文档内容
2024届高三下学期开学摸底考02（新高考专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】根据题意，先解不等式求集合 ，再利用集合的交集运算求 ，进而利用集合的补集运算可
求 .
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 或 .
故选：A.
2．已知 ，复数 的实部与虚部相等，则a＝（ ）A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则，求得 ，结合题意，列出方程，即可求解.
【详解】由复数 ，
因为复数 的实部与虚部相等，所以 ，解得 .
故选：B．
3．已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等差、等比数列的性质分析求解.
【详解】由题意可得 ，解得 ，
所以 .
故选：C.
4．调和信号是指频率恒定的一种信号，三角函数性质可以表达调和信号的周期性，指数函数可用来描述
信号的衰减.已知一个调和信号的函数为 ，它的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据函数在 内的零点个数和奇偶性判断.
【详解】解：令 ，则 ， ，解得 ，
则在 内有 两个零点，故排除选项A，D，
又 不具有奇偶性，则图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，故排除选项C，
故选：B
5．已知函数 满足对任意的 ，均有 ，
且 在 上单调，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据 得出 的关系式，再根据单调性确定 的范围，最
后求出最大值即可.
【详解】由于对任意的 ，均有 ，
所以 在 处取得最小值，点 是 图象的一个对称中心，
所以 ，两式相减得 ，即
．因为 在 上单调，所以 ，即 ，
，因此当 时， 取得最大值 ．
故选:C.
6．已知向量 .若存在 ，使得 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的模长运算可得 ，即可根据数量积的坐标运算结合三角恒等变换得
，进而可求解；
或者利用向量数量积的性质判断 同向共线，即可得 求解.
【详解】方法一：由 得 ,即 ，
所以 ，则 .又 ， ，
所以 ，即 .
方法二：由 得 ，所以向量 同向共线，
所以 .又 ，所以 .
故选：B.
7．已知关于x的不等式 恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】第一步：将不等式进行合理变形，关于x的不等式 恰有一个整数解．
第二步：构造函数，研究新函数的性质，作出函数的图象，根据图象求解；
【详解】设 ， ，则 ，
当 时， ，
当 时， ，
在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
当 时， ，当x趋近于 时， 趋近于0， ，
直线 过点 ，在同一坐标系中作出直线 和函数 的图象如图所示．
由图象知，要使关于x的不等式 恰有一个整数解，则
，解得 ，
故选：D．
8．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过点 作直线 与 的渐近线在第一象限
内交于点 ，记点 关于 轴的对称点为点 ，若 ，则双曲线 的离心率为
（ ）A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】画出图形，由已知条件和几何关系确定 ，进而确定点 ，又点 在
直线 上，代入即可求出 ，最终算出离心率.
【详解】
设 ，连接 ，与 轴交于点 ，
由对称性可知 ，
又 ，所以 是正三角形，且 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又点 在直线 上，
故 ，所以 ，
所以 .
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知平面向量 ， ， ， ， ， ，且 ，则（ ）
A． 与 的夹角为
B． 的最大值为5
C． 的最小值为2
D．若 ，则 的取值范围
【答案】ACD
【分析】利用平面向量的数量积公式求解选项 ，设 ， ， ，根据已知条件求出向量
， ，建立直角坐标系，将 转化为 即可求其最大值；根据图形可知点 的轨迹，
利用几何性质即可求出 的最小值；设出点 的坐标，根据已知条件，转化为三角函数求最值的问题求解.
【详解】对于A，由于 ， ， ，则 ，
则 ，由于向量夹角范围为大于等于 小于等于 ，
故 与 的夹角为 ，则A正确；
对于B，设 ， ， ，则 ， ，不妨设 ， ,
由于 ，即 ，
故△ 为等腰三角形，则 ，故 ，
因为 ，所以 ，
则点C在以 为弦，且使得 的两个优弧上，如图示：
故C点所在优弧所在的圆的直径为 ，则其半径为 ，
设该圆的方程为 ，将 坐标代入，
得 ，解得 或 ，
则两优弧所在圆的圆心为 ， ，且两个圆心关于直线 对称，
设 的中点为M，则
，
而 到弦AB的距离为 ，
故 的最大值为 ，则 的最大值为6，
即 的最大值为6，则B错误；对于C， 即为 ，结合C点轨迹可知当C在圆 上的那条优弧上运动时，
会取到最小值，由于 ，
故 的最小值为 ，即 的最小值为2，则C正确；
对于D，结合以上分析可知 ，
当C在圆 上的那条优弧上时，圆的方程为 ，
设 ，其中 ，
则由 可得 ，
解得 ，即 ，
所以 ，
当C在圆 上的那条优弧上时，圆的方程为 ，
设 ，其中 ，
则由 可得 ，
解得 ，即 ，
所以 ，综上所述， 的取值范围 ，则 正确；
故选： .
