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2020年广西南宁市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（3分）下列实数是无理数的是（ ）
A． B．1 C．0 D．﹣5
2．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）2020年2月至5月，由广西教育厅主办，南宁市教育局承办的广西中小学“空中课
堂”是同期全国服务中小学学科最齐、学段最全、上线最早的线上学习课程，深受广大师
生欢迎．其中某节数学课的点击观看次数约889000次，则数据889000用科学记数法表示
为（ ）
A．88.9×103 B．88.9×104 C．8.89×105 D．8.89×106
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2x2+x2＝2x4 B．x3•x3＝2x3 C．（x5）2＝x7 D．2x7÷x5＝2x2
5．（3分）以下调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．检测长征运载火箭的零部件质量情况
B．了解全国中小学生课外阅读情况
C．调查某批次汽车的抗撞击能力
D．检测某城市的空气质量
6．（3分）一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
7．（3分）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度
数为（ ）
第1页（共23页）A．60° B．65° C．70° D．75°
8．（3分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路
径，则它获得食物的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别
在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
10．（3分）甲、乙两地相距600km，提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前
的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20min，则可列方程为（ ）
A． ﹣ ＝ B． ＝ ﹣
C． ﹣20＝ D． ＝ ﹣20
11．（3分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意
思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推
开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则
AB的长是（ ）
第2页（共23页）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
12．（3分）如图，点A，B是直线y＝x上的两点，过A，B两点分别作x轴的平行线交双曲线y
＝ （x＞0）于点C，D．若AC＝ BD，则3OD2﹣OC2的值为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
13．（3分）如图，在数轴上表示的x的取值范围是 ．
14．（3分）计算： ﹣ ＝ ．
15．（3分）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 40 100 200 400 1000
“射中9环以上”的次数 15 33 78 158 231 801
“射中9环以上”的频率 0.75 0.83 0.78 0.79 0.80 0.80
（结果保留小数点后两位）
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是 （结
果保留小数点后一位）．
16．（3分）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位
（含左、右区域），往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区
第3页（共23页）一共有10排，则该礼堂的座位总数是 ．
17．（3分）以原点为中心，把点M （3，4）逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为 ．
18．（3分）如图，在边长为2 的菱形ABCD中，∠C＝60°，点E，F分别是AB，AD上的动点，
且AE＝DF，DE与BF交于点P．当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为
．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：﹣（﹣1）+32÷（1﹣4）×2．
20．（6分）先化简，再求值： ÷（x﹣ ），其中x＝3．
21．（8分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
22．（8分）小手拉大手，共创文明城．某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知
识的知晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取20份答卷，并统计成绩（成绩得分
用x表示，单位：分），收集数据如下：
90 82 99 86 98 96 90 100 89 83 87 88 81 90 93 100 100 96 92 100
整理数据：
80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100
3 4 a 8
第4页（共23页）分析数据：
平均分 中位数 众数
92 b c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表格中a，b，c的值；
（2）该校有1600名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于90分的人数是多少？
（3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义．
