文档内容
2024届高三下学期开学摸底考02（新高考专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
2．已知 ，复数 的实部与虚部相等，则a＝（ ）
A． B． C． D．2
3．已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
4．调和信号是指频率恒定的一种信号，三角函数性质可以表达调和信号的周期性，指数函数可用来描述
信号的衰减.已知一个调和信号的函数为 ，它的图象大致为（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
5．已知函数 满足对任意的 ，均有 ，
且 在 上单调，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量 .若存在 ，使得 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
7．已知关于x的不等式 恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过点 作直线 与 的渐近线在第一象限
内交于点 ，记点 关于 轴的对称点为点 ，若 ，则双曲线 的离心率为
（ ）
A． B．2 C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知平面向量 ， ， ， ， ， ，且 ，则（ ）
A． 与 的夹角为
B． 的最大值为5
C． 的最小值为2
D．若 ，则 的取值范围
10．下列关于随机变量 的说法正确的是（ ）
A．若 服从正态分布 ，则
B．已知随机变量 服从二项分布 ，且 ，随机变量 服从正态分布 ，若
，则
C．若 服从超几何分布 ，则期望
D．若 服从二项分布 ，则方差
11．在棱长为2的正方体 中， ，点M为棱 上一动点（可与端点
重合），则（ ）
A．当点M与点A重合时， 四点共面且
B．当点M与点B重合时，
C．当点M为棱 的中点时， 平面
D．直线 与平面 所成角的正弦值存在最小值
12．定义在 上的函数 同时满足：① ， ；② ， ，则下列
学科网（北京）股份有限公司结论正确的是（ ）
A．
B． 为偶函数
C．存在 ，使得
D．任意 ，有
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若 展开式中 的系数为 ，则 .
14．已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示．将函数 图象上所有的点
向左平移 个单位长度得到函数 的图象，则 的值为 ．
15．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 两点， 是线段
的中点，过 作 轴的垂线交抛物线 于点 ，则下列判断正确的序号是 .
①若 过点 ，则 的准线方程为
②若 过点 ，则③若 ，则点 的坐标为
④若 ，则 .
16．如图，正方体 的棱长为 ，点 是平面 内的动点， ， 分别为 的
中点，若直线 与直线 所成的角为 ，且 ，则动点 的轨迹所围成的图形的面积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和．
18．（12分）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 为 的中点，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的面积．
19．（12分）三棱柱 中， 别为 中点，且
.
学科网（北京）股份有限公司(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．（12分）中国新能源汽车企业在10余年间实现了“弯道超车”，使我国一跃成为新能源汽车产量连
续7年居世界第一的全球新能源汽车强国.某新能源汽车配件企业积极加大科研力度，生产效益逐步攀升.该
企业在今年1月份至5月份的生产利润 （单位：亿元）关于月份 的数据如下表所示：
月份 1 2 3 4 5
生产利润 （亿元） 2 6 8 9 10
(1)试求y与x之间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；（若 ，则认为
两个变量具有较强的线性相关性）
(2)为扩大生产，该企业在M大学启动了校园招聘，分别招聘A、B两个工程师岗位，两个岗位都各设有3
门笔试科目.M大学的硕士毕业生张无忌决定参加这次应聘，且每门科目考试是否通过相互独立.若张无忌
报考A岗位，每门笔试科目通过的概率依次为 ， ， ，其中 ；若张无忌报考B岗位，每门笔试
科目通过的概率均为 .且张无忌只能报考A，B两个岗位中的一个.若以笔试中通过科目数的数学期望为依
据作出决策，得出张无忌更有希望通过A岗位的笔试，试求 的取值范围.
附：参考数据： ， ， .
相关系数 .
21．（12分）已知椭圆 ，直线 过 的左顶点与上顶点，且 与两坐标轴
围成的三角形的面积为1．(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 ， ， （异于点 ）是椭圆 上不同的两点，且 ，过 作 的垂线，
垂足为 ，证明点 在定圆上，并求出定圆的方程．
22．（12分）已知函数 .
(1)当 时，求 的图象在点 处的切线方程；
(2)若函数 有2个零点，求 的取值范围.
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