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西安中学高2024届高三模拟考试(一)
数学学科（文科）
（满分：150分 时间：120分钟） 命题人：王晓溪
一、单选题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1.若 ，则 ( )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
2.在用反证法证明“已知 ，则 中至多有一个大于 0”时，假
设应为( )
A. x，y都小于0 B. x，y至少有一个大于0
C. x，y都大于0 D. x，y至少有一个小于
3.如图1的矩形长为 5、宽为2，在矩形内随机地撒 300
颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗，则我们
可以估计出阴影部分的面积为( )
图1
A. B. C. 10 D. 不能估计
4.与双曲线 的焦点相同，且长轴长为4❑√3的椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
5.已知 满足 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
⃗
6.已知点P是ΔABC的重心，则 AP=( )
⃗ 1 ⃗ 1 ⃗
A. AP= AB+ AC B.
6 6
⃗ 1 ⃗ 1 ⃗
AP= AB+ AC
4 4
数学（文科）试题 第1页 共5页
学科网（北京）股份有限公司⃗ 2 ⃗ 1 ⃗ ⃗ 2 ⃗ 1 ⃗
C. AP= AC+ BC D. AP= AB+ BC
3 3 3 3
7.如图2是计算 值的一个程序框图,其中判断框内应填的是( )
A. i>10 B. i<10
C. i>20 D. i<20 图2
8.某四面体的三视图如图3所示，该四面体四个面的面积中
最大的是( )
A. 8 B. 6 C. 10 D. 8
9.三角函数值sin1，sin2，sin3的大小顺序是( )
A. sin1>sin2>sin3 B. sin2>sin1>sin3
C. sin1>sin3>sin2 D. sin3>sin2>sin1 图3
10.四面体 外接球球心在 上，且 ， ，在外接球面上两
点 间的球面距离(经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度)是( )
A. B. C. D.
11.已知数列 满足 ， ，记 ，则( )
A. B. C. D.
12.将函数 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 （纵坐
标不变），再沿 轴向左平移 个单位长度，所得图象对应的函数为 .关于
函数 ，现有如下命题：
①函数 的图象关于点 对称；
②函数 在 上是增函数：
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学科网（北京）股份有限公司③当 时，函数 的值域为 ；
④函数 是奇函数.
其中真命题的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知曲线 ，则斜率为3的切线方程为 ．
14.过点 ，在 轴上的截距和在 轴上的截距相等的直线方程
为 ．
15.已知 ， ，则 ．
16.平面上动点M到定点F（3,0）的距离比M到 轴的距离大3，则动点M满
足的方程为 ．
三、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤。
(一)必考题:共60分.
17.(本小题12分)
在 中，角 所对的边分别为 ， ，
.
（1）求角 ；
（2）若 ，求 的周长.
18.(本小题12分)
第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观
看.为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机
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抽取了100名学生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的 ，男
4
生有10人表示不喜欢看足球比赛．
（1）完成下面2×2列联表，试根据独立性检验，判断是否有 99.999%的把握认
为喜爱观看足球比赛与性别有关联？
男 女 合计
喜爱看足球比赛
不喜爱看足球比赛
合计 60
（2）在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，
再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，求抽到的男生人数为1人的
概率．
附： ，其中 ．
P 0.050 0.010 0.001
（K2≥k）
k 3.841 6.635 10.828
19.(本小题12分)
如图 4，在三棱锥 P-ABC 中，PA AB，PA BC，
AB BC，PA＝AB＝BC＝2，D 为线段 AC 的中点，E
⊥ ⊥
为线段PC上一点．
⊥
（1）求证：平面BDE 平面PAC；
图4
（2）当 时，求三棱锥E-BCD的体积．
⊥
20.(本小题12分)
已知函数 .
（1）求函数 的极值；
（2）若对任意 ，求 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司21.(本小题12分)已知双曲线 ，其左、右顶点分别为
，其离心率为2，且虚轴长为2√ 3．
（1）求双曲线 的标准方程;
（2）一动点T与 的连线分别与双曲线的右支交于P，Q两点，且PQ恒过双
曲线的右焦点，求证：点T在定直线上．
(二)选考题:共10分. 请考生在第22、23两题中任选一题作答.
22.(本小题10分)在直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 （t为
参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点 ，
曲线 的极坐标方程为 ．
（1）写出曲线 的普通方程，曲线 的直角坐标方程；
（2）若A，B分别为曲线 ， 上的动点，当 取最小值时，求 的面
积．
23.(本小题10分)已知 是正实数，且 ．
（1）求 的最小值；
（2）求证： ．
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