文档内容
浙江强基联盟２０２５年２月高三联考
数学 试题
浙江强基联盟研究院 命制
考生注意：
１．本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟。
２．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径０．５毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉 獉獉獉獉 獉獉獉獉獉獉獉獉
一、选择题：本大题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
１ ． 已知集合犃＝｛狓｜狓－１｜＜２｝，犅＝｛－１，０，１，２，３｝，则犃∩犅＝
Ａ．｛－１，０｝ Ｂ．｛－１，３｝ Ｃ．｛０，１，２｝ Ｄ．｛１，２，３｝
狕－２
２．若 ＝ｉ，则狕＝
狕
Ａ．－１＋ｉ Ｂ．－１－ｉ Ｃ．１－ｉ Ｄ．１＋ｉ
３．已知向量犪＝（４，０），犫＝（狓，３），若（犪＋２犫）⊥（犪－犫），则狓＝
Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２
４．将半径为４的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为
８槡３ １６槡３
Ａ．８槡３π Ｂ． π Ｃ．１６槡３π Ｄ． π
３ ３
１７ １
５．已知ｓｉｎ（α＋β ）＝ ，ｓｉｎαｃｏｓβ＝ ，则ｓｉｎ（α－β ）＝
２５ ５
２４ ２４ ７ ７
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－
２５ ２５ ２５ ２５
６．已知圆犗：狓２＋狔２＝２上一点犘（１，１）关于狓轴的对称点为犙，犕是圆犗上异于犘，犙的任意
一点，若犕犘，犕犙分别交狓轴于点犚，犛，则｜犗犚｜獉｜犗犛｜＝
Ａ．槡２ Ｂ．２ Ｃ．２槡２ Ｄ．４
烄２犪狓－ｌｎ狓，狓＞０，
（１ ）
７．已知函数犳（狓）＝烅 狓∈ ，＋∞ ，有犳（狓）·犳（－狓）≥０恒成
烆２狓２＋（２犪＋３）狓＋２，狓≤０， ２
立，则犪的取值范围是
［１ １］ ［１ ２］ ［１ ２］ ［２ ］
Ａ． ， Ｂ． ， Ｃ． ， Ｄ． ，１
２ｅ ２ ２ｅ ３ ２ ３ ３
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书书书８．现有一排方块，其中某些方块间有间隔．从中拿出一个方块或紧贴的两个方块，而不改变其余
方块的位置，称为一次操作．如图所示，状态为（３，２）的方块：可以通过一次操作变成以下状态
中的任何一种：（３，１），（３），（２，２），（１，２）或（１，１，２）．游戏规定由甲开始，甲、乙轮流对方块进
行操作，拿出最后方块的人获胜．对于以下开局状态，乙有策略可以保证自己获得游戏胜利
的是
Ａ．（３，２，１） Ｂ．（４，２） Ｃ．（２，１，１） Ｄ．（５，３）
二、多项选择题：本大题共３小题，每小题６分，共１８分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分．
９．下列说法正确的是
Ａ．数据８，６，４，１１，３，７，９，１０的上四分位数为９
Ｂ．若０＜犘（犆）＜１，０＜犘（犇）＜１，且犘（犇）＝１－犘（犇犆），则犆，犇相互独立
Ｃ．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线
方程 为＾ 狔＝０．４狓＋犪，若其中一个散点坐标为（－犪，５．４），则犪＝９
Ｄ．将两个具有相关关系的变量狓，狔的一组数据（狓，狔），（狓，狔），…，（狓，狔）调整为
１ １ ２ ２ 狀 狀
（狓，狔＋３），（狓，狔＋３），…，（狓，狔＋３），决定系数犚２ 不变
１ １ ２ ２ 狀 狀
狀 狀
∑（狓－狓）（狔－狔） ∑ （狔－ ＾ 狔）２
犻 犻 犻 犻
（附：＾ 犫＝ 犻＝１ ，＾ 犪＝狔－ ＾ 犫狓，犚２ ＝１－犻＝１ ）
狀 狀
∑ （狓－狓）２ ∑ （狔－狔）２
犻 犻
犻＝１ 犻＝１
槡１－ｃｏｓ（π狓）
１０．设函数犳（狓）＝ ，则
狓２－２狓＋３
Ａ．曲线狔＝犳（狓）存在对称轴 Ｂ．曲线狔＝犳（狓）存在对称中心
槡２
Ｃ．犳（狓）≤ Ｄ．２犳（狓）≤３狓
２
狓２ 狔２
１１．已知椭圆Γ： ＋ ＝１，直线犾：２狓＋３狔＋１２＝０．犃，犃 是椭圆的左、右顶点，犉，犉 是椭圆
９ ４ １ ２ １ ２
的左、右焦点，过直线犾上任意一点犘作椭圆Γ的切线犘犕，犘犖，切点分别为犕，犖，椭圆上
任意一点犙（异于犃，犃）处的切线分别交犃，犃 处的切线于点犅，犅，则
１ ２ １ ２ １ ２
Ａ．直线犕犖过定点
Ｂ．犉，犉，犅，犅 四点共圆
１ ２ １ ２
（ ３ ）
Ｃ．当犕犖∥犾时，－ ，－１ 是线段犕犖的三等分点
２
Ｄ．犙犅 · 犙犅 的最大值为９
１ ２
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{#{QQABKQQEggCgABBAAQgCAQ1ACAKQkBGACYoGwFAcMAABAAFABAA=}#}三、填空题：本大题共３小题，每小题５分，共１５分．
狓２ 狔２
１２．双曲线 － ＝１（犪＞０，犫＞０）的左、右焦点为犉，犉，犘为双曲线上一点，且满足
犪２ 犫２ １ ２
π
犘犉⊥狓轴，∠犘犉犉＝ ，则双曲线的离心率为 ▲ ．
１ ２ １ ６
１３．在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面．若两条曲线在公共点
槡２
处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切．设两抛物线狔＝狓２＋犪与狔２＝ 狓相
２
切，则犪＝ ▲ ．
１４．对７个相邻的格进行染色，每个格均可从红、绿、黄三种颜色中选一种，则没有相邻红格的概
率为 ▲ ．
四、解答题：本大题共５小题，共７７分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
１５．（１３分）
在△犃犅犆中，角犃，犅，犆的对边分别为犪，犫，犮，若犪（ｃｏｓ犆＋槡３ｓｉｎ犆）＝犫＋犮，
（１）求犃．
（２）若犫＝５，犮＝２，犅犆，犃犆边上的两条中线犃犕，犅犖相交于点犘，
（Ⅰ）求犃犕；
（Ⅱ）求ｃｏｓ∠犕犘犖．
１６．（１５分）
已知抛物线犆：狔２＝２狆狓的焦点为犉，抛物线犆上点犕（２，狔）满足｜犕犉｜＝３．
０
（１）求抛物线犆的方程；
（２）设点犇（－１，０），过犇作直线犾交抛物线犆于犃，犅两点，证明：狓＝１是∠犃犉犅的角平
分线．
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{#{QQABKQQEggCgABBAAQgCAQ1ACAKQkBGACYoGwFAcMAABAAFABAA=}#}１７．（１５分）
如图，在四棱锥犘 犃犅犆犇 中，底面犃犅犆犇是梯形，犃犅∥犆犇，犃犅＝２犆犇＝２，犃犇＝４，
∠犅犃犇＝６０°，犘犇⊥犆犇，犈为犃犅的中点，犕为犆犈的中点．
（１）证明：犘犕⊥犃犅；
槡１５
（２）若犘犃＝ 槡１５，犖为犘犆中点，且犃犖与平面犘犇犕所成角的正弦值为 ，求四棱锥
６
犘 犃犅犆犇的体积．
１８．（１７分）
已知函数犳（狓）＝３狓２－８ｓｉｎ（狓＋φ ），其中｜φ｜≤!．
（１）若函数犳（狓）是偶函数，求
φ
；
（２）当 φ＝０时，讨论函数犳（狓）在［０，＋∞）上的零点个数；
（３）若狓≥０，犳（狓）≥０，求
φ
的取值范围．
１９．（１７分）
设狀≥３，对于数列犪，犪，…，犪，若对任意犽∈｛１，２，…，狀－１｝，犪＋犪＋…＋犪与犪 ＋犪 ＋…＋
１ ２ 狀 １ ２ 犽 犽＋１ 犽＋２
犪均为非负数或者均为负数，则称数列犪，犪，…，犪为强数列．
狀 １ ２ 狀
π ３π π ３π
（１）判断数列ｓｉｎ０，ｓｉｎ ，ｓｉｎπ，ｓｉｎ ，ｓｉｎ２π与数列ｃｏｓ０，ｃｏｓ ，ｃｏｓπ，ｃｏｓ ，ｃｏｓ２π分
２ ２ ２ ２
别是否为强数列；
（２）若存在公比为负数的等比数列犪，犪，…，犪 ，使得它为强数列，求公比狇的取值范围；
１ ２ ２０２５
（３）设犪，犪，…，犪为强数列，且数列中正数与负数交替出现（不出现０），证明：一定可以从
１ ２ 狀
数列犪，犪，…，犪中选出连续三项，不改变它们在原数列中的顺序，它们三项构成一个强
１ ２ 狀
数列．
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{#{QQABKQQEggCgABBAAQgCAQ1ACAKQkBGACYoGwFAcMAABAAFABAA=}#}
