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浙江强基联盟２０２５年２月高三联考
数学卷参考答案与评分标准
１．Ｃ 犃＝｛狓｜－１＜狓＜３｝∴犃∩犅＝｛０，１，２｝．故选Ｃ．
狕－２ ２
２．Ｄ ＝ｉ，狕（１－ｉ）＝２，狕＝ ＝１＋ｉ．故选Ｄ．
狕 １－ｉ
３．Ｃ 由犪＝（４，０），犫＝（狓，３），犪＋２犫＝（４＋２狓，６），犪－犫＝（４－狓，－３），由条件得（犪＋２犫）· （犪－犫）＝０，解得狓＝１．
故选Ｃ．
１ ８槡３
４．Ｂ 由条件得，圆锥底面半径狉＝２，母线长４，所以犺＝２槡３，体积犞＝ 狊犺＝ π．故选Ｂ．
３ ３
７
５．Ｄ 由ｓｉｎ（α＋β ）＋ｓｉｎ（α－β ）＝２ｓｉｎαｃｏｓβ ，解得ｓｉｎ（α－β ）＝－ ．故选Ｄ．
２５
６．Ｂ 设犕（狓
０
，狔０ ），则犚（ 狔
狔
０
０
－
－
狓
１
０，０），犛（ 狔
狔
０
０
＋
＋
狓
１
０，０），故｜犗犚｜·｜犗犛｜＝ 狔
狔
２ ０
２ ０
－
－
狓
１
２ ０＝２．故选Ｂ．
（ ｌｎ狓） ［ １ （ ３）］
７．Ａ 犳（狓）·犳（－狓）≥０等价于（２犪狓－ｌｎ狓）·［２狓２－（２犪＋３）狓＋２］≥０，即 ２犪－ · 狓＋ －犪＋ ≥０，故
狓 狓 ２
烄２犪－ ｌｎ狓 ≥０， 烄２犪－ ｌｎ狓 ≤０，
狓 狓 （１ ）
有烅 或烅 在狓∈ ，＋∞ 上恒成立，故犪的取值范围为
１ （ ３） １ （ ３） ２
烆
狓＋
狓
－ 犪＋
２
≥０，
烆
狓＋
狓
－ 犪＋
２
≤０，
［１ １］
， ．故选Ａ．
２ｅ ２
８．Ａ 对于Ａ，（３，２，１）经过甲操作可以变为（３，２），（３，１），（３，１，１），（２，２，１），（１，２，１）或（１，１，２，１），对于（３，２），
乙操作成（２，２）；对于（３，１），乙操作成（１，１）；对于（３，１，１），乙操作成（１，１，１，１）；对于（２，２，１），乙操作成
（２，２）；对于（１，２，１），乙操作成（１，１）；对于（１，１，２，１），乙操作成（１，１，１，１）．无论如何乙都能赢；对于Ｂ，甲将
（４，２）操作为（２，２），此时乙可以操作为（２），（２，１），（１，２），甲必胜；对于Ｃ，甲将（２，１，１）操作为（１，１），甲必胜；
对于Ｄ，甲将（５，３）操作为（１，２，３），由Ａ知甲必胜．故选Ａ．
９．ＢＤ 数据８，６，４，１１，３，７，９，１０的上四分位数为９．５，故Ａ错误；由犘（犇）＝１－犘（犇犆）可知犘（犇犆）＝
犘（犇）．故犘（犆犇）＝犘（犆）·犘（犇），即犆，犇相互独立，Ｂ正确；散点不一定在回归直线上，故Ｃ错误；由于
狀
∑ （狔犻－＾ 狔犻 ）２
犚２＝１－犻＝
狀
１ ，狔犻 变成了狔犻＋３，狔′＝狔＋３，＾ 狔犻 ′＝＾犫′狓 犻＋＾犪′＝＾犫狓 犻＋＾犪＋３＝＾ 狔犻＋３，从而狔犻－＾ 狔犻 ，
∑ （狔犻－狔）２
犻＝１
狔犻－狔都不变，所以犚２＝犚′２，Ｄ正确．故选ＢＤ．
π
槡２ ｓｉｎ 狓
２
１０．ＡＣＤ 由于犳（狓）＝ ，曲线狔＝犳（狓）存在对称轴狓＝１，故Ａ正确；若曲线狔＝犳（狓）存在对称中心，
（狓－１）２＋２
π
槡２ ｓｉｎ 狓
槡１－ｃｏｓπ狓 ２ 槡２
则结合选项Ａ可知，犳（狓）为周期函数，不可能，故Ｂ错误；由于犳（狓）＝ ＝ ≤ ，故选
狓２－２狓＋３ （狓－１）２＋２ ２
π π
槡２ ｓｉｎ 狓 ｓｉｎ 狓
犳（狓） ２ 槡２ ２ π 槡２
项Ｃ正确；当狓＝０时等号成立，当狓≠０有 ＝ ＝ ＜ π＜
狓 狓［（狓－１）２＋２］ ２ π （狓－１）２＋２ ４
狓
２
３
，故Ｄ正确．故选ＡＣＤ．
２
１１．ＡＢＤ 设犘（狓
０
，狔０ ），则直线犕犖的方程为 狓
９
狓 ０＋ 狔狔
４
０＝１，又由于２狓
０
＋３狔０ ＋１２＝０，故有狓