10．下列关于随机变量 的说法正确的是（ ）
A．若 服从正态分布 ，则B．已知随机变量 服从二项分布 ，且 ，随机变量 服从正态分布 ，若
，则
C．若 服从超几何分布 ，则期望
D．若 服从二项分布 ，则方差
【答案】ACD
【分析】A选项，先得到 ，进而根据方差的性质得到答案；B选项，根据二项分布求出概率，得
到方程，求出 ，再根据正态分布的对称性求出概率；C选项，根据超几何分布的期望公式求出答案；
D选项，由二项分布方差公式求出D正确.
【详解】对A，由于 ，所以 ，
根据方差的性质， ，故A正确；
对B， 服从二项分布 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，根据正态分布的对称性可得， ，故B错误；
对C， 服从超几何分布 ，根据超几何分布的期望公式， ，故C正确；
对D， 服从二项分布 ，根据二项分布方差公式得，
，故D正确.
故选：ACD.
11．在棱长为2的正方体 中， ，点M为棱 上一动点（可与端点
重合），则（ ）A．当点M与点A重合时， 四点共面且
B．当点M与点B重合时，
C．当点M为棱 的中点时， 平面
D．直线 与平面 所成角的正弦值存在最小值
【答案】BD
【分析】根据题意，证得 ，得到 四点共面，且四边形 为等腰梯形，求得梯形的
面积，可判定A不正确；证得 ，设 ，在直角 中，求得 ，可判定B
正确；以 为原点，建立空间直角坐标系，结合 ，可判定C不正确；设 ，
求得平面 的法向量 ，结合向量的夹角公式，求得 ，可判定D
正确.
【详解】对于A中，由棱长为2的正方体 中， ，
可得点 为 的中点，且点 为 的中点，可得 ，
当点 和点 重合时，可得 ，所以 ，
所以 四点共面，且四边形 为等腰梯形，
又由 ，可得梯形的高为 ，
所以四边形 的面积为 ，所以A不正确；对于B中，由点 为 的中点，且点 为 的中点，可得 ，
当点 与点 重合时，则异面直线 与 所成的角，即为直线 与 所成的角，
设 ，在直角 中， ，可得 ，
可得 ，
又由 ，所以 ，所以B正确；
对于C中，以 为原点，以 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因
为正方体 的棱长为 ，
当点 为棱 的中点时，可得 ，
可得 ，则 ，所以 与平面 不垂直，所以C不正确；
对于D中，由C中的空间直角坐标系，设 ，
可得 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
可得 ，
当 时，可得 ，即直线 与平面 所成角的正弦值存在最小值 ，
所以D正确.
故选：BD.
12．定义在 上的函数 同时满足：① ， ；② ， ，则下列
结论正确的是（ ）
A．
B． 为偶函数
C．存在 ，使得D．任意 ，有
【答案】ACD
【分析】对于A：根据题意令 分析运算即可；对于B：根据题意求 ，结合偶函数的定义分
析判断；对于C：利用累加法分析判断；对于D：设 ，分析可知 是以1为周期的
周期函数，且 ，结合绝对值的性质分析求解.
【详解】对于选项A：因为 ，
令 ，则 ，即 ，
又因为 ， ，即 ，
可知 ，即 ，解得 ，故A正确；
对于选项B：由选项A可得
令 ，则 ，即 ，
可知 ，所以 不为偶函数，故B错误；
对于选项C：因为 ，且 ，
当 时，则
，
且 符合上式，
所以 ， ，
令 ，则 ，即存在 ，使得 ，故C正确；
对于选项D：令 ，
则 ，
即 ，即 是以1为周期的周期函数，
因为当 ， ，则 ，
结合周期性可知对任意 ，均有 ，
所以 ，故D正确；
故选：ACD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若 展开式中 的系数为 ，则 .
【答案】
【分析】由题意得 ，结合二项式展开式的通项公式建立方程，解之即可求解.
【详解】由题意知， ，
展开式的通项公式为 ，
所以含 的项的系数为 ，
则 ，即 ，解得 .
故答案为：2.
