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2020年安徽省中考数学试卷
一、选择题
1．下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2
2．计算（﹣a）6÷a3的结果是（ ）
A．﹣a3 B．﹣a2 C．a3 D．a2
3．下面四个几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．安徽省计划到2022年建成54700000亩高标准农田，其中54700000用科学记数法表示为（
）
A．5.47×108 B．0.547×108 C．547×105 D．5.47×107
5．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+1＝2x B．x2+1＝0 C．x2﹣2x＝3 D．x2﹣2x＝0
6．冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，
11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ）
A．众数是11 B．平均数是12 C．方差是 D．中位数是13
7．已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（
）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（2，3） D．（3，4）
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA＝ ，则BD的
长度为（ ）A． B． C． D．4
9．已知点A，B，C在 O上，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若半径OB平分弦⊙AC，则四边形OABC是平行四边形
B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120°
C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB
D．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC
10．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，
点C，E重合．现将△ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，
设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为
（ ）
A．
B．
C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．计算： ﹣1＝ ．
12．分解因式：ab2﹣a＝ ．
13．如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y
＝ 的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形
ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为 ．
14．在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折
叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，
此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：
（1）∠PAQ的大小为 °；
（2）当四边形APCD是平行四边形时， 的值为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解不等式： ＞1．
16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交
点）为端点的线段AB，线段MN在网格线上．
（1）画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1（点A1，B1分别为A，B的对应
点）；
（2）将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2，画出线段B1A2．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．观察以下等式：
第1个等式： ×（1+ ）＝2﹣ ，
第2个等式： ×（1+ ）＝2﹣ ，
第3个等式： ×（1+ ）＝2﹣ ，
第4个等式： ×（1+ ）＝2﹣ ．
第5个等式： ×（1+ ）＝2﹣ ．
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
18．如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C
的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直
线上）．
（参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．）五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总
额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．
（1）设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示
2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；
时间 销售总额（元） 线上销售额（元） 线下销售额（元）
2019年4月份 a x a﹣x
2020年4月份 1.1a 1.43x
（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
20．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相
交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．
（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．
六、（本题满分12分）
21．某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的
喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问
卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为 ，扇形统计图中“C”对应扇形的
圆心角的大小为 °；
（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
七、（本题满分12分）
22．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线
y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴
交点纵坐标的最大值．
八、（本题满分14分）
23．如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点
G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝ AG．参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，
其中只有一个是符合题目要求的．
1．下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反
而小，可得比﹣2小的数是﹣3．
解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣3＜﹣2．
故选：A．
2．计算（﹣a）6÷a3的结果是（ ）
A．﹣a3 B．﹣a2 C．a3 D．a2
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
解：原式＝a6÷a3＝a3．
故选：C．
3．下面四个几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．
解：A、主视图是圆，故A不符合题意；
B、主视图是三角形，故B符合题意；
C、主视图是矩形，故C不符合题意；
D、主视图是正方形，故D不符合题意；
故选：B．
4．安徽省计划到2022年建成54700000亩高标准农田，其中54700000用科学记数法表示为（）
A．5.47×108 B．0.547×108 C．547×105 D．5.47×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值
时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：54700000用科学记数法表示为：5.47×107．
故选：D．
5．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+1＝2x B．x2+1＝0 C．x2﹣2x＝3 D．x2﹣2x＝0
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．
解：A、△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；
B、△＝0﹣4＝﹣4＜0，没有实数根；
C、△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等实数根；
D、△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根．
故选：A．
6．冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，
11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ）