０
（２狓－３狔）－
１８（狔＋１）＝０，故直线犕犖过定点犚 （ － ３
２
，－１ ） ，故Ａ正确；设犙（狓
１
，狔１ ），则犙处的切线为 狓
９
狓 １＋ 狔狔
４
１＝１，令
数学卷参考答案 第 １页（共４页）
{#{QQABKQQEggCgABBAAQgCAQ1ACAKQkBGACYoGwFAcMAABAAFABAA=}#}
书书书狓＝±３得犅
１
（ －３， ４（狓
３
１
狔
＋
１
３）） ，犅
２
（ ３， ４（３
３狔
－
１
狓 １ ）） ，而犉
１
（－槡５，０），故犉
１
犅 →
１
·犉
１
犅 →
２
＝０，同理犉
２
犅 →
１
·犉
２
犅 →
２
＝０，所
２
以犉
１
，犉
２
，犅
１
，犅
２
四点共圆，所以Ｂ正确；当犕犖∥犾时，直线犕犖的方程为狔＝－
３
狓－２，可以验证此时有
犚犕＝犚犖，故Ｃ不正确；由圆的相交弦定理和椭圆的光学性质可知 犙犅 １ · 犙犅 ２ ＝ 犙犉 １ · 犙犉 ２ ≤
（犙犉 ＋ 犙犉 ）２
１ ２ ＝９，等号在犙为短轴端点时取到，故Ｄ正确．故选ＡＢＤ．
２
犫２
１２．槡３ 在Ｒｔ△犘犉
１
犉
２
中，｜犘犉 ２｜－｜犘犉 １｜＝｜犘犉 １｜，即
犪
＝２犪，可得犲＝槡３．
３ 槡２
１３．
８
设两个抛物线相切于（狓
０
，狔０ ），狔＝狓２＋犪在该点处的切线为狔＝２狓
０
狓－狓２
０
＋犪，狔２＝
２
狓在该点处的切
槡２ 槡２ １ 槡２ ３
线为狔０狔＝
４
（狓
０
＋狓），所以２狓
０
＝
４狔０
，可得狔０ ＝
２
，狓
０
＝
４
，从而犪＝
８
．
１３６
１４．
２４３
法一：０个红格，共２７种；１个红格，共Ｃ１
７
２６种；２个红格，共Ｃ２
６
２５种；３个红格，共Ｃ３
５
２４种；４个红格，
２７＋Ｃ１２６＋Ｃ２２５＋Ｃ３２４＋Ｃ４２３ １３６
共Ｃ４２３种，所以犘＝ ７ ６ ５ ４ ＝ ；
４ ３７ ２４３
法二：设狀个格，相邻的格不染红色染法数为犪，则犪＝２犪 ＋２犪 ，由犪＝３，犪＝８，可知犪＝１２２４，故相
狀 狀 狀－１ 狀－２ １ ２ ７
１２２４ １３６
邻的格不染红色的概率为犘＝ ＝ ．
３７ ２４３
１５．解：（１）由正弦定理得ｓｉｎ犃ｃｏｓ犆＋槡３ｓｉｎ犃ｓｉｎ犆－ｓｉｎ犅－ｓｉｎ犆＝０．
因为ｓｉｎ犅＝ｓｉｎ（π－犃－犆）＝ｓｉｎ（犃＋犆）＝ｓｉｎ犃ｃｏｓ犆＋ｃｏｓ犃ｓｉｎ犆，
所以槡３ｓｉｎ犃ｓｉｎ犆－ｃｏｓ犃ｓｉｎ犆－ｓｉｎ犆＝０．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２分
由于ｓｉｎ犆≠０，∴槡３ｓｉｎ犃－ｃｏｓ犃－１＝０．
（ π） １
所以ｓｉｎ犃－ ＝ ．
６ ２
π
又０＜犃＜π，故犃＝ ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４分
３
→ １ → →
（２）（Ⅰ）∵犕是犅犆的中点，犃犕＝ （犃犅＋犃犆）． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５分
２
｜犃
→ 犕｜＝槡１
（犃
→
犅＋犃
→ 犆）２＝槡１
（犃
→
犅２＋２犃
→
犅·犃
→
犆＋犃
→
犆２）＝
槡３９
．!!!!!!!!!!!!!! ８分
４ ４ ２
（Ⅱ）∵犕，犖分别是犅犆，犃犆的中点，
→ １ → → → → → １→ →
犃犕＝ （犃犅＋犃犆），犅犖＝犃犖－犃犅＝ 犃犆－犃犅．
２ ２
→ →
→ → 犃犕·犅犖
所以犃犕与犅犖的夹角等于∠犕犘犖，∴ｃｏｓ∠犕犘犖＝ → → ．
｜犃犕｜｜犅犖｜
→ → １ → → （１→ →） １→ → １→ １→ １→ →
∵犃犕·犅犖＝ （犃犅＋犃犆）· 犃犆－犃犅 ＝ 犃犅·犃犆－ 犃犅２＋ 犃犆２－ 犃犅·犃犆＝３，
