文档内容
2024届高三下学期开学摸底考01（新高考专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．若全集 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据集合的包含关系逐一判断.
【详解】 ， ， ，
则 ，A错误， ，B错误，C正确， 或 ，D错误.
故选：C.
2．设复数 对应的点在第四象限，则复数 对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由 的周期性化简 ，计算后判断所求复数对应点的象限.
【详解】由复数 对应的点在第四象限，
则设 ，
由
得 ，
由 ，
得复数 对应的点在第二象限.
故选：B.
3．记 是等差数列 的前 项和，则“ 是递增数列”是“ 是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据等差数列的求和公式可得 ，即可充要条件的定义求解.
【详解】若 是递增数列，则公差 ，所以 ，
故 ，所以 为递增数列，
若 为递增数列，则 ，则 ，
故 ，所以 是递增数列，
故“ 是递增数列”是“ 是递增数列”的充要条件，
故选：C
4．函数 在 上单调递减，则实数 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的定义域，结合复合函数单调性得到答案.
【详解】 的定义域是 ，
令 ，其在定义域上单调递增，
，在 上单调递减，在 上单调递增，
由复合函数的单调性可知， .
故选：A.
5．北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、
张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载
火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 ，其中大
于0的常数 是听觉下限阈值， 是实际声压.声压级的单位为分贝 ，声压的单位为帕 .若人正常
说话的声压约为 ，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大 ，则火箭发射时的声
压约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定的模型，列出火箭发射时的声压级和人正常说话时的声压级表达式，联立求解即可.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】令人正常说话时的声压级为 ，火箭发射时的声压级为 ，则 ，
而人正常说话的声压 ，火箭发射时的声压为 ，
于是 ， ，两式相减得 ，解得 ，
所以火箭发射时的声压约为 .
故选：D
6．已知 为锐角，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由诱导公式求出 ，再由倍角公式求 .
【详解】由诱导公式可得 ，
由倍角公式有 ，
所以 ，由 为锐角，则 .
故选：D
7．如图，已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，过 的直线与 分别在第一､二
象限交于 两点， 内切圆半径为 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线定义和几何性质，结合圆的切线长定理与余弦定理即可求解.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】
设 ，内切圆圆心为 ，内切圆在 上的切点分别为 ，
则 ，
由 及双曲线的定义可知， ，
故四边形 是正方形，
得 ，于是 ，
故 ，所以 ，
于是 ，在 中，
由余弦定理可得 ，
从而 ，所以 .
故选：D.
8．设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】易得 ，构造函数 ，利用导数判断出函数的单调性，再根据函数的单调
性即可比较 的大小关系，即可得解.
【详解】 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 .
综上， .
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．
记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（ ）
A．可能取到数字4 B．中位数可能是2
C．极差可能是4 D．众数可能是2
【答案】BD
【分析】对于AC：根据题意结合平均数、方差和极差的定义分析判断；对于BD：举例说明即可.
【详解】设这5个数字为 ，
对于A：若取到数字4，不妨设为 ，
则 ，可得 ，
可知这4个数中至少有2个1，不妨设为 ，
则这5个数字的方差
，
不合题意，故A错误；
对于C：因为这5个数字的平均数为2，这5个数字至少有1个1，不妨设为 ，
若极差是4，这最大数为5，不妨设为 ，
则这5个数字的平均数 ，
则 ，可知这3个数有2个1，1个2，
此时这5个数字的方差 ，
不合题意，故C错误；
对于BD：例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意，
且中位数是2，众数是2，故BD正确；
故选：BD.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司10．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为 的点处作 的切线，
切线与 轴交点的横坐标为 ；用 代替 重复上面的过程得到 ；一直下去，得到数列 ，叫作牛顿
数列.若函数 且 ，数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．数列 是递减数列
C．数列 是等比数列 D．
【答案】ACD
【分析】求导得切点处的切线方程，即可令 0判断A,根据对数的运算，结合等差等比数列的定义即可
判断BC，根据等比求和公式即可求解D.
【详解】 ，所以 在点 处的切线方程为： ，
令 0，得 ，故A正确.
，故 ，即 ，
所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确，
所以 ，D正确.
故选ACD.
11．如图，在棱长为1的正方体 中，P为棱CC 上的动点(点P不与点C，C 重合)，过点
1 1
P作平面 分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．AC⊥平面
1
B．存在点P，使得AC ∥平面
1
C．存在点P，使得点A 到平面 的距离为
1
D．用过点P，M，D 的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
1
【答案】ACD
【分析】连接 ，首先证明 平面 ，然后由 ⊥平面 可判断A，由
平面 可判断B，由点A 到平面 的距离的取值范围为 可判断C，过点P，M，
1
D 的平面去截正方体得到的截面是四边形 ，可判断D.
1
【详解】
连接
因为 ，所以 ＝ ，所以
又 平面 ， 平面 ，所以 平面
同理可证 ， 平面
又 ， 、 平面 ，所以平面 平面
易证 ⊥平面 ，所以 ⊥平面 ，A正确
又 平面 ，所以 与平面 相交，不存在点P，使得 ∥平面 ，B不正确.