A．众数是11 B．平均数是12 C．方差是 D．中位数是13
【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的计算方法分别计算这组数据的平均数、众数、中
位数、方差，最后做出选择．
解：数据11，10，11，13，11，13，15中，11出现的次数最多是3次，因此众数是11，于是A
选项不符合题意；
将这7个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是11，因此中位数是11，于是D符
合题意；
＝（11+10+11+13+11+13+15）÷7＝12，即平均数是12，于是选项B不符合题意；
S2＝ [（10﹣12）2+（11﹣12）2×3+（13﹣12）2×2+（15﹣12）2]＝ ，因此方差为 ，于
是选项C不符合题意；
故选：D．
7．已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（
）A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（2，3） D．（3，4）
【分析】由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而
减小即可确定结论．
解：A、当点A的坐标为（﹣1，2）时，﹣k+3＝3，
解得：k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大，选项A不符合题意；
B、当点A的坐标为（1，﹣2）时，k+3＝﹣2，
解得：k＝﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，选项B符合题意；
C、当点A的坐标为（2，3）时，2k+3＝3，
解得：k＝0，选项C不符合题意；
D、当点A的坐标为（3，4）时，3k+3＝4，
解得：k＝ ＞0，
∴y随x的增大而增大，选项D不符合题意．
故选：B．
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA＝ ，则BD
的长度为（ ）
A． B． C． D．4
【分析】在△ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三
角函数求得BD．
解：∵∠C＝90°，AC＝4，cosA＝ ，
∴AB＝ ，
∴ ，∵∠DBC＝∠A．
∴cos∠DBC＝cos∠A＝ ，
∴ ，
故选：C．
9．已知点A，B，C在 O上，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若半径OB平分弦⊙AC，则四边形OABC是平行四边形
B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120°
C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB
D．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC
【分析】根据垂径定理，平行四边形的性质判断即可．
解：A、如图，
若半径OB平分弦AC，则四边形OABC不一定是平行四边形；原命题是假命题；
B、若四边形OABC是平行四边形，
则AB＝OC，OA＝BC，
∵OA＝OB＝OC，
∴AB＝OA＝OB＝BC＝OC，
∴∠ABO＝∠OBC＝60°，
∴∠ABC＝120°，是真命题；
C、如图，
若∠ABC＝120°，则弦AC不平分半径OB，原命题是假命题；
D、如图，若弦AC平分半径OB，则半径OB不一定平分弦AC，原命题是假命题；
故选：B．
10．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，
点C，E重合．现将△ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，
设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分为0＜x≤2、2＜x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．
解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．
∵△ABC和△DEF均为等边三角形，
∴△GEJ为等边三角形．
∴GH＝ EJ＝ x，
∴y＝ EJ•GH＝ x2．
当x＝2时，y＝ ，且抛物线的开口向上．
如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．
y＝ FJ•GH＝ （4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．计算： ﹣1＝ 2 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
解：原式＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
12．分解因式：ab2﹣a＝ a （ b + 1 ）（ b ﹣ 1 ） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
解：原式＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1），
故答案为：a（b+1）（b﹣1）
13．如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y＝ 的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形
ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为 2 ．
【分析】分别求出矩形ODCE与△OAB的面积，即可求解．
解：一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，令x＝0，则y＝k，
令y＝0，则x＝﹣k，
故点A、B的坐标分别为（﹣k，0）、（0，k），
则△OAB的面积＝ OA•OB＝ k2，而矩形ODCE的面积为k，
则 k2＝k，解得：k＝0（舍去）或2，
故答案为2．
14．在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折
叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，
此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：
（1）∠PAQ的大小为 3 0 °；
（2）当四边形APCD是平行四边形时， 的值为 ．
【分析】（1）由折叠的性质可得∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C＝
180°，∠AQP＝90°，可证AD∥BC，由平行线的性质可得∠DAB＝90°，即可求解；
（2）由平行四边形和折叠的性质可得AR＝PR，由直角三角形的性质可得AP＝2PB＝
2QR，AB＝ PB，即可求解．
解：（1）由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，
∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，
∵∠QRA+∠QRP＝180°，
∴∠D+∠C＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠DAB＝180°，
∵∠DQR+∠CQR＝180°，
∴∠DQA+∠CQP＝90°，
∴∠AQP＝90°，
∴∠B＝∠AQP＝90°，
∴∠DAB＝90°，
∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°，
故答案为：30；
（2）由折叠的性质可得：AD＝AR，CP＝PR，
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AD＝PC，
∴AR＝PR，
又∵∠AQP＝90°，
∴QR＝ AP，
∵∠PAB＝30°，∠B＝90°，
∴AP＝2PB，AB＝ PB，
∴PB＝QR，
∴ ＝ ，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解不等式： ＞1．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．
解：去分母，得：2x﹣1＞2，
移项，得：2x＞2+1，
合并，得：2x＞3，
系数化为1，得：x＞ ．
16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交
点）为端点的线段AB，线段MN在网格线上．
（1）画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1（点A1，B1分别为A，B的对应
点）；
（2）将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2，画出线段B1A2．
【分析】（1）分别作出A，B的对应点A1，B2即可．
（2）作出点A1的对应点A2即可．
解：（1）如图线段A1B1即为所求．
（2）如图，线段B1A2即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．观察以下等式：第1个等式： ×（1+ ）＝2﹣ ，
第2个等式： ×（1+ ）＝2﹣ ，
第3个等式： ×（1+ ）＝2﹣ ，
第4个等式： ×（1+ ）＝2﹣ ．
第5个等式： ×（1+ ）＝2﹣ ．
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： × （ 1+ ）＝ 2 ﹣ ；
（2）写出你猜想的第n个等式： ×（ 1+ ）＝ 2 ﹣ （用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的
值，进而得到左右相等便可．
解：（1）第6个等式： ×（1+ ）＝2﹣ ；
（2）猜想的第n个等式： ×（1+ ）＝2﹣ ．
证明：∵左边＝ × ＝ ＝2﹣ ＝右边，
∴等式成立．
故答案为： ×（1+ ）＝2﹣ ； ×（1+ ）＝2﹣ ．