２ ２ ４ ２ ４ ２
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０分
｜犅
→ 犖｜＝槡（１
犃
→
犆－犃
→
犅
）２ ＝槡１
犃
→
犆２－犃
→
犅·犃
→
犆＋犃
→
犅２＝
槡２１
，
２ ４ ２
３ ４槡９１
∴ｃｏｓ∠犕犘犖＝ ＝ ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １３分
槡３９ 槡２１ ９１
×
２ ２
狆
１６．解：（１）由｜犕犉｜＝狓
犕
＋
２
＝３，可得狆＝２，
所以抛物线犆的方程为狔２＝４狓．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６分
（２）设犃犅：狓＝犿狔－１，犃（狓
１
，狔１ ），犅（狓
２
，狔２ ），
｛狓＝犿狔－１，
由 得狔２－４犿狔＋４＝０，
狔２＝４狓，
数学卷参考答案 第 ２页（共４页）
{#{QQABKQQEggCgABBAAQgCAQ1ACAKQkBGACYoGwFAcMAABAAFABAA=}#}所以狔１ ＋狔２ ＝４犿，狔１狔２ ＝４．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８分
则犽 ＋犽 ＝
狔１
＋
狔２
＝
２犿狔１狔２ －２（狔１ ＋狔２ ）
＝０，!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １３分
犉犃 犉犅 狓－１ 狓－１ （狓－１）（狓－１）
１ ２ １ ２
所以狓＝１是∠犃犉犅的角平分线．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １５分
１７．解：（１）证明：在梯形犃犅犆犇中，连接犅犇交犆犈于一点，
因为犅犈＝犆犇且犅犈∥犆犇，所以四边形犆犇犅犈为平行四边形，
所以犅犇与犆犈的交点即为犆犈中点犕．
由已知可得，犃犅＝２，犃犇＝４，∠犅犃犇＝６０°，所以犃犅⊥犅犇，!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２分
又犃犅∥犆犇，犘犇⊥犆犇，所以犃犅⊥平面犘犅犇，
又犘犕平面犘犅犇，所以犃犅⊥犘犕． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５分
（２）由（１）知，犆犇⊥平面犘犇犕，如图，以犇为坐标原点，分别
以犇犅，犇犆为狓，狔轴，垂直于底面犃犅犆犇的直线为狕轴，建立
空间直角坐标系，则犃（２槡３，－２，０），犆（０，１，０），!!!!!!!!!! ７分
（狓 １ 狕）→ （狓 ５ 狕）
设犘（狓，０，狕），则犖 ， ， ，犃犖＝ －２槡３， ， ，
２ ２ ２ ２ ２ ２
平面犘犇犕的一个法向量为狀＝（０，１，０）， !!!!!!!!!!!! ９分
设直线犃犖与平面犘犇犕所成角为θ，
５
→
→ ｜狀·犃犖｜ ２
则ｓｉｎθ＝｜ｃｏｓ〈狀，犃犖〉｜＝ → ＝
｜犃犖‖狀｜ 槡（狓
－２槡３
）２
＋
２５
＋
（狕）２
２ ４ ２
槡１５
＝ ，
６
化简得（狓－４槡３）２ ＋狕２＝３５． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １１分
由｜犘犃｜＝槡１５，可得（狓－２槡３）２ ＋狕２＝１１，求得狓＝槡３，狕＝２槡２．!!!!!!!!!!!!!!! １３分
１ １
故犞＝ 犛 犺＝ ×３槡３×２槡２＝２槡６．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １５分
３ 犃犅犆犇 ３