因为 ，点 到平面 的距离为
所以点A 到平面 的距离的取值范围为
1
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司又 ，所以存在点P，使得点A 到平面 的距离为 ，C正确.
1
因为 ，所以 ，所以用过点P，M，D 的平面去截正方体得到的截面是四边形
1
又 ，且 ，所以截面为梯形，D正确
故选：ACD
12．已知 是定义在R上的函数，且不恒为0， 为奇函数， 为偶函数， 为
的导函数，则（ ）
A．
B．
C． 的图象关于直线 对称
D．
【答案】ABD
【分析】根据已知可得 的图象关于 对称、关于直线 对称，利用对称性可得 的周期可
判断A；对 两边求导可判断B；根据 ，可判断CD.
【详解】 为奇函数，则 的图象关于 对称.
又 为偶函数，则 的图象关于直线 对称，
所以 ，可得
，
则 的周期为4，
对A， ，令 得 ，故A选项正确；
对B，又 ，则 的图象关于 对称，则 ，
，令 ，则 ，故B正确；
对C，因为 ，则 的图象关于直线 对称，故C错误；
又 ，所以 ，
由以上可知， ，，
函数 的周期为4，则 ，故D正确.
故选：ABD.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 的展开式中的常数项为240，则 ．
【答案】3
【分析】利用二项式展开式的通项公式及给定的常数项求出 值.
【详解】 的展开式的通项 ，
令 得 ，令 ，无解，
所以 的展开式中的常数项为 ，所以 .
故答案为：3
14．若 为坐标原点，过点 的直线 与函数 的图象交于 两点，则
．
【答案】4
【分析】首先得出 是函数 图象的对称中心，所以 ，然后由数量积的坐标
运算公式计算即可.
【详解】因为 ，
所以 是函数 图象的对称中心，则 为线段 的中点，
可得 ，则 ．
故答案为：4.
15．设函数 ，且函数 在 恰好有5个零点，则正实数
的取值范围是
【答案】
【分析】先化简为 ，当 时，得到 .若
函数 在 恰好有5个零点，只需函数 在区间 上恰有5
条对称轴．结合正弦函数的图象可建立 ，求解即可.
【详解】 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司令 ，得 ，
因为函数 在 恰好有5个零点，
所以函数 在 上恰有5条对称轴．
当 时， ，
令 ，
则 在 上恰有5条对称轴，如图：
所以 ，解得 ．
16．如图，在直三棱柱 中， ，若 为空间一动点，且
，则满足条件的所有点 围成的几何体的体积为 ；若动点 在侧面 内运
动，且 ，则线段 长的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据球的体积公式即可求解空1，根据球的截面圆性质，结合线面垂直以及点到圆上的最小距离
即可求解空2.
【详解】由 可得点 的轨迹为以 为圆心，以 为半径的球面，
所以围成的球的体积为 ，
过 作 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由 ，则由等面积法可得 ,
由于在直三棱柱 中， 平面 平面 故 ,
由于 平面 ，故 平面 ，
由于 平面 ，故 ,
所以 ,
由于 到平面 的距离和点 到平面 的距离相等，均为 ，
又 ，所以点 的轨迹为以 为圆心，以 为半径的球与侧面 的截面圆，该截面圆的半
径为 ,圆心为 ,且满足 ，
因此点 的最小距离为 ，
故 ，
故答案为： ，
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（2023·安徽·校联考一模）已知数列 满足 ，且点 在直线 上
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 前 项和为 ，求能使 对 恒成立的 （ ）的最小值．
【答案】(1) (2)5
【分析】（1）根据等差数列的通项公式求得结果；
（2）根据裂项相消求得 ，并结合不等式恒成立得出结果.
【详解】（1）由点 在直线 上得 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以数列 是以首项为 ，公差为2的等差数列，
故 ，即 ．
（2） ，
所以
，
要使 对 恒成立，
，即 ，
又 ，所以 的最小值为5．
18．（12分）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求 的大小；
(2)若 ，直线 分别交 于 两点，且 把 的面积分成相等的两部分，求 的
最小值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）方法一由边化角结合正弦展开式求得；方法二由余弦定理求得；
（2）先用三角形面积公式 得出 ，再结合基本不等式求出最小值.
【详解】（1）
方法一：由已知 ，
即 ，
，
又 .
方法二：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
即 .
（2） ，
，
.
在 中， ，
当且仅当 时上式等号成立，
的最小值为 .
19．（12分）2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀
进行大会发言.为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分
别抽取男､女生各50人作为样本.设事件 “了解人工智能”， “学生为男生”，据统计
.
