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2019年辽宁省本溪市中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．（3分）下列各数是正数的是（ ）
A．0 B．5 C．﹣ D．﹣
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x7÷x＝x7 B．（﹣3x2）2＝﹣9x4
C．x3•x3＝2x6 D．（x3）2＝x6
4．（3分）2019年6月8日，全国铁路发送旅客约9560000次，将数据9560000科学记数法表
示为（ ）
A．9.56×106 B．95.6×105 C．0.956×107 D．956×104
5．（3分）下表是我市七个县（区）今年某日最高气温（℃）的统计结果：
县（区） 平山区 明山区 溪湖区 南芬区 高新区 本溪县 恒仁县
气温（℃） 26 26 25 25 25 23 22
则该日最高气温（℃）的众数和中位数分别是（ ）
A．25，25 B．25，26 C．25，23 D．24，25
6．（3分）不等式组 的解集是（ ）
A．x＞3 B．x≤4 C．x＜3 D．3＜x≤4
7．（3分）如图所示，该几何体的左视图是（ ）A． B．
C． D．
8．（3分）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”
B．若原命题成立，则它的逆命题一定成立
C．一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小
D．在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数
9．（3分）为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行
垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型
号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的
是（ ）
A． ＝ B． ＝
C． + ＝140 D． ﹣140＝
10．（3分）如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA⊥AB，PD⊥AC于点D，连接AP，
设AP＝x，PA﹣PD＝y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（ ）A．
B．
C．
D．
二、填空题（本題共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
12．（3分）函数y＝5x的图象经过的象限是 ．
13．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是 ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，
相们比为 ，把△ABO缩小，得到△A B O，则点A的对应点A 的坐标为 ．
1 1 1
15．（3分）如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于 EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交
AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的距离为 ．
16．（3分）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小正方形ABCD
内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为 ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB和菱形OCDE的边OA，OE都在x轴上，
点C在OB边上，S△ABD ＝ ，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点B，则k的值为
．
18．（3分）如图，点B 在直线l：y＝ x上，点B 的横坐标为2，过B 作B A ⊥1，交x轴于点
1 1 1 1 1
A ，以A B 为边，向右作正方形A B B C ，延长B C 交x轴于点A ；以A B 为边，向右作
1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2
正方形A B B C ，延长B C 交x轴于点A ；以A B 为边，向右作正方形A B B C 延长
2 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 4 3
B C 交x轴于点A ；…；按照这个规律进行下去，点 的横坐标为 （结果用含正整
4 3 4 n
数n的代数式表示） ∁三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值（ ﹣ ）÷ ，其中a满足a2+3a﹣2＝0．
20．（12分）某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A．机器人，B．围棋，C．羽毛
球，D．电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学
生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中
图（1）中A所占扇形的圆心角为36°．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球
社团；
（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任
选两名参加机器人大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连接AE．
（1）求证：AE＝BC；
（2）若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积．
22．（12分）小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图 ， 分别是
她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑①杆D②E，箱长
BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，
∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列向题．
（1）求AC的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网
络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关
系．
（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点
E，交AD的延长线于点F， O是△DEF的外接圆，连接DP．
（1）求证：DP是 O的切线⊙；
（2）若tan∠PDC＝⊙ ，正方形ABCD的边长为4，求 O的半径和线段OP的长．
⊙
七、解答题（满分12分）
25．（12分）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且DA＝DB，O是
AB的中点，CE是△BCD的中线．
（1）如图a，连接OC，请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系： ；
（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON
＝∠ADB，ON与射线CA交于点N．
如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；
①若∠BAC＝30°，BC＝m，当∠AON＝15°时，请直接写出线段ME的长度（用含m的代数
②式表示）．八、解答题（满分14分）
26．（14分）抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交
x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线
PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；
（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．2019 年辽宁省本溪市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．【解答】解：0既不是正数，也不是负数；5是正数； 和 都是负数．
故选：B．
2．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．【解答】解：A、x7÷x＝x6，故此选项错误；
B、（﹣3x2）2＝9x4，故此选项错误；
C、x3•x3＝x6，故此选项错误；
D、（x3）2＝x6，故此选项正确；
故选：D．
4．【解答】解：将数据9560000科学记数法表示为9.56×106．
故选：A．
5．【解答】解：∵在这7个数中，25（℃）出现了3次，出现的次数最多，
∴该日最高气温（℃）的众数是25；
把这组数据按照从小到大的顺序排列位于中间位置的数是25，
则中位数为：25；
故选：A．
6．【解答】解： ，
由 得：x＞3，
由①得：x≤4，
则②不等式组的解集为3＜x≤4，
故选：D．7．【解答】解：从左边看是一个矩形，中间有两条水平的虚线，
故选：B．
8．【解答】解：A、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”，是随机事件，不合题意；
B、若原命题成立，则它的逆命题一定成立，是随机事件，不合题意；
C、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小，是必然事件，符合题意；
D、在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数，是随机事件，不合题意；
故选：C．
9．【解答】解：设甲型机器人每台x万元，根据题意，可得： ，
故选：A．
10．【解答】设：圆的半径为R，连接PB，
则sin∠ABP＝ ，
∵CA⊥AB，即AC是圆的切线，则∠PDA＝∠PBA＝ ，
则PD＝APsin ＝x× ＝ x2， α
α
则y＝PA﹣PD＝﹣ x2+x，
图象为开口向下的抛物线，
故选：C．
二、填空题（本題共8小题，每小题3分，共24分）
11．【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
12．【解答】解：函数y＝5x的图象经过一三象限，
故答案为：一、三
13．【解答】解：根据题意得：△＝16﹣4k≥0，
解得：k≤4．故答案为：k≤4．
14．【解答】解：以点O为位似中心，相们比为 ，把△ABO缩小，点A的坐标是A（4，2），
则点A的对应点A 的坐标为（4× ，2× ）或（﹣4× ，﹣2× ），即（2，1）或（﹣2，﹣1），
1
故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）．
15．【解答】解：结合作图的过程知：BP平分∠ABD，
∵∠A＝90°，AP＝3，
∴点P到BD的距离等于AP的长，为3，
故答案为：3．
16．【解答】解：如图所示，AD与直线的交点为E，AB与直线的交点为F，
根据题意可知 ，AF＝ ，
∴ ＝ ，
∴小球停留在阴影区域的概率为：1﹣ ．
故答案为：
17．【解答】解：连接OD，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵四边形OCDE是菱形，
∴DE∥OB，
∴∠DEO＝∠AOB＝60°，
∴△DEO是等边三角形，
∴∠DOE＝∠BAO＝60°，
∴OD∥AB，∴S△BDO ＝S△AOD ，
∵S四边形ABDO ＝S△ADO +S△ABD ＝S△BDO +S△AOB ，
∴S△AOB ＝S△ABD ＝ ，
过B作BH⊥OA于H，
∴OH＝AH，
∴S△OBH ＝ ，
∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点B，
∴k的值为 ，
故答案为： ．
18．【解答】解：过点B 、C 、C 、C 、C 分别作B D⊥x轴，C D ⊥x轴，C2D2⊥x轴，C D ⊥x轴，
1 1 2 3 4 1 1 1 3 3
C D ⊥x轴，……垂足分别为D、D 、D 、D 、D ……
4 4 1 2 3 4
∵点B 在直线l：y＝ x上，点B 的横坐标为2，
1 1
∴点B 的纵坐标为1，
1
即：OD＝2，B D＝1，
1
图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，
∴点C 的横坐标为：2+ +（ ）0，
1
点C 的横坐标为：2+ +（ ）0+（ ）0× +（ ）1＝ +（ ）0× +（ ）1
2
点C 的横坐标为：2+ +（ ）0+（ ）0× +（ ）1+（ ）1× +（ ）2＝ +（ ）0× +（ ）1×
3++（ ）2
点C 的横坐标为：＝ +（ ）0× +（ ）1× +（ ）2× +（ ）3
4
……
点 的横坐标为：＝ +（ ）0× +（ ）1× +（ ）2× +（ ）3× +（ ）4× ……+（ ）n﹣1
n
∁
＝ + [（ ）0+（ ）1×+（ ）2+（ ）3+（ ）4……]+（ ）n﹣1
＝
故答案为：
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．【解答】解：（ ﹣ ）÷
＝[ ]
＝（ ）
＝
＝
＝ ，
∵a2+3a﹣2＝0，∴a2+3a＝2，
∴原式＝ ＝1．
20．【解答】解：（1）∵A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，
∴这次被调查的学生共有：20÷ ＝200（人）；
故答案为：200；
（2）C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人）；
补充如图．
（3）1000× ＝300（人）
答：这1000名学生中有300人参加了羽毛球社团；
（4）画树状图得：
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P（选中甲、乙）＝ ＝ ．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∠B＝45°
∴∠C+∠B＝180°
∴∠C＝135°
∵DE＝DA，AD⊥CD∴∠E＝45°
∵∠E+∠C＝180°
∴AE∥BC，且AB∥CD
∴四边形ABCE是平行四边形
∴AE＝BC
（2）∵四边形ABCE是平行四边形
∴AB＝CE＝3
∴AD＝DE＝AB﹣CD＝2
∴四边形ABCE的面积＝3×2＝6
22．【解答】解：（1）过F作FH⊥DE于H，
∴∠FHC＝∠FHD＝90°，
∵∠FDC＝30°，DF＝30，
∴FH＝ DF＝15，DH＝ DF＝15 ，
∵∠FCH＝45°，
∴CH＝FH＝15，
∴ ，
∵CE：CD＝1：3，
∴DE＝ CD＝20+20 ，
∵AB＝BC＝DE，
∴AC＝（40+40 ）cm；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，
∵∠ACG＝45°，
∴AG＝ AC＝20 +20 ，
答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为（20 +20 ）cm．五、解答题（满分12分）
23．【解答】解：（1）当0＜x≤20且x为整数时，y＝40；
当20＜x≤60且x为整数时，y＝﹣ x+50；
当x＞60且x为整数时，y＝20；
（2）设所获利润w（元），
当0＜x≤20且x为整数时，y＝40，
∴w＝（40﹣16）×20＝480元，
当0＜x≤20且x为整数时，y＝40，
∴当20＜x≤60且x为整数时，y＝﹣ x+50，
∴w＝（y﹣16）x＝（﹣ x+50﹣16）x，
∴w＝﹣ x2+34x，
∴w＝﹣ （x﹣34）2+578，
∵﹣ ＜0，
∴当x＝34时，w最大，最大值为578元．
答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．
六、解答题（满分12分）
24．【解答】（1）连接OD，
∵正方形ABCD中，CD＝BC，CP＝CP，∠DCP＝∠BCP＝45°，∴△CDP≌△CBP（SAS），
∴∠CDP＝∠CBP，
∵∠BCD＝90°，
∴∠CBP+∠BEC＝90°，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∠OED＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠OED＝∠ODE，
∴∠CDP+∠ODE＝90°，
∴∠ODP＝90°，
∴DP是 O的切线；
（2）∵∠⊙CDP＝∠CBE，
∴tan ，
∴CE＝ ，
∴DE＝2，
∵∠EDF＝90°，
∴EF是 O的直径，
∴∠F+∠⊙DEF＝90°，
∴∠F＝∠CDP，
在Rt△DEF中， ，
∴DF＝4，∴ ＝ ＝2 ，
∴ ，
∵∠F＝∠PDE，∠DPE＝∠FPD，
∴△DPE∽△FPD，
∴ ，
设PE＝x，则PD＝2x，
∴ ，
解得x＝ ，
∴OP＝OE+EP＝ ．
七、解答题（满分12分）
25．【解答】解：（1）结论：∠ECO＝∠OAC．
理由：如图1中，连接OE．
∵∠BCD＝90°，BE＝ED，BO＝OA，
∵CE＝ED＝EB＝ BD，CO＝OA＝OB，
∴∠OCA＝∠A，
∵BE＝ED，BO＝OA，
∴OE∥AD，OE＝ AD，
∴CE＝EO．
∴∠EOC＝∠OCA＝∠ECO，
∴∠ECO＝∠OAC．故答案为：∠OCE＝∠OAC．
（2）如图2中，
∵OC＝OA，DA＝DB，
∴∠A＝∠OCA＝∠ABD，
∴∠COA＝∠ADB，
∵∠MON＝∠ADB，
∴∠AOC＝∠MON，
∴∠COM＝∠AON，
∵∠ECO＝∠OAC，
∴∠MCO＝∠NAO，
∵OC＝OA，
∴△COM≌△AON（ASA），
∴OM＝ON．
如图3﹣1中，当点N在CA的延长线上时，
②
∵∠CAB＝30°＝∠OAN+∠ANO，∠AON＝15°，
∴∠AON＝∠ANO＝15°，∴OA＝AN＝m，
∵△OCM≌△OAN，
∴CM＝AN＝m，
在Rt△BCD中，∵BC＝m，∠CDB＝60°，
∴BD＝ m，
∵BE＝ED，
∴CE＝ BD＝ m，
∴EM＝CM+CE＝m+ m．
如图3﹣2中，当点N在线段AC上时，作OH⊥AC于H．
∵∠AON＝15°，∠CAB＝30°，
∴∠ONH＝15°+30°＝45°，
∴OH＝HN＝ m，
∵AH＝ m，
∴CM＝AN＝ m﹣ m，
∵EC＝ m，
∴EM＝EC﹣CM＝ m﹣（ m﹣ m）＝ m﹣ m，
综上所述，满足条件的EM的值为m+ m或 m﹣ m．
八、解答题（满分14分）26．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝ （x+1）（x﹣5）＝﹣ x2+ x+ ；
（2）抛物线的对称轴为x＝1，则点C（2，2），
设点P（2，m），
将点P、B的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：
函数PB的表达式为：y＝﹣ mx+ … ，
①
∵CE⊥PE，故直线CE表达式中的k值为 ，
将点C的坐标代入一次函数表达式，
同理可得直线CE的表达式为：y＝ … ，
②
联立 并解得：x＝2﹣ ，
①②
故点F（2﹣ ，0），
S△PCF ＝ ×PC×DF＝ （2﹣m）（2﹣ ﹣2）＝5，
解得：m＝5或﹣3（舍去5），
故点P（2，﹣3）；
（3）由（2）确定的点F的坐标得：
CP2＝（2﹣m）2，CF2＝（ ）2+4，PF2＝（ ）2+m2，
当CP＝CF时，即：（2﹣m）＝（ ）2+4，解得：m＝0或 （均舍去），
①
当CP＝PF时，（2﹣m）2＝（ ）2+m2，解得：m＝ 或3（舍去3），
②
当CF＝PF时，同理可得：m＝±2（舍去2），
③故点P（2， ）或（2，﹣2）．