１８．解：（１）因为函数犳（狓）是偶函数，所以犳（－狓）＝犳（狓）．
即３狓２－８ｓｉｎ（－狓＋φ ）＝３狓２－８ｓｉｎ（狓＋φ ），
π
解得： φ＝± ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４分
２
（２）当 φ＝０时，犳（狓）＝３狓２－８ｓｉｎ狓．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５分
犳（０）＝０，犳′（狓）＝６狓－８ｃｏｓ狓，犳″（狓）＝６＋８ｓｉｎ狓．
当狓≥π时，犳（狓）＞３π２－８＞０，
当０＜狓＜π时，犳″（狓）＝６＋８ｓｉｎ狓＞０，犳′（狓）单调递增，
又犳′（０）＝－８＜０，犳′（π）＝６π＋８＞０，
所以存在狓 １∈（０，π），使得犳′（狓
１
）＝０． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７分
狓∈（０，狓
１
），犳′（狓）＜０，犳（狓）单调递减，狓∈（狓
１
，＋∞），犳′（狓）＞０，犳（狓）单调递增，
而犳（０）＝０，犳（狓
１
）＜０，犳（π）＝３π２＞０，所以在（狓
１
，π）上存在一个零点．
综上，函数犳（狓）在［０，＋∞）有两个零点．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０分
２ ４π２ ２
（３）当狓≥ π时，犳（狓）＞ －８＞０；当０≤狓＜ π时，犳（０）＝－８ｓｉｎφ≥０，
３ ３ ３
则 φ∈［－π，０］．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １１分
［ ２π］
（ⅰ）当 φ∈ －π，－ 时，狓＋φ∈［－π，０），ｓｉｎ（狓＋φ ）＜０，犳（狓）＞０成立；!!!!!!!!!!! １２分
３
（ ２π π］
（ⅱ）当 φ∈ － ，－ 时，
３ ２
［π ２π］
若狓∈ ， ，则犳′（狓）＝６狓－８ｃｏｓ（狓＋φ ）＞３π－８＞０，犳（狓）单调递增，
２ ３
（π） ３π２
所以犳（狓）＞犳 ＝ －８ｃｏｓφ＞０；
２ ４
数学卷参考答案 第 ３页（共４页）
{#{QQABKQQEggCgABBAAQgCAQ1ACAKQkBGACYoGwFAcMAABAAFABAA=}#}［ π） （ ２π ）
若狓∈ ０， ，则狓＋φ∈ － ，０ ，ｓｉｎ（狓＋φ ）＜０，犳（狓）＞０成立；
２ ３
（ π ］
（ⅲ）当 φ∈ － ，０ 时，若ｓｉｎ（狓＋φ ）≤０，则犳（狓）≥０成立；
２
只要考虑ｓｉｎ（狓＋φ ）＞０，此时犳″（狓）＝６＋８ｓｉｎ（狓＋φ ）＞０，犳′（狓）递增，犳′（０）＝－８ｃｏｓφ＜０，
（π）
犳′ ＝３π＋８ｓｉｎφ＞０，
２
（ π）
所以存在狓 ０∈ ０， ２ ，使得犳′（狓 ０ ）＝６狓 ０ －８ｃｏｓ（狓 ０ ＋φ ）＝０，
（ π）
若狓∈（０，狓
０
），则犳′（狓）＜０，犳（狓）递减；若狓∈ 狓
０
，
２
，则犳′（狓）＞０，犳（狓）递增．
所以犳（狓）≥犳（狓 ０ ）＝３狓２ ０ －８ｓｉｎ（狓 ０ ＋φ ）＝３狓２ ０ －８槡１－ １ ９ ６ 狓２ ０≥０，解得狓 ０≥ ２ ３ 槡３ ．
３ 槡３ π π π ２槡３
此时ｃｏｓ（狓 ０ ＋φ ）＝ ４ 狓 ０≥ ２ ，所以狓 ０ ＋φ≤ ６ ，从而 φ≤ ６ －狓 ０≤ ６ － ３ ．
综上， φ∈ ［ －π， π － ２槡３］ ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １７分
６ ３
１９．解：（１）数列０，１，０，－１，０，前两项和为１，后三项和为－１，不是强数列；!!!!!!!!!!!!! １分
