文档内容
2024届高三下学期开学摸底考01（新高考专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．若全集 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数 对应的点在第四象限，则复数 对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．记 是等差数列 的前 项和，则“ 是递增数列”是“ 是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数 在 上单调递减，则实数 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、
张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载
火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 ，其中大
于0的常数 是听觉下限阈值， 是实际声压.声压级的单位为分贝 ，声压的单位为帕 .若人正常
说话的声压约为 ，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大 ，则火箭发射时的声
压约为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 为锐角，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司7．如图，已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，过 的直线与 分别在第一､二
象限交于 两点， 内切圆半径为 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．
记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（ ）
A．可能取到数字4 B．中位数可能是2
C．极差可能是4 D．众数可能是2
10．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为 的点处作 的切线，
切线与 轴交点的横坐标为 ；用 代替 重复上面的过程得到 ；一直下去，得到数列 ，叫作牛顿
数列.若函数 且 ，数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．数列 是递减数列
C．数列 是等比数列 D．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司11．如图，在棱长为1的正方体 中，P为棱CC 上的动点(点P不与点C，C 重合)，过点
1 1
P作平面 分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是（ ）
A．AC⊥平面
1
B．存在点P，使得AC ∥平面
1
C．存在点P，使得点A 到平面 的距离为
1
D．用过点P，M，D 的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
1
12．已知 是定义在R上的函数，且不恒为0， 为奇函数， 为偶函数， 为
的导函数，则（ ）
A．
B．
C． 的图象关于直线 对称
D．
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 的展开式中的常数项为240，则 ．
14．若 为坐标原点，过点 的直线 与函数 的图象交于 两点，则
．
15．设函数 ，且函数 在 恰好有5个零点，则正实数
的取值范围是
16．如图，在直三棱柱 中， ，若 为空间一动点，且
，则满足条件的所有点 围成的几何体的体积为 ；若动点 在侧面 内运
动，且 ，则线段 长的最小值为 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（2023·安徽·校联考一模）已知数列 满足 ，且点 在直线 上
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 前 项和为 ，求能使 对 恒成立的 （ ）的最小值．
18．（12分）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求 的大小；
(2)若 ，直线 分别交 于 两点，且 把 的面积分成相等的两部分，求 的
最小值.
19．（12分）2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀
进行大会发言.为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分
别抽取男､女生各50人作为样本.设事件 “了解人工智能”， “学生为男生”，据统计
.
(1)根据已知条件，填写下列 列联表，是否有 把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？
了解人工智
不了解人工智能 合计
能
男生
女生
合计
(2)①现从所抽取的女生中利用分层抽样的方法抽取 人，再从这 人中随机选取 人赠送科普材料，求
选取的 人中至少有 人了解人工智能的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取 人科普材料，记其中了解人工智能的人数为
，求随机变量 的数学期望和方差．
参考公式： ．常用的小概率值和对应的临界值如下表：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．（12分）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ， 是底面
的内接正三角形，且 ， 是线段 上一点．
(1)若 平面 ，求 ；
(2)当 为何值时，直线 与平面 所成角的正弦值最大？
21．（12分）已知圆 ，点 ，P是圆M上的动点，线段PN的中垂线与直线PM
交于点Q，点Q的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2) ，点E、F（不在曲线C上）是直线 上关于x轴对称的两点，直线 、 与曲
线C分别交于点A、B（不与 、 重合），证明：直线AB过定点．
22．（12分）已知函数 .
(1)若 ，证明：当 时， ；
(2)求所有的实数 ，使得函数 在 上单调.
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