23．（8分）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着
点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20 nmile到点C处时突然发生
事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事
故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？
24．（10分）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人
公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和5台B型机器人同
时工作2h共分拣垃圾3.6吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5h共分拣垃圾
8吨．
（1）1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？
（2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人
每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买A型机器人a台（10≤a≤45），B型机器人b台，请
用含a的代数式表示b；
（3）机器人公司的报价如下表：
型号 原价 购买数量少于30台 购买数量不少于30台
A型 20万元/台 原价购买 打九折
第5页（共23页）B型 12万元/台 原价购买 打八折
在（2）的条件下，设购买总费用为w万元，问如何购买使得总费用w最少？请说明理由．
25．（10分）如图，在△ACE中，以AC为直径的 O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝
∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，⊙PB与 O相切于点B．
（1）求证：AP是 O的切线； ⊙
（2）连接AB交O⊙P于点F，求证：△FAD∽△DAE；
（3）若tan∠OAF＝ ，求 的值．
26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线l ：y＝x+1与直线l ：x＝﹣2相交于点D，点A
1 2
是直线l 上的动点，过点A作AB⊥l 于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A
2 1
的纵坐标为t，△ABC的面积为s．
（1）当t＝2时，请直接写出点B的坐标；
（2）s关于t的函数解析式为s＝ ，其图象如图2所示，结
合图1、2的信息，求出a与b的值；
（3）在l 上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和
2
△ABC的面积；若不存在，请说明理由．
第6页（共23页）2020年广西南宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．【分析】无限不循环小数是无理数，而1，0，﹣5是整数，也是有理数，因此 是无理数．
【解答】解：无理数是无限不循环小数，而1，0，﹣5是有理数，
因此 是无理数，
故选：A．
【点评】本题考查无理数的意义，准确把握无理数的意义是正确判断的前提．
2．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那
么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是
易错点，由于889000有6位，所以可以确定n＝6﹣1＝5．
【解答】解：889000＝8.89×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
4．【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别
计算得出答案．
【解答】解：A、2x2+x2＝3x2，故此选项错误；
B、x3•x3＝x6，故此选项错误；
C、（x5）2＝x10，故此选项错误；
D、2x7÷x5＝2x2，正确．
故选：D．
第7页（共23页）【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．【分析】利用全面调查、抽样调查的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．
【解答】解：检测长征运载火箭的零部件质量情况适合用全面调查，
而“了解全国中小学生课外阅读情况”“调查某批次汽车的抗撞击能力”“检测某城市
的空气质量”则不适合用全面调查，宜采取抽样调查，
故选：A．
【点评】本题考查全面调查、抽样调查的意义，在具体实际的问题情境中理解全面调查、抽
样调查的意义是正确判断的前提．
6．【分析】先根据方程的一般式得出a、b、c的值，再计算出△＝b2﹣4ac的值，继而利用一元
二次方程的根的情况与判别式的值之间的关系可得答案．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0，
∴有两个相等的实数根，
故选：B．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac
有如下关系：
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
①当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
②当△＜0时，方程无实数根．
③上面的结论反过来也成立．
7．【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ACB的度数，观察作图过程可得，进而可得∠DCE
的度数．
【解答】解：∵BA＝BC，∠B＝80°，
∴∠A＝∠ACB＝ （180°﹣80°）＝50°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝130°，
观察作图过程可知：
CE平分∠ACD，
∴∠DCE＝ ACD＝65°，
∴∠DCE的度数为65°
故选：B．
第8页（共23页）【点评】本题考查了作图﹣基本作图、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等腰三
角形的性质．
8．【分析】由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选
择一条路径，观察图可得：它有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求
解即可求得答案．
【解答】解：由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机
的选择一条路径，
观察图可得：第一次选择，它有3种路径；第二次选择，每次又都有2种路径；
两次共6种等可能结果，其中获得食物的有2种结果，
∴获得食物的概率是 ＝ ，
故选：C．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总
情况数之比．
9．【分析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，易证四边形EHDN是矩形，则DN＝x，根据正
方形的性质得出EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴ ＝ （相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴ ＝ ，
解得：x＝40，
第9页（共23页）∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相
似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似
三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．
10．【分析】直接利用总时间的差值进而得出等式求出答案．
【解答】解：因为提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，所以提
速后动车的速度为1.2vkm/h，
根据题意可得： ﹣ ＝ ．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶时间是解题关键．
11．【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r，
则AB＝2r，DE＝10，OE＝ CD＝1，AE＝r﹣1，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
12．【分析】延长CA交y轴于E，延长BD交y轴于F．设A、B的横坐标分别是a，b，点A、B为
直线y＝x上的两点，A的坐标是（a，a），B的坐标是（b，b）．则AE＝OE＝a，BF＝OF＝b．
第10页（共23页）根据AC＝ BD得到a，b的关系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子从
而求解．
【解答】解：延长CA交y轴于E，延长BD交y轴于F．
设A、B的横坐标分别是a，b，
∵点A、B为直线y＝x上的两点，
∴A的坐标是（a，a），B的坐标是（b，b）．则AE＝OE＝a，BF＝OF＝b．
∵C、D两点在交双曲线y＝ （x＞0）上，则CE＝ ，DF＝ ．
∴BD＝BF﹣DF＝b﹣ ，AC＝ ﹣a．
又∵AC＝ BD，
∴ ﹣a＝ （b﹣ ），
两边平方得：a2+ ﹣2＝3（b2+ ﹣2），即a2+ ＝3（b2+ ）﹣4，
在直角△ODF中，OD2＝OF2+DF2＝b2+ ，同理OC2＝a2+ ，
∴3OD2﹣OC2＝3（b2+ ）﹣（a2+ ）＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，正确利用AC
＝ BD得到a，b的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
13．【分析】根据“小于向左，大于向右及边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心
点”求解可得．
【解答】解：在数轴上表示的x的取值范围是x＜1，
故答案为：x＜1．
第11页（共23页）【点评】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意
“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空
心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
14．【分析】先化简 ＝2 ，再合并同类二次根式即可．
【解答】解： ＝2 ﹣ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型．
15．【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越
来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值就是这个事件的概率．
【解答】解：根据表格数据可知：
根据频率稳定在0.8，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8．
故答案为：0.8．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是理解当试验的所有可能结果不
是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来
估计概率．
16．【分析】根据题意可得前区最后一排座位数为：20+2（8﹣1）＝34，所以前区座位数为：
（20+34）×8÷2＝216，后区的座位数为：10×34＝340，进而可得该礼堂的座位总数．
【解答】解：因为前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），
往后每排增加两个座位，
所以前区最后一排座位数为：20+2（8﹣1）＝34，
所以前区座位数为：（20+34）×8÷2＝216，
以为前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，
所以后区的座位数为：10×34＝340，
所以该礼堂的座位总数是216+340＝556个．