18．如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C
的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖
直线上）．
（参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．）【分析】根据三角函数的定义和直角三角形的性质解答即可．
解：由题意，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝ ，
∴tan42.0°＝ ≈0.9，
∴AD≈0.9BD，
在Rt△BCD中，tan∠CBD＝ ，
∴tan36.9°＝ ≈0.75，
∴CD≈0.75BD，
∵AC＝AD﹣CD，
∴15＝0.15BD，
∴BD＝100米，
∴CD＝0.75BD＝75（米），
答：山高CD为75米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总
额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．
（1）设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示
2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；
时间 销售总额（元） 线上销售额（元） 线下销售额（元）
2019年4月份 a x a﹣x
2020年4月份 1.1a 1.43x 1.0 4 （ a ﹣ x ）
（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
【分析】（1）由线下销售额的增长率，即可用含a，x的代数式表示出2020年4月份的线下
销售额；
（2）根据2020年4月份的销售总额＝线上销售额+线下销售额，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值（用含a的代数式表示），再将其代入 中即可求出结
论．
解：（1）∵与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长4%，
∴该超市2020年4月份线下销售额为1.04（a﹣x）元．
故答案为：1.04（a﹣x）．
（2）依题意，得：1.1a＝1.43x+1.04（a﹣x），
解得：x＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝0.2．
答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2．
20．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相
交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．
（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根据全等三角形的判定定理即可
得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠BFE，根据切线的性质得到∠ABE＝90°，根据三
角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△CBA与Rt△DAB中， ，
∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；
（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，
∴∠E＝∠BFE，∵BE是半圆O所在圆的切线，
∴∠ABE＝90°，
∴∠E+∠BAE＝90°，
由（1）知∠D＝90°，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠AFD＝∠E，
∴∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴AC平分∠DAB．
六、（本题满分12分）
21．某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的
喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问
卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为 6 0 ，扇形统计图中“C”对应扇形的圆
心角的大小为 10 8 °；
（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
【分析】（1）用被调查的职工人数乘以最喜欢A套餐人数所占百分比即可得其人数；再由
四种套餐人数之和等于被调查的人数求出C对应人数，继而用360°乘以最喜欢C套餐人
数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以样本中最喜欢B套餐的人数所占比例即可得；
（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，利用概率公式求解可得
答案．解：（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为240×25%＝60（人），
则最喜欢C套餐的人数为240﹣（60+84+24）＝72（人），
∴扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为360°× ＝108°，
故答案为：60、108；
（2）估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为960× ＝336（人）；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中甲被选到的结果数为6，
∴甲被选到的概率为 ＝ ．
七、（本题满分12分）
22．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线
y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴
交点纵坐标的最大值．
【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m
上；
（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可
判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；
（3）设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为（ ， +q），根据题意得出 +q
＝ +1，由抛物线y＝﹣x+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q＝ ﹣ ﹣1＝﹣（p﹣1）2+ ，从而得出q的最大值．
解：（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：
∵直线y＝x+m经过点A（1，2），
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得 ，
解得a＝﹣1，b＝2；
（3）由（2）知，抛物线为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为（ ， +q），
∵顶点仍在直线y＝x+1上，
∴ +q＝ +1，
∴q＝ ﹣ ﹣1，
∵抛物线y＝﹣x+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q＝ ﹣ ﹣1＝﹣ （p﹣1）2+ ，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为 ．
八、（本题满分14分）
23．如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于
点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝ AG．【分析】（1）证明△AEF≌△ADB（SAS），得出∠AEF＝∠ADB，证得∠EGB＝90°，则结论
得出；
（2）证明△AEF∽△DCF，得出 ，即AE•DF＝AF•DC，设AE＝AD＝a（a＞0），则
有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，解方程即可得出答案；
（3）在线段EG上取点P，使得EP＝DG，证明△AEP≌△ADG（SAS），得出AP＝AG，
∠EAP＝∠DAG，证得△PAG为等腰直角三角形，可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，
∴∠EAF＝∠DAB＝90°，
又∵AE＝AD，AF＝AB，
∴△AEF≌△ADB（SAS），
∴∠AEF＝∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，
即∠EGB＝90°，
故BD⊥EC，
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CD，
∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，
∴△AEF∽△DCF，
∴ ，
即AE•DF＝AF•DC，
设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，
解得 或 （舍去），
∴AE＝ ．（3）如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，
在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，
∴△AEP≌△ADG（SAS），
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，
∴△PAG为等腰直角三角形，
∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝ AG．
