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2020年宁夏中考数学试卷（教师版）
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个
是符合题目要求的）
1．（3分）下列各式中正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．3ab﹣2ab＝1
C． ＝2a+1 D．a（a﹣3）＝a2﹣3a
【微点】合并同类项；同底数幂的乘法；单项式乘多项式．
【思路】利用整式的计算法则对四个选项一一验证即可得出答案．
【解析】解：A、a3•a2＝a5，所以A错误；
B、3ab﹣2ab＝ab，所以B错误；
C、 ，所以C错误；
D、a（a﹣3）＝a2﹣3a，所以D正确；
故选：D．
【点拨】本题考查整式乘除法的简单计算，注意区分同底数幂相乘，底数不变，指数相
加，而幂的乘方是底数不变，指数相乘，这两个要区分清楚；合并同类项的时候字母部
分不变，系数进行计算，只有当系数计算结果为0时，整体为0．
2．（3分）小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，
并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（ ）
A．中位数是3，众数是2
B．众数是1，平均数是2
C．中位数是2，众数是2
D．中位数是3，平均数是2.5
第 1 页 / 共 23 页【微点】折线统计图；加权平均数；中位数；众数．
【思路】根据统计图中的数据，求出中位数，平均数，众数，即可做出判断．
【解析】解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，
3，4，4，
处在中间位置的一个数为2，因此中位数为2；
平均数为（0×1+1×4+2×6+3×2+4×2）÷15＝2；
众数为2；
故选：C．
【点拨】此题考查了平均数，中位数，众数，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．
3．（3分）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率
是（ ）
A． B． C． D．
【微点】三角形三边关系；列表法与树状图法．
【思路】由树状图找出所有的可能情况组合以及能构成三角形的情况数，即可求出所求
的概率．
【解析】解：画树状图如下：
共有四种可能组合，能组成三角形的结果有2个（2、6、7，4、6、7，），
∴能构成三角形的概率为 ＝ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了树状图法以及三角形的三边关系；如果一个事件有n种可能，而且
这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
4．（3分）如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点
G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（ ）
第 2 页 / 共 23 页A．135° B．120° C．115° D．105°
【微点】平行线的性质．
【思路】过点G作HG∥BC∥EF，则有∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，又因为△DEF和
△ABC都是特殊直角三角形，∠F＝30°，∠C＝45°，可以得到∠E＝60°，∠B＝45°，有
∠EGB＝∠HGE+∠HGB即可得出答案．
【解析】解：过点G作HG∥BC，
∵EF∥BC，
∴GH∥BC∥EF，
∴∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，
∵在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠F＝30°，∠C＝45°
∴∠E＝60°，∠B＝45°
∴∠HGB＝∠B＝45°，∠HGE＝∠E＝60°
∴∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°
故∠EGB的度数是105°，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中平行线的性质为：两
直线平行，内错角相等；三角形内角和定理为：三角形的内角和为180°；其中正确作出
辅助线是解本题的关键．
5．（3分）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC
的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（ ）
第 3 页 / 共 23 页A．13 B．10 C．12 D．5
【微点】三角形中位线定理；菱形的性质．
【思路】连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得EG＝BD，
利用勾股定理求出OD的长，BD＝2OD，即可求出EG．
【解析】解：连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∵DE∥BG，BD∥EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，
∴OB＝OD＝ ＝5，
∴BD＝2OD＝10，
∴EG＝BD＝10；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟
练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
6．（3分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝ ，以点C为圆心画弧与斜
边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
第 4 页 / 共 23 页A．1﹣ B． C．2﹣ D．1+
【微点】等腰直角三角形；切线的性质；扇形面积的计算．
【思路】连接CD，利用切线的性质和等腰直角三角形的性质求出CD的值，再分别计
算出扇形ECF的面积和等腰三角形ACB的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可
得到阴影部分的面积．
【解析】解：连接CD，如图，
∵AB是圆C的切线，
∴CD⊥AB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝ AC＝ × ＝2，
∴CD＝ AB＝1，
∴图中阴影部分的面积＝S△ABC ﹣S扇形ECF
＝ × × ﹣
＝1﹣ ．
故选：A．
【点拨】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，
必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形的面积和等腰直角三角
形的性质．
第 5 页 / 共 23 页7．（3分）如图，函数y ＝x+1与函数y ＝ 的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，
1 2
n）．若y ＞y ，则x的取值范围是（ ）
1 2