数列１，０，－１，０，１，满足第一项、前两项、前三项、前四项、后一项、后两项、后三项、后四项的和均非负，是强
数列． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３分
（２）（方法一：等比数列求和）设首项犪
１
＝犪≠０，公比狇＜０，
依题意，犪
１
·（犪
２
＋…＋犪
２０２５
）≥０，即犪２（狇＋狇２＋…＋狇２０２４）≥０，
狇（１－狇２０２４）
故狇＋狇２＋…＋狇２０２４≥０，即 ≥０，故狇２０２４≥１．!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５分
１－狇
另一方面，（犪
１
＋…＋犪
２０２４
）·犪 ２０２５≥０，即犪２（１＋狇＋…＋狇２０２３）狇２０２４≥０，
１－狇２０２４
故１＋狇＋…＋狇２０２３≥０，即 ≥０，故狇２０２４≤１．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７分
１－狇
于是狇２０２４＝１，狇＝－１，又１，－１，１，…，１，－１，１满足条件，综上，狇＝－１． !!!!!!!!!!!! ９分
（方法二：局部分析）设首项犪
１
＝犪≠０，公比狇＜０，
依题意，犪
１
·（犪
２
＋…＋犪
２０２５
）≥０，∴犪
１
·（犪
１
＋…＋犪
２０２５
）≥０，
又∵（犪
１
＋犪
２
）·（犪
３
＋…＋犪
２０２５
）≥０，∴（犪
１
＋犪
２
）（犪
１
＋…＋犪
２０２５
）≥０，
故犪
１
（犪
１
＋犪
２
）≥０，即犪２（１＋狇）≥０，
故１＋狇≥０，狇≥－１．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５分
同理犪
２０２５
（犪
２０２５
＋犪
２０２４
）≥０，犪２狇２０２４（狇２０２４＋狇２０２３）≥０，
故狇２０２４＋狇２０２３≥０，狇≤－１， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７分
于是狇＝－１，又１，－１，１，…，１，－１，１满足条件，综上，狇＝－１． !!!!!!!!!!!!!!!! ９分
（３）注意到若连续三项构成强数列，则中间项的绝对值最小，取数列中绝对值最小的一项犪，
犻
（若最小的同时存在正项和负项，取负项）． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １１分
如果犻＝１，①若犪 １＞０，则犪 ２＜０，犪 ２ ＞ 犪 １ ，故犪 １ ＋犪 ２＜０，与（２）中犪 １ （犪 １ ＋犪 ２ ）≥０矛盾；
②若犪 １＜０，则犪 ２＞０，犪 ２ ≥ 犪 １ ，故犪 １ ＋犪 ２≥０，由（２）知矛盾，
于是犪不为首项，同理犪不为末项，我们取犪 ，犪，犪 三项．!!!!!!!!!!!!!!!! １３分
犻 犻 犻－１ 犻 犻＋１
（ⅰ）若犪 犻＞０，则犪 犻－１ ，犪 犻＋１＜０，且 犪 犻－１ ，犪 犻＋１ ＞ 犪 犻 ，故犪 犻－１ ＋犪 犻＜０，犪 犻 ＋犪 犻＋１＜０，
犪 ，犪，犪 构成强数列；!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １５分
犻－１ 犻 犻＋１
（ⅱ）若犪 犻＜０，则犪 犻－１ ，犪 犻＋１＞０，且 犪 犻－１ ，犪 犻＋１ ≥ 犪 犻 ，故犪 犻－１ ＋犪 犻≥０，犪 犻 ＋犪 犻＋１≥０，
犪 ，犪，犪 构成强数列．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １７分
犻－１ 犻 犻＋１
数学卷参考答案 第 ４页（共４页）
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