则 __________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】根据二倍角公式以及弦切互化可得 ，进而利用正切的二倍角公式求解即可.
详解】由 可得 ，
【
故 ，
故答案为：
14. 如图，揽月阁是现今留存的反映我国古代文化的标志性建筑，可近似视为一个正四棱台.现有一个揽月
阁模型，下底面边长为 ，其内切球的体积为 ，则其外接球的表面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】作出正四棱台及其内切球的轴截面，求出正四棱台的上底面边长，再求出外接球半径即可得解.
【详解】正四棱台 下底面边长 ，设其内接球半径为 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
取 的中点 ，则四边形 内切圆是正四棱台内接球的截面大圆，
则四边形 是等腰梯形， ，而 ，
，整理得 ，而 ，则 ，
设 为正四棱台 外接球球心， 为该球半径，则 ，
令 分别为正四棱台 上下底面的中心，则 ， ，
， ，
当球心 在线段 时， ，解得 ，球 的表面积为 ；
当球心 在线段 的延长线时， ，无解，
是
所以所求外接球表面积 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置
是解题的关键.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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学科网（北京）股份有限公司15. 全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.新疆有一支“村BA”球队，甲球员是
其主力队员，统计该球队在某个赛季的所有比赛，将甲球员是否上场与该球队的胜负情况整理成如下
列联表：
球队的胜负情况
甲球员是否上场 合计
胜 负
上场 36 40
未上场 6
合计 40
（1）完成 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上
场有关；
（2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整.根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中
锋、后卫的概率分别为 ，相应球队赢球的概率分别为 .当甲球员上场参加比赛时，
求甲球员打中锋且球队赢球的概率.
附： .
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】（1）列联表见解析，能认为球队的胜负与甲球员是否上场有关
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二联表求解卡方，即可与临界值比较作答，
（2）根据条件概率事件的概率公式即可求解.
【小问1详解】
根据题意，可得列联表：
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学科网（北京）股份有限公司球队的胜负情况
甲球员是否上场 合计
胜 负
上场 36 4 40
未上场 4 6 10
合计 40 10 50
零假设为 ：球队的胜负与甲球员是否上场无关，
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为球队的胜负与甲球员是否上场有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.
【小问2详解】
设 “甲球员上场打中锋”，事件 “球队赢球”，
则 ，
当甲球员打中锋且球队赢球的概率为：
.
16. 在 中，角 所对的边分别为 ，其面积 .
（1）求 的值；
（2）若 ，且 ，求 .
【答案】（1）
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据三角形面积公式，结合正弦定理即可求解，
（2）根据正弦定理边化角可求解 ，进而利用同角关系求解 的正余弦，即可根据余弦的
和差角公式求解 ，进而利用余弦定理即可求解.
【小问1详解】
由已知得 ，
由正弦定理可得： ，
.
【小问2详解】
由 可得 ，由（1）可得 ，解得 ，
，
，
，
，
由余弦定理得： .
17. 如图，在等腰梯形 中， ，点 为 中点，点 分
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学科网（北京）股份有限公司别为 的中点，将 沿 折起到 的位置，使得平面 平面 .
（1）求证： 平面 ；
（2）侧棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求平面 与平面 夹角的余弦值，
若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据线线垂直 ， ，即可根据线面垂直的判定求解，
（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用法向量的夹角求解.
【小问1详解】
，且 ，
故四边形 是平行四边形， ，
又四边形 为等腰梯形， ，
，可得 是等边三角形，
故四边形 为菱形， 是等边三角形，
为 中点， ，同理 ，
又 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司平面 .
【小问2详解】
存在点 ，使得 平面 ;
设平面 与平面 夹角为 .
平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
平面 ，又 ，建立以 为原点， 所在的直线为 轴的空间直角
坐标系 ，如图所示，
，
则 ，
设 ，则 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
要使 平面 ，则 ，
即 ，解得 ，故在侧棱 上存在点 ，使得 平面 ，
此时， ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
易得平面 的一个法向量 ，
故平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
18. 已知双曲线 ，点 到 的两条渐近线距离之比为 ，过点 的直
线 与 交于 两点，且当 的斜率为0时， .
（1）求 的方程；
（2）若点 都在 的右支上，且 与 轴交于点 ，设 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得 ，结合 即可求解,
（2）根据向量共线 的坐标关系可得 坐标，进而得 是一元二次方程
的两个解，利用根的分布可得 或 ，进而根据 求解.
【小问1详解】
双曲线 的渐近线方程为 ，
由已知得 ，
解得 或 ，
斜率为0时可得直线方程为： ，代入双曲线方程可得： ，
，
若 ，则可求得 ，
若 ，则代入得 无实数解，
的方程为 .
【小问2详解】
设点 ，
由 可得
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学科网（北京）股份有限公司故： ，代入双曲线方程得： ，
同理， ，代入双曲线方程得： ，
是一元二次方程 的两个解，
，
由题意可知，直线 有斜率，设直线 斜率为 ，则直线 方程为：
，
与双曲线联立得： ，
由直线与双曲线交于右支得： ，
解得： 或 ，
又 ，
由于 或 ，故 或 ，
.
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目
中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何
中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要
的作用
19. 对于一个实数 表示不超过 的最大整数，也就是实数 的整数部分，对应的 的小数部分可以用
表示，即定义“取小数函数”： .
（1）求 的值；
（2）定义： ，求 的最大值；
（3）已知数列 满足 ，设 ，
求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据 的定义即可求解，
（2）根据 ， 的定义可得 ， ，即可对
的范围讨论求解，
（3）根据等比数列可得 ，即可根据放缩法 ，利用等比数列求和公式可得
，结合 的单调性即可求解.
【小问1详解】
【小问2详解】
由题意可得， ，则 ，
，
①当 时， ；
②当 时， ，
当 增大时， 增大， 减小，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 取得最大值，由 ，解得 ，此时 ；
③当 时， ，
当 增大时， 减小， 增大，
当 时， 取得最大值，由 解得 ，此时 ；
④当 时， ，
；
综上， .
【小问3详解】
数列 是公比为2的等比数列，
则 ，解得 ，
，
，
又 单调递增，
而 ，
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
【点睛】方法点睛：新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下：
第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号，
第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时
可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点
第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，
一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等）
第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论
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学科网（北京）股份有限公司