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
【微点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【思路】观察函数y ＝x+1与函数 的图象，即可得出当y ＞y 时，相应的自变量x
1 1 2
的取值范围．
【解析】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象
之上时，所对应的x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合
求出不等式的解集是解答此题的关键．
第 6 页 / 共 23 页8．（3分）如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主 ＝a2，S左 ＝a2+a，则S俯
＝（ ）
A．a2+a B．2a2 C．a2+2a+1 D．2a2+a
【微点】几何体的表面积；由三视图判断几何体．
【思路】由主视图和左视图的宽为a，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，即可得出
结论．
【解析】解：∵ ，
∴俯视图的长为a+1，宽为a，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，
进而求得俯视图的长和宽是解答的关键．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：3a2﹣6a+3＝ 3 （ a ﹣ 1 ） 2 ．
【微点】提公因式法与公式法的综合运用．
【思路】首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解析】解：原式＝3（a2﹣2a+1）＝3（a﹣1）2．
故答案为：3（a﹣1）2．
【点拨】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题
关键．
10．（3分）若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 k ＞
﹣ 1 ．
第 7 页 / 共 23 页【微点】抛物线与x轴的交点．
【思路】根据二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，可知判别式△＞0，列
出不等式并解之即可求出k的取值范围．
【解析】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，
∴△＝4﹣4×（﹣1）•k＞0，
解得：k＞﹣1，
故答案为：k＞﹣1．
【点拨】本题考查二次函数的判别式、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别
式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键．
11．（3分）有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张
卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是 ．
【微点】列表法与树状图法．
【思路】列表得出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情
况数的多少即可．
【解析】解：列表得：
4 5 6
4 9 10
5 9 11
6 10 11
共有6种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为4种，
∴两次抽出数字之和为奇数的概率为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了列表法与列树状图法以及概率公式；得到取出的两张卡片上的数字
之和为奇数的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情
况数之比．
12．（3分）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：
“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思
是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，
第 8 页 / 共 23 页锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是 2 6 寸．
【微点】数学常识；垂径定理的应用．
【思路】根据题意可得OE⊥AB，由垂径定理可得 尺＝5寸，设半径
OA＝OE＝r，则OD＝r﹣1，在Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，
解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．
【解析】解：由题意可知OE⊥AB，
∵OE为 O半径，
⊙
∴ 尺＝5寸，
设半径OA＝OE＝r，
∵ED＝1，
∴OD＝r﹣1，
则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，
解得：r＝13，
∴木材直径为26寸；
故答案为：26．
【点拨】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．如果题干中出现弦的垂线或者
弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，
也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解．
13．（3分）如图，直线y＝ x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时
针旋转90°后得到△A O B，则点A 的坐标是 （ 4 ， ） ．
1 1 1
第 9 页 / 共 23 页【微点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转．
【思路】首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，A 的横坐标等于OB，而纵坐标等
1
于OB﹣OA，即可得出答案．
【解析】解：在 中，令x＝0得，y＝4，
令y＝0，得 ，解得x＝ ，
∴A（ ，0），B（0，4），
由旋转可得△AOB≌△A O B，∠ABA ＝90°，
1 1 1
∴∠ABO＝∠A BO ，∠BO A ＝∠AOB＝90°，OA＝O A ＝ ，OB＝O B＝4，
1 1 1 1 1 1 1
∴∠OBO ＝90°，
1
∴O B∥x轴，
1
∴点A 的纵坐标为OB﹣OA的长，即为4 ＝ ；
1
横坐标为O B＝OB＝4，
1
故点A 的坐标是（4， ），
1
故答案为：（4， ）．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质
结合图形进行推理是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A、B为圆心，以大于 AB的长为
半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半