14．已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示．将函数 图象上所有的点
向左平移 个单位长度得到函数 的图象，则 的值为 ．【答案】
【分析】根据图象可知半个周期，求得 ，代入点的坐标结合已知可求得 ，再利用图象平移即可得
出 的解析式，进而求出 .
【详解】由图象可知 的周期为 ，
解得 ，
代入 可得 ，
解得 ，
又 ，所以 ，
故 ，
左移 个单位长度得 ，
故 ．
故答案为：15．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 两点， 是线段
的中点，过 作 轴的垂线交抛物线 于点 ，则下列判断正确的序号是 .
①若 过点 ，则 的准线方程为
②若 过点 ，则
③若 ，则点 的坐标为
④若 ，则 .
【答案】①②④
【分析】对于①项，求出点 的坐标即可验证；对于②项，联立方程，由抛物线定义以及韦达定理表示出
相应的弦长即可；对于④，联立方程，由韦达定理以及数量积的坐标形式即可求出 的值从而验证；对于
③项，由④中分析即可验证；由此即可得解.
【详解】如下图所示：
设 ，对于①项，若 过点 ，则点 的坐标为 ，所以 ，
故抛物线 的准线方程为 ，故①正确；
对于②项，由①可得 的方程为 ，
与 的方程 联立消去 并整理得 ，则 ， ，
根据抛物线的定义，可得 ， ， ，
所以 ，所以 ，故②项正确；
如下图所示：
对于④，将 的方程 与 的方程联立，得 ，所以 ，
，
设 ，则 ，所以 ，即 ，
由 得 ，
即 ，
所以 ，所以 ，故④正确
对于③项，由④中分析可知， ，所以焦点 ，故③错误.
综上所述：正确的序号是①②④.
故答案为：①②④.
16．如图，正方体 的棱长为 ，点 是平面 内的动点， ， 分别为 的
中点，若直线 与直线 所成的角为 ，且 ，则动点 的轨迹所围成的图形的面积为 ．【答案】 /
【分析】第一步：作辅助线，找到直线BP与MN所成的角，第二步：求点P到 的距离，得到点P的轨
迹，即可得解.
【详解】如图，连接 ，因为M，N分别为 的中点，
所以 ，（三角形中位线定理的应用）
因此直线BP与MN所成的角就是直线BP与 所成的角，
在正方体 中，可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，可得 ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，同理可得 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，故 ．
设 与平面 的交点为G，连接PG，
所以 ，因此在 中， ，
因为 ，所以 ，
又三棱锥
，
所以 ，则 ，
所以点P的轨迹是以G为圆心， 为半径的圆，其面积 ．故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用已知条件求 ，根据已知的递推关系得 是等差数列，利用等差数列的知识求
的通项公式；
（2）求数列 的通项公式并裂项，利用裂项相消法求和，可得答案.
【详解】（1）在 中，令 得 ．因为 ，所以 ．
由 ，得 3） ，
将两式作差并整理，得 ，所以数列 是等差数列．
设数列 的公差为 ，则 ．故 ．
（2）由（1）知 ，设数列 的前 项和为 ，
则 ．
18．（12分）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 为 的中点，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）法一：应用向量基本定理及数量积运算律得 ，结合已知和余弦
定理列方程求余弦值；法二：由余弦定理及 ，结合已知求余弦值；
（2）应用正弦定理求 ，利用三角形内角性质及正弦和角公式求 ，最后由三角形面积公式求面积.
【详解】（1）法一：由 为 中点得 ，则 ，
即 ，则 ，
故 ，
由余弦定理得 ，故 ，
易知 ，所以 ．
法二：在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
由 ，则 ，即 ，故 ，
又 ，所以 ，即 ，
由余弦定理得 ．
（2）由 且 ，得 ，
由正弦定理得 ，故 ，
又 ，
所以 的面积为 ．
19．（12分）三棱柱 中， 别为 中点，且
.
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明详见解析
(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得 平面 .
（2）利用向量法求得直线 与平面 所成角的正弦值.
【详解】（1）连接 ，由于四边形 是菱形， ，
所以三角形 是等边三角形，而 是 的中点，所以 ，
由于 ， 平面 ，
所以 平面 ，由于 平面 ，所以 ，
由于四边形 是菱形， ，
所以三角形 是等边三角形，所以 .
由此以 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可设 ，
所以 ，
由于 平面 ，所以 平面 .