(1)根据已知条件，填写下列 列联表，是否有 把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？
了解人工智
不了解人工智能 合计
能
男生
女生
合计
(2)①现从所抽取的女生中利用分层抽样的方法抽取 人，再从这 人中随机选取 人赠送科普材料，求
选取的 人中至少有 人了解人工智能的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取 人科普材料，记其中了解人工智能的人数为
，求随机变量 的数学期望和方差．
参考公式： ．常用的小概率值和对应的临界值如下表：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【详解】（1）因为 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以了解人工智能的女生为 ，
了解人工智能人数为 ，
则了解人工智能的男生有 人，
结合男生和女生各有 人，填写 列联表为：
了解人工智
不了解人工智能 合计
能
男生 40 10 50
女生 30 20 50
合计 70 30 100
则 ，
故没有 把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关.
（2）解：①由题意可知，所抽取的 名女市民中，了解人工智能的有 人，
不了解人工智能的有 人，
所以，选取的 人中至少有 人了解人工智能的概率为 ；
②由 列联表可知，抽到了解人工智能的学生的频率为 ，
将频率视为概率，所以，从我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能学生的概率为 ，
由题意可知， ，所以， ， .
20．（12分）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ， 是底面
的内接正三角形，且 ， 是线段 上一点．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)若 平面 ，求 ；
(2)当 为何值时，直线 与平面 所成角的正弦值最大？
【答案】(1)
(2)当 时，直线 与平面 所成角的正弦值最大.
【分析】（1）通过勾股定理列方程，化简求得 .
（2）建立空间直角坐标系，利用利用向量法求得直线 与平面 所成角的正弦值，结合基本不等式求
得 时，此正弦值最大.
【详解】（1） ，所以 ，解得 ，
由于三角形 是等边三角形，圆 是其外接圆， 是圆 的直径，
所以 垂直平分 ， ，
在三角形 中，由正弦定理得 ，则 ，
由于 平面 ，所以 ，
由于 ，
所以三角形 是等腰直角三角形，所以 ,
所以 .
（2）由（1）得 ，设 ， ，
结合圆锥的几何性质，建立如图所示空间直角坐标系，
，
设 ，
则 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司设平面 的法向量为 ，
则 ，故可设 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
由于 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
即当 时，直线 与平面 所成角的正弦值最大.
21．（12分）已知圆 ，点 ，P是圆M上的动点，线段PN的中垂线与直线PM
交于点Q，点Q的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2) ，点E、F（不在曲线C上）是直线 上关于x轴对称的两点，直线 、 与曲
线C分别交于点A、B（不与 、 重合），证明：直线AB过定点．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）根据 得到曲线C是以M、N为焦点的双曲线，从而求出轨迹方程；
（2）方法一：设 ，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，设 ，表
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司达出直线 、 ，从而得到 的纵坐标，由对称得到 ，根据 得到
，从而得到 ，整理后得到方程，结合两根之和，两根之积，得到 ，
求出答案；
方法二：设 ，表达出直线 、 ，求出 两点坐标，表达出直线AB方程，令 ，
求出定点坐标；
方法三：先得到 ，根据E、F关于x轴对称，得到 ，从而得到 ，再利
用齐次化进行求解，得到定点坐标.
【详解】（1）连接 ，则 ，
故 ，
所以曲线C是以M、N为焦点的双曲线，
设C的方程为 ，则 ，
解得 ，
所以曲线C的方程为
（2）设 ， ，
直线 ，令 得 ，
直线 ，令 得 ，
因为E、F关于x轴对称，所以 ，
所以 ①，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因为 ，所以 ，所以 ②，
将②代入①得 ，所以 ，
所以 ，
由 得
，解得 且 ，
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
因为直线AB不过点 ，所以 ，
所以 ，直线 过定点 ．
22．（12分）已知函数 .
(1)若 ，证明：当 时， ；
(2)求所有的实数 ，使得函数 在 上单调.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）设 （ ），对 求导，设 （ ），对 求
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司导，讨论 与 的大小，可得 ，即可证明；
（2）先求出 为奇函数，要使函数 在 上单调，只要函数 在 上单调，解法
1：对 求导，由 解出实数 ，即可得出答案；解法2：讨论 ， 和
结合零点存在性定理即可得出答案.
【详解】（1）设 （ ），
则 ，
设 （ ），则 ，显然
所以 在 上单调递增，故 ，所以 .
则 在 上单调递增，所以 ，因此
（2）解法1：因为 ，所以 为奇函数.
要使函数 在 上单调，只要函数 在 上单调.
又 .
因为 ，所以函数 在 只能单调递减，
由 ，解得 .
下证当 时， 在 上单调.
由于 是奇函数，只要 在 单调，
因为 ，所以 在 单调递减.
解法2：因为 ，所以 为奇函数.
要使函数 在 上单调，只要函数 在 上单调.
又 .
（ⅰ）若 ，即 时， ，所以函数
在 上单调递减，所以 满足题意；
（ⅱ）若 ，则 ，故 ，
所以由零点存在定理得存在 ， ，使得当 时， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当 时， ，所以 在 单调递增，
在 单调递减，因此 不合题意；
（ⅲ）若 ，则 ，故 ，
所以由零点存在定理得存在 ， ，使得当 时， ，
当 时， ，所以 在 单调递减，
在 单调递增，因此 不合题意；
因此所求实数 的取值范围是 .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