第 10 页 / 共 23 页径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于 EF的长为半径
画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝ 3 2 度．
【微点】线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图．
【思路】由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，根据它们的
性质可得∠A＝∠ABD＝∠CBD，再根据三角形内角和定理即可得解．
【解析】解：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，
∴AD＝BD， ，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，且∠C＝84°，
∴∠A+2∠ABD＝180°﹣∠C，
即3∠A＝180°﹣84°，
∴∠A＝32°．
故答案为：32．
【点拨】本题考查了作图﹣复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和
角平分线的作法．
15．（3分）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，
并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：
（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；
（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；
（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．
若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为 6 ．
【微点】一元一次不等式组的应用．
第 11 页 / 共 23 页【思路】设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b（a，b均为整
数），根据给定的三个条件，即可得出关于a，b的二元一次不等式组，结合a，b均为
整数即可得出b的取值范围，再取其中最大的整数值即可得出结论．
【解析】解：设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b（a，b均
为整数），
依题意，得： ，
∵a，b均为整数
∴4＜b＜7，
∴b最大可以取6．
故答案为：6．
【点拨】本题考查二元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出二元一
次不等式组是解题的关键．
16．（3分）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽
的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方
形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角
边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2
中最大的正方形的面积为 2 7 ．
【微点】数学常识；全等图形；勾股定理的证明．
【思路】根据题意得出a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，图2中大正方形的面积为：（a+b）
2，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b）2即可．
【解析】解：由题意可得在图1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，
图2中大正方形的面积为：（a+b）2，
∵（b﹣a）2＝3
第 12 页 / 共 23 页a2﹣2ab+b2＝3，
∴15﹣2ab＝3
2ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，
故答案为：27．
【点拨】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题
关键．
三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）
17．（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，
1），C（1，1）．
（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A B C ．
2 2 2
【微点】作图﹣轴对称变换；作图﹣位似变换．
【思路】（1）将△ABC的各个点关于x轴的对称点描出，连接即可．
（2）在△ABC同侧和对侧分别找到2OA＝OA ，2OB＝OB ，2OC＝OC 所对应的A ，
2 2 2 2
B ，C 的坐标，连接即可．
2 2
【解析】解：（1）由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，
1），C（1，1），
则△ABC关于x轴成轴对称的△A B C 的坐标为A （1，﹣3），B （4，﹣1），C
1 1 1 1 1 1
（1，﹣1），
连接A C ，A B ，B C
1 1 1 1 1 1
得到△A B C ．
1 1 1
如图所示△A B C 为所求；
1 1 1
（2）由题意知：位似中心是原点，
第 13 页 / 共 23 页则分两种情况：
第一种，△A B C 和△ABC在同一侧
2 2 2
则A （2，6），B （8，2），C （2，2），
2 2 2
连接各点，得△A B C ．
2 2 2
第二种，△A B C 在△ABC的对侧
2 2 2
A （﹣2，﹣6），B （﹣8，﹣2），C （﹣2，﹣2），
2 2 2
连接各点，得△A B C ．
2 2 2
综上所述：如图所示△A B C 为所求；
2 2 2
【点拨】本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、
位似比的概念及应用是解题的关键．
18．（6分）解不等式组： ．
【微点】解一元一次不等式组．
【思路】分别解出两个不等式的解集，然后确定解集的公共部分就可以求出不等式的解
集．
【解析】解：由 得：x≤2，
由 得：x＞﹣1①，
所②以，不等式组的解集是﹣1＜x≤2．
第 14 页 / 共 23 页【点拨】本题考查了不等式组的解法，关键是求出两个不等式的解，然后根据口诀求出
不等式组的解集．
19．（6分）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中a＝ ．
【微点】分式的化简求值．
【思路】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变
形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值．
【解析】解：原式＝
＝
＝
当 时，原式＝ ．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是选择正确的计算方法，对通分、分
解因式、约分等知识点熟练掌握．
20．（6分）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”
活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品60件，B种物品
45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元．
（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；
（2）现要购买A、B两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A种防疫物
品最多购买多少件？
【微点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【思路】（1）设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，根据“如果购买A种
物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，
共需840元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品（600﹣m）件，根据总价＝单价
×购买数量结合总费用不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中
最大的整数值即可得出结论．
【解析】解：（1）设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，
第 15 页 / 共 23 页依题意，得： ，
解得： ．
答：A种防疫物品每件16元，B种防疫物品每件4元．
（2）设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品（600﹣m）件，
依题意，得：16m+4（600﹣m）≤7000，
解得：m≤383 ，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为383．
答：A种防疫物品最多购买383件．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列
出一元一次不等式．
21．（6分）如图，在 ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于
点F．求证：FA＝A▱B．
【微点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【思路】在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS，ASA，
SSS）来证明△AFE≌△DCE，根据全等的性质再证明AF＝DC，从而证明AF＝AB．
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC．
∴∠FEA＝∠DEC，∠F＝∠ECD．
又∵EA＝ED，
∴△AFE≌△DCE．
∴AF＝DC．
第 16 页 / 共 23 页∴AF＝AB．
【点拨】本题考查平行四边形的性质及全等三角形等知识，是比较基础的证明题．
22．（6分）某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节
水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表：
日用水量/m3 0≤x＜0.1 0.1≤x＜0.2 0.2≤x＜0.3 0.3≤x＜0.4 0.4≤x＜0.5
频数 0 4 2 4 10
使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：
日用水量/m3 0≤x＜0.1 0.1≤x＜0.2 0.2≤x＜0.3 0.3≤x＜0.4
频数 2 6 8 4
（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水
量；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算）
【微点】用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数．
【思路】（1）取组中值，运用加权平均数分别计算出未使用节水龙头20天的日平均用
水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量即可；
（2）先计算平均一天节水量，再乘以365即可得到结果．
【解析】解：（1）未使用节水龙头20天的日平均用水量为： ×
（0×0.05+4×0.15+2×0.25+4×0.35+10×0.45）＝0.35（m3），
使用了节水龙头20天的日平均用水量为： ×（2×0.05+6×0.15+8×0.25+4×0.35）＝0.22
（m3）；
（2）365×（0.35﹣0.22）＝365×0.13＝47.45（m3），
答：估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省47.45m3水．
【点拨】此题主要考查节水量的估计值的求法，考查加权平均数等基础知识，考查运算
求解能力，是基础题．
四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）
23．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的 O交
AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB． ⊙
（1）求证：AE是 O的切线；
⊙
第 17 页 / 共 23 页（2）连接DE，若∠A＝30°，求 ．
【微点】圆周角定理；切线的判定与性质．
【思路】（1）连接OE，证明OE∥BC，得∠AEO＝∠B＝90°，即可得出结论；
（2）连接DE，先证明△DCE∽△ECB，得出 ＝ ，易证∠ACB＝60°，由角平分线
定义得∠DCE＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°，由此可得 的值，即可得出结果．
【解析】（1）证明：连接OE，如图1所示：
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
又∵OE＝OC，
∴∠ACE＝∠OEC，
∴∠BCE＝∠OEC，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠B，
又∵∠B＝90°，
∴∠AEO＝90°，
即OE⊥AE，
∵OE为 O的半径，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解⊙：连接DE，如图2所示：
∵CD是 O的直径，
∴∠DEC⊙＝90°，
∴∠DEC＝∠B，
又∵∠DCE＝∠ECB，
∴△DCE∽△ECB，
第 18 页 / 共 23 页∴ ＝ ，
∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠DCE＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°，
∴ ＝cos∠DCE＝cos30°＝ ，
∴ ＝ ．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义、切线的判定、圆周角定理、