故答案为：556个．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化性质规律．
17．【分析】如图，根据点M （3，4）逆时针旋转90°得到点N，则可得点N的坐标为（﹣4，3）．
【解答】解：如图，∵点M （3，4）逆时针旋转90°得到点N，
第12页（共23页）则点N的坐标为（﹣4，3）．
故答案为：（﹣4，3）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
18．【分析】如图，作△CBD的外接圆 O，连接OB，OD．利用全等三角形的性质证明∠DPB
＝120°，推出B，C，D，P四点共⊙圆，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，作△CBD的外接圆 O，连接OB，OD，
⊙
∵四边形ABCD是菱形，
∵∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴△ABD，△BCD都是等边三角形，
∴BD＝AD，∠BDF＝∠DAE，
∵DF＝AE，
∴△BDF≌△DAE（SAS），
∴∠DBF＝∠ADE，
∵∠ADE+∠BDE＝60°，
∴∠DBF+∠BDP＝60°，
∴∠BPD＝120°，
∵∠C＝60°，
∴∠C+∠DPB＝180°，
∴B，C，D，P四点共圆，
第13页（共23页）由BC＝CD＝BD＝2 ，可得OB＝OD＝2，
∵∠BOD＝2∠C＝120°，
∴点P的运动的路径的长＝ ＝ ．
π
故答案为 ．
π
【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是
正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝1+9÷（﹣3）×2
＝1﹣3×2
＝1﹣6
＝﹣5．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20．【分析】先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，最后约分即可化简原式，继而将
x的值代入计算可得答案．
【解答】解：原式＝ ÷（ ﹣ ）
＝ ÷
＝ •
＝ ，
当x＝3时，原式＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法
则．
21．【分析】（1）证出BC＝EF，由SSS即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出∠B＝∠DEF，证出AB∥DE，由AB＝DE，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
第14页（共23页）∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE，
又∵AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定等知
识；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
22．【分析】（1）将数据从小到大重新排列，再根据中位数和众数的概念求解可得；
（2）用总人数乘以样本中不低于90分的人数占被调查人数的比例即可得；
（3）从众数和中位数的意义求解可得．
【解答】解：（1）将这组数据重新排列为：81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96，
96，98，99，100，100，100，100，
∴a＝5，b＝ ＝91，c＝100；
（2）估计成绩不低于90分的人数是1600× ＝1040（人）；
（3）中位数，
在被调查的20名学生中，中位数为91分，有一半的人分数都是在91分以上．
【点评】考查中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点
是解决问题的前提和关键．
23．【分析】（1）过B作PM⊥AB于C，解直角三角形即可得到结论；
（2）在Rt△BCM中，解直角三角形求得∠CBM＝60°，即可求得∠CBG＝45°，BC＝40
nmile，即可得到结论．
【解答】解：（1）过B作BM⊥AC于M，
由题意可知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°，
在Rt△ABM中，∵∠BAM＝45°，AB＝40nmile，
∴BM＝AM＝ AB＝20 nmile，
第15页（共23页）∴渔船航行20 nmile距离小岛B最近；
（2）∵BM＝20 nmile，MC＝20 nmile，
∴tan∠MBC＝ ＝ ＝ ，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∵∠CBM＝60°，BM＝20 nmile，
∴BC＝ ＝2BM＝40 nmile，
故救援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是
40 nmile．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一
般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
24．【分析】（1）1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y吨，根据题意
列出方程即可求出答案．
（2）根据题意列出方程即可求出答案．
（3）根据a的取值，求出w与a的函数关系，从而求出w的最小值．
【解答】解：（1）1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y吨，
由题意可知： ，
解得： ，
答：1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾0.4吨和0.2吨．
（2）由题意可知：0.4a+0.2b＝20，
∴b＝100﹣2a（10≤a≤45）．
第16页（共23页）（3）当10≤a＜30时，
此时40≤b≤80，
∴w＝20×a+0.8×12（100﹣2a）＝0.8a+960，
当a＝10时，此时w有最小值，w＝968，
当30≤a≤35时，
此时30≤b≤40，
∴w＝0.9×20a+0.8×12（100﹣2a）＝﹣1.2a+960，
当a＝35时，此时w有最小值，w＝918，