（2） ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 .20．（12分）中国新能源汽车企业在10余年间实现了“弯道超车”，使我国一跃成为新能源汽车产量连
续7年居世界第一的全球新能源汽车强国.某新能源汽车配件企业积极加大科研力度，生产效益逐步攀升.该
企业在今年1月份至5月份的生产利润 （单位：亿元）关于月份 的数据如下表所示：
月份 1 2 3 4 5
生产利润 （亿元） 2 6 8 9 10
(1)试求y与x之间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；（若 ，则认为
两个变量具有较强的线性相关性）
(2)为扩大生产，该企业在M大学启动了校园招聘，分别招聘A、B两个工程师岗位，两个岗位都各设有3
门笔试科目.M大学的硕士毕业生张无忌决定参加这次应聘，且每门科目考试是否通过相互独立.若张无忌
报考A岗位，每门笔试科目通过的概率依次为 ， ， ，其中 ；若张无忌报考B岗位，每门笔试
科目通过的概率均为 .且张无忌只能报考A，B两个岗位中的一个.若以笔试中通过科目数的数学期望为依
据作出决策，得出张无忌更有希望通过A岗位的笔试，试求 的取值范围.
附：参考数据： ， ， .
相关系数 .
【答案】(1) ，y与x具有较强的线性相关关系
(2)【分析】（1）计算相关系数r，再进行判断即可；
（2）分别计算通过A，B两个岗位的科目数学期望，再比较大小判断即可.
【详解】（1）由题意， ，故y与x具有较强的线性相关关系.
（2）由题意，因为每门科目考试是否通过相互独立，故张无忌通过A岗位的3门笔试 门数的数学期
望为 ，
通过B岗位的3门笔试 门数的数学期望为 ，
故若张无忌更有希望通过A岗位的笔试，则 ，又 ，解得 .
即 的取值范围
21．（12分）已知椭圆 ，直线 过 的左顶点与上顶点，且 与两坐标轴
围成的三角形的面积为1．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 ， ， （异于点 ）是椭圆 上不同的两点，且 ，过 作 的垂线，
垂足为 ，证明点 在定圆上，并求出定圆的方程．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）首先在 中，令 ， ，得 ，结合 与两坐标轴围成的三角形的面积为
1即可求出 ，进而得解.（2）当直线 的斜率存在时设出其方程和 ， 的坐标，利用根与系数的关系求出 ， 两点坐标间的
关系；根据 得到直线 过定点；当直线 的斜率不存在时得直线 也过该定点；根据圆的
性质求得结果.
【详解】（1）在 中，令 ，得 ，令 ，得 ，
因为直线 过 的左顶点与上顶点，
所以 ．
因为直线 与两坐标轴围成的三角形的面积为1，所以 ，
得 ，则 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ，
由 可得 ，
则 ，即 ，
， ，
则 ，
．
由 可得 ，故 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
等式两边同乘以3可得 ，
故 ，
得 ，
所以 或 ．
当 时，直线 的方程为 ，直线 过点 ，不符合题意；（根据
可知直线 不过点 ）
当 时，直线 的方程为 ，直线 过定点 ．
当直线 的斜率不存在时，设其方程为 （ ，且 ），
则可令 ， ，
由 得 ，
即 ，解得或 （舍去），
此时直线 的方程为 ，显然也过点 ，
由 可得点 在以 为直径的圆上，
圆心为 的中点 ，半径为 ，
故点M在定圆 上．
22．（12分）已知函数 .
(1)当 时，求 的图象在点 处的切线方程；
(2)若函数 有2个零点，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求解切线方程；
（2）首先将函数 ，利用换元，并化简为 ， ，再构造函数 ，利
用导数判断函数的单调性和最小值，并结合函数的零点个数，可得 ，以及零点存在性
定理，即可求解.
【详解】（1）当 时， ， ，
， ，根据导数的几何意义可知， 的图象在点 处的切线方程为 ；
（2） ，
令 ，即 ，
整理为： ，
设 ，
即 ，则 ，
化简为 ， ，
设 ，
，令 ，得 ， ，
当 ， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增，
所以当 时，函数 取得最小值， ，
若函数 有2个零点，即函数 有2个零点，
所以 ，得 ，
，则 ，则在区间 有1个零点，
，
设 ， ,
，设 ，，所以 在 上单调递增，
，则 在 上单调递增，
，即 ，则 ，
根据函数大单调性可知，在区间 有1个零点，
所以函数 有2个零点，则 的取值范围是 .