相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识；结合题意灵活运用知识点是解题关键．
24．（8分）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步
行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y
（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．
（1）小丽与小明出发 3 0 min相遇；
（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．
求小丽和小明步行的速度各是多少？
①计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．
②
第 19 页 / 共 23 页【微点】一次函数的应用．
【思路】（1）直接从图象获取信息即可；
（2） 设小丽步行的速度为V m/min，小明步行的速度为V m/min，且V ＞V ，根据图
1 2 2 1
象和题①意列出方程组，求解即可；
设点C的坐标为（x，y），根据题意列出方程解出x，再根据图象求出y即可，再结
②合两人的运动过程解释点C的意义即可．
【解析】解：（1）由图象可得小丽与小明出发30min相遇，
故答案为：30；
（2） 设小丽步行的速度为V m/min，小明步行的速度为V m/min，且V ＞V ，
1 2 2 1
①
则 ，
解得： ，
答：小丽步行的速度为80m/min，小明步行的速度为100m/min；
设点C的坐标为（x，y），
②则可得方程（100+80）（x﹣30）+80（67.5﹣x）＝5400，
解得x＝54，y＝（100+80）（54﹣30）＝4320m，
∴点C（54，4320），
点C表示：两人出发54min时，小明到达甲地，此时两人相距4320m．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，从图象获
取信息是解题关键．
25．（10分）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与
脚长（毫米）的对应关系如表1：
鞋号（正 22 23 24 25 26 27 …
整数）
脚长（毫 160±2 165±2 170±2 175±2 180±2 185±2 …
第 20 页 / 共 23 页米）
为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据b 定义
n
为[b ]如表2：
n
序号n 1 2 3 4 5 6 …
鞋号a 22 23 24 25 26 27 …
n
脚长b 160±2 165±2 170±2 175±2 180±2 185±2 …
n
脚长[b ] 160 165 170 175 180 185 …
n
定义：对于任意正整数m、n，其中m＞2．若[b ]＝m，则m﹣2≤b ≤m+2．
n n
如：[b ]＝175表示175﹣2≤b ≤175+2，即173≤b ≤177．
4 4 4
（1）通过观察表2，猜想出a 与序号n之间的关系式，[b ]与序号n之间的关系式；
n n
（2）用含a 的代数式表示[b ]；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；
n n
（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？
【微点】一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用．
【思路】（1）观察表格里的数据，可直接得出结论；
（2）把n用含有a 的式子表示出来，代入[b ]＝5n+155化简整理，再计算鞋号为42对
n n
应的n的值，代入[b ]＝5n+155求解即可；
n
（3）首先计算[b ]＝270，再代入[b ]＝5a +50求出a 的值即可．
n n n n
【解析】解：（1）a ＝21+n；
n
[b ]＝160+5（n﹣1）＝5n+155；
n
（2）由a ＝21+n与[b ]＝5n+155解得：[b ]＝5a +50，
n n n n
把a ＝42代入a ＝21+n得n＝21，
n n
所以[b ]＝5×42+50＝260，
21
则：260﹣2≤b ≤260+2，即258≤b ≤262．
21 21
答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是258mm～262mm；
（3）根据[b ]＝5n+155可知[b ]能被5整除，
n n
∵270﹣2≤271≤270+2，
∴[b ]＝270，
n
将[b ]＝270代入[b ]＝5a +50中得a ＝44．
n n n n
故应购买44号的鞋．
【点拨】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，读懂题意是
解题的关键．
第 21 页 / 共 23 页26．（10分）如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF（∠B＝∠E
＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移
动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与
DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF＝ ，设三角板ABC移
动时间为x秒．
（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；
（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
【微点】二次函数的最值；全等三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【思路】（1）解直角三角形ABC求得EF＝BC＝3，由题意可知CF＝x，可求 ，
，根据三角形面积公式即可求出结论；
（2）根据“S重叠 ＝S△ABC ﹣S△AMQ ﹣S△BPF ”列出函数关系式，通过配方求解即可．
【解析】解：（1）解：因为Rt△ABC中∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵∠E＝30°，
∴∠EQC＝∠AQM＝60°，
∴△AMQ为等边三角形，
过点M作MN⊥AQ，垂足为点N．
在Rt△ABC中， ，
∴EF＝BC＝3，
根据题意可知CF＝x，
第 22 页 / 共 23 页∴CE＝EF﹣CF＝3﹣x ，
∴ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
（2）由（1）知BF＝CE＝3﹣x ，
∴ ＝
＝ ，
所以当x＝2时，重叠部分面积最大，最大面积是 ．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直
角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用
分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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