当35＜a≤45时，
此时10≤b＜30，
∴w＝0.9×20a+12（100﹣2a）＝﹣6a+1200
当a＝45时，
w有最小值，此时w＝930，
答：选购A型号机器人35台时，总费用w最少，此时需要918万元．
【点评】本题考查一次函数，解题的关键正确找出题中的等量关系，本题属于中等题型．
25．【分析】（1）由AC为直径得∠ADC＝90°，再由直角三角形两锐角互余和已知条件得
∠DAC+∠DAE＝90°，进而结出结论；
（2）由切线长定理得PA＝PB，∠OPA＝∠OPB，进而证明△PAD≌△PBD，得AD＝BD，得
∠BAD＝∠BDA，再由圆周角定理得∠DAF＝∠EAD，进而便可得：△FAD∽△DAE；
（3）证明△AOF∽△POA，得AP＝2OA，再△AFD∽△CAE，求得 的值使得 的值．
【解答】解：（1）∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠DAE＝∠ACE，
∴∠DAC+∠DAE＝90°，
即∠CAE＝90°，
∴AP是 O的切线；
（2）连⊙接DB，如图1，
∵PA和PB都是切线，
∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB，PO⊥AB，
∵PD＝PD，
第17页（共23页）∴△DPA≌△DPB（SAS），
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD，
∵∠ACD＝∠ABD，
又∠DAE＝∠ACE，
∴∠DAF＝∠DAF，
∵AC是直径，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠AFD＝90°，
∴△FAD∽△DAE；
（3）∵∠AFO＝∠OAP＝90°，∠AOF＝∠POA，
∴△AOF∽△POA，
∴ ，
∴ ，
∴PA＝2AO＝AC，
∵∠AFD＝∠CAE＝90°，∠DAF＝∠ABD＝∠ACE，
∴△AFD∽△CAE，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
不妨设OF＝x，则AF＝2x，
∴ ，
第18页（共23页）∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆周角定理，切线的性质与判定，切线长定理，
相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形的应用，第（3）小题关键在证明相似
三角形．难度较大，一般为中考压轴题．
26．【分析】（1）先根据t＝2可得点A（﹣2，2），因为B在直线l 上，所以设B（x，x+1），利用y
1
＝0代入y＝x+1可得G点的坐标，在Rt△ABG中，利用勾股定理列方程可得点B的坐标；
（2）先把（7，4）代入s＝ 中计算得b的值，计算在﹣1＜t＜5范围内图象上一
个点的坐标值：当t＝2时，根据（1）中的数据可计算此时s＝ ，可得坐标（2， ），代入s
＝a（t+1）（t﹣5）中可得a的值；
（3）存在，设B（x，x+1），分两种情况： 当∠CAB＝90°时，如图4， 当∠ACB＝90°时，
如图5和图6，分别根据两点的距离公①式和勾股定理列方程可解答．②
【解答】解：（1）如图1，连接AG，
当t＝2时，A（﹣2，2），
设B（x，x+1），
在y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，
∴G（0，1），
∵AB⊥l ，
1
∴∠ABG＝90°，
第19页（共23页）∴AB2+BG2＝AG2，
即（x+2）2+（x+1﹣2）2+x2+（x+1﹣1）2＝（﹣2）2+（2﹣1）2，
解得：x ＝0（舍），x ＝﹣ ，
1 2
∴B（﹣ ， ）；
（2）如图2可知：当t＝7时，s＝4，
把（7，4）代入s＝ 中得： +7b﹣ ＝4，
解得：b＝﹣1，
如图3，过B作BH∥y轴，交AC于H，
由（1）知：当t＝2时，A（﹣2，2），B（﹣ ， ），
∵C（0，3），
设AC的解析式为：y＝kx+b，
则 ，解得 ，
∴AC的解析式为：y＝ x+3，
第20页（共23页）∴H（﹣ ， ），
∴BH＝ ﹣ ＝ ，
∴s＝ ＝ ＝ ，
把（2， ）代入s＝a（t+1）（t﹣5）得：a（2+1）（2﹣5）＝ ，
解得：a＝﹣ ；
（3）存在，设B（x，x+1），
分两种情况：
当∠CAB＝90°时，如图4，
①
∵AB⊥l ，
1
∴AC∥l ，
1
∵l ：y＝x+1，C（0，3），
1
∴AC：y＝x+3，
∴A（﹣2，1），
∵D（﹣2，﹣1），
在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
即（x+2）2+（x+1﹣1）2+（x+2）2+（x+1+1）2＝22，
解得：x ＝﹣1，x ＝﹣2（舍），
1 2
第21页（共23页）∴B（﹣1，0），即B在x轴上，
∴AB＝ ＝ ，AC＝ ＝2 ，
∴S△ABC ＝ ＝ ＝2；
当∠ACB＝90°时，如图5，
②
∵∠ABD＝90°，∠ADB＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，
∵A（﹣2，t），D（﹣2，﹣1），
∴（x+2）2+（x+1﹣t）2＝（x+2）2+（x+1+1）2，
（x+1﹣t）2＝（x+2）2，
x+1﹣t＝x+2或x+1﹣t＝﹣x﹣2，
解得：t＝﹣1（舍）或t＝2x+3，
Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，
即（﹣2）2+（t﹣3）2+x2+（x+1﹣3）2＝（x+2）2+（x+1﹣t）2，
把t＝2x+3代入得：x2﹣3x＝0，
解得：x＝0或3，
当x＝3时，如图5，则t＝2×3+3＝9，
第22页（共23页）∴A（﹣2，9），B（3，4），
∴AC＝ ＝2 ，BC＝ ＝ ，
∴S△ABC ＝ ＝ ＝10；
当t＝0时，如图6，
此时，A（﹣2，3），AC＝2，BC＝2，
∴S△ABC ＝ ＝ ＝2．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角
形的面积、两点间距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突
破点是运用两点的距离公式计算或表示线段的长，属于中考压轴题．
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