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2024届高三下学期开学摸底考02（新高考专用）
参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A B C B C B D B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
ACD ACD BD ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14．
15．①②④ 16． /
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
（1）在 中，令 得 ．因为 ，所以 ．……..1分
由 ，得 3） ，……..2分
将两式作差并整理，得 ，所以数列 是等差数列．……..4分
设数列 的公差为 ，则 ．故 ．……..5分
（2）由（1）知 ，……..7分
设数列 的前 项和为 ，
则 ．……..10分
18．（12分）
答案及评分标准 第1页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司（1）方法1：由 为 中点得 ，则 ，……..1分
即 ，则 ，
故 ，……..3分
由余弦定理得 ，故 ，……..5分
易知 ，所以 ．……..6分
方法2：在 中，由余弦定理得 ，……..1分
在 中，由余弦定理得 ，……..2分
由 ，则 ，……..3分
即 ，故 ，……..4分
又 ，所以 ，即 ，
由余弦定理得 ．……..6分
（2）由 且 ，得 ，……..9分
由正弦定理得 ，故 ，……..10分
又 ，
答案及评分标准 第2页（共8页）所以 的面积为 ．……..12分
19．（12分）
（1）连接 ，由于四边形 是菱形， ，……..2分
所以三角形 是等边三角形，而 是 的中点，所以 ，……..2分
由于 ， 平面 ，
所以 平面 ，由于 平面 ，所以 ，……..4分
由于四边形 是菱形， ，
所以三角形 是等边三角形，所以 .……..5分
由此以 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可设 ，
所以 ，
由于 平面 ，所以 平面 .……..9分
（2） ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 .……..12分
答案及评分标准 第3页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司20．（12分）
（1）由题意， ，故y与x具有较强的线性相关关系.……..4分
（2）由题意，因为每门科目考试是否通过相互独立，故张无忌通过A岗位的3门笔试 门数的数学期
望为 ，……..6分
通过B岗位的3门笔试 门数的数学期望为 ，……..8
分
故若张无忌更有希望通过A岗位的笔试，则 ，又 ，解得 .
即 的取值范围 ……..12分
21．（12分）
（1）在 中，令 ，得 ，令 ，得 ，
因为直线 过 的左顶点与上顶点，
所以 ．……..2分
因为直线 与两坐标轴围成的三角形的面积为1，所以 ，
得 ，则 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．……..4分
答案及评分标准 第4页（共8页）（2）
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ，
由 可得 ，
则 ，即 ，
， ，
则 ，
．……..6分
由 可得 ，
故 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
等式两边同乘以3可得 ，
答案及评分标准 第5页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司故 ，
得 ，
所以 或 ．……..8分
当 时，直线 的方程为 ，直线 过点 ，不符合题意；（根据
可知直线 不过点 ）
当 时，直线 的方程为 ，直线 过定点 ．
……..10分
当直线 的斜率不存在时，设其方程为 （ ，且 ），
则可令 ， ，
由 得 ，
即 ，解得
或 （舍去），
此时直线 的方程为 ，显然也过点 ，
由 可得点 在以 为直径的圆上，
圆心为 的中点 ，半径为 ，
答案及评分标准 第6页（共8页）故点M在定圆 上．……..12分
22．（12分）
（1）当 时， ， ，……..1分
， ，……..2分
根据导数的几何意义可知， 的图象在点 处的切线方程为 ；……..4分
（2） ，
令 ，即 ，
整理为： ，……..5分
设 ，
即 ，则 ，
化简为 ， ，
设 ，
，令 ，得 ， ，
当 ， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增，
所以当 时，函数 取得最小值， ，……..7分
若函数 有2个零点，即函数 有2个零点，
答案及评分标准 第7页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司所以 ，得 ，
，则 ，则在区间 有1个零点，
，……..8分
设 ， ,
，设 ，
，所以 在 上单调递增，
，则 在 上单调递增，……..10分
，即 ，则 ，
根据函数大单调性可知，在区间 有1个零点，
所以函数 有2个零点，则 的取值范围是 .……..12分
答案及评分标准 第8页（共8页）
