2005年江西高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_江西

2005 年江西高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至
4页，共150分．
第I卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题
卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一
致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写
作答，在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，临考员将试题卷、答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) S 4R2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k 4
V  R3
3
次的概率P (k)CkPk(1P)nk 其中R表示球的半径
n n
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设集合I {x|| x|3,xZ},A{1,2},B {2,1,2},则A（ B）= （ ）
I
A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2}

2．已知tan 3,则cos （ ）
2
4 4 4 3
A． B．－ C． D．－
5 5 15 5
3．( x 3 x)12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有 （ ）
A．4项 B．3项 C．2项 D．1项
1
4．函数 f(x)  的定义域为 （ ）
log (x2 4x3)
2
A．（1，2）∪（2，3） B．(,1)(3,)
C．（1，3） D．[1，3]
5．设函数 f(x) sin3x|sin3x|,则f(x)为 （ ）
第1页 | 共9页2 
A．周期函数，最小正周期为 B．周期函数，最小正周期为
3 3
C．周期函数，数小正周期为2 D．非周期函数
5
6．已知向量a (1,2),b(2,4),|c| 5,若(ab)c  ,则a与c的夹角为 （ ）
2
A．30° B．60° C．120° D．150°
7．将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ）
A．70 B．140 C．280 D．840
a b c
8．在△ABC中，设命题 p:   ,命题q:△ABC是等边三角形，那么命题p
sinB sinC sin A
是命题q的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
9．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B—AC—D，则四面体ABCD
的外接球的体积为 （ ）
125 125 125 125
A．  B．  C．  D． 
12 9 6 3
1 1
10．已知实数a、b满足等式( )a ( )b,下列五个关系式：
2 3
①0<b<a ②a<b<0 ③0<a<b ④b<a<0 ⑤a=b
其中不可能成立的关系式有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11．在△OAB中，O为坐标原点，A(1,cos),B(sin,1),(0, ]，则当△OAB的面积达最
2
大值时， （ ）
   
A． B． C． D．
6 4 3 2
12．为了解某校高三学生的视力情况，随
机地抽查了该校 100 名高三学生的
视力情况，得到频率分布直方图，如
右，由于不慎将部分数据丢失，但知
道前4组的频数成等比数列，后6组
的频数成等差数列，设最大频率为a，
视力在4.6到5.0之间的学生数为
b，则a, b的值分别为（ ）
A．0,27,78 B．0,27,83 C．2.7,78 D．2.7,83
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填在答题卡上.
13．若函数 f(x) log (x x2 2a2)是奇函数，则a= .
a
第2页 | 共9页x y20
 y
14．设实数x, y满足x2y4 0,则 的最大值是 .
x

2y30

15．如图，在三棱锥P—ABC中，PA=PB=PC=BC，

且BAC  ，则PA与底面ABC所成角为
2
.
16．以下同个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点，k为非零常数，| PA|| PB| k，则动点P的轨迹为双曲线；
1
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若OP  (OAOB),则动
2
点P的轨迹为椭圆；
③方程2x2 5x2 0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
x2 y2 x2
④双曲线  1与椭圆  y2 1有相同的焦点.
25 9 35
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
x2
已知函数 f(x)  （a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x=3, x=4.
1 2
axb
（1）求函数f(x)的解析式；
(k 1)xk
（2）设k>1，解关于x的不等式； f(x) .
2x
18．（本小题满分12分）
x x  x  x 
已知向量a (2cos ,tan(  )),b ( 2sin(  ),tan(  )),令f(x)  ab.
2 2 4 2 4 2 4
求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间.
19．（本小题满分12分）
A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A
赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬
币的次数不大于7次时游戏终止的概率.
第3页 | 共9页20．（本小题满分12分）
如图，在长方体ABCD—ABCD，中，AD=AA=1，AB=2，点E在棱AB上移动.
1 1 1 1 1
（1）证明：DE⊥AD;
1 1
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD 的距离；
1

（3）AE等于何值时，二面角D—EC－D的大小为 .
1
4
21．（本小题满分12分）
如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程.
22．（本小题满分14分）
1 3
已知数列{a}的前n项和S 满足S－S =3( )n1(n3),且S 1,S   ,求数列
n n n n－2 2 1 2 2
{a}的通项公式.
n
参考答案
一、选择题
1．D 2．B 3．B 4．A 5．A 6．C 7．A 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A
二、填空题
2 3 
13． 14． 15． 16．③④
2 2 3
三、解答题
x2
17．解：（1）将x 3,x  4分别代入方程 x120得
1 2 axb
第4页 | 共9页 9
 9
  3ab a  1 x2
 解得  ,所以f(x)  (x  2).

16 b  2 2x
 8

4ab
x2 (k 1)xk x2 (k 1)xk
（2）不等式即为  ,可化为 0
2x 2x 2x
即(x2)(x1)(xk) 0.
①当1<k<2时，解集（1，k）∪（2，+）；
②当k  2时,不等式为(x2)2(x1) 0解集为x(1,2)(2,);
③当k  2时,解集为x(1,2)(k,).
x x  x  x 
18．解： f(x)  ab  2 2cos sin(  )tan(  )tan(  )
2 2 4 2 4 2 4
x x
1tan tan 1
x 2 x 2 x 2 2 x x x
 2 2cos ( sin  cos )   2sin cos 2cos2 1
2 2 2 2 2 x x 2 2 2
1tan 1tan
2 2

sinxcosx= 2sin(x ).
4
 
所以 f(x)的最大值为 2，最小正周期为2, f(x)在[0, ]上单调增加，[0, ]上单调减
4 4
少.
19．解：（1）设表示游戏终止时掷硬币的次数，
|mn|5

设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则mn  ，可得：

17

当m 5,n 0或m 0,n 5时,5;当m 6,n 1或m 1,n 6时,7;
所以的取值为:5,7.
1 1 2 5 9
P(7)  P(5)P(7)  2( )5 2C1( )7    .
2 5 2 32 64 64
20．解法（一）
（1）证明：∵AE⊥平面AADD，AD⊥AD，∴DE⊥AD
1 1 1 1 1 1
（2）设点E到面ACD 的距离为h，在△ACD 中，AC=CD= 5，AD= 2 ，
1 1 1 1
3 1
故S  ,而S  .
AD 1 C 2 ACE 2
第5页 | 共9页1 1
V  S DD  S h,
D 1 AEC 3 AEC 1 3 AD 1 C
1 3 1
 1 h,h  .
2 2 3
（3）过D作DH⊥CE于H，连DH、DE，则DH⊥CE，
1 1
∴∠DHD 为二面角D—EC—D的平面角.
1 1
设AE=x，则BE=2－x

在RtD DH中, DHD  ,DH 1.
1  1 4
在RtADE中,DE  1 x2,在RtDHE中,EH  x,

在RtDHC中CH  3,在RtCBE中CE  x2 4x5.
x 3  x2 4x5  x  2 3.

AE  2 3时,二面角D EC D的大小为 .
1 4
解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD 分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
1
设AE=x，则A（1，0，1），D（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
1 1
（1）因为DA ,D E (1,0,1),(1,x,1) 0,所以DA  D E.即DA⊥DE.
1 1 1 1 1 1
（2）因为E为AB的中点，则E(1,1,0),从而D E (1,1,1),AC(1,2,0).
1
 nAC 0 a2b 0
AD (1,0,1).设平面ACD的法向量为n (a,b,c),则  也即 
1 1 nAD 0, ac 0

1
,
a  2b
得  ,从而n (2,1,2)，所以点E到平面ADC的距离为
a c 1
| D En| 212 1
h  1   .
|n| 3 3
（3）设平面DEC的法向量n (a,b,c)，∴CE (1,x2,0),DC (0,2,1),DD (0,0,1),
1 1 1
 nDC 0, 2bc 0
由 1   令b=1, ∴c=2,a=2－x，
 nCE 0, ab(x2) 0.
∴n (2x,1,2).
 |nDD | 2 2 2
依题意cos  1    .
4 |n|| DD | 2 (x2)2 5 2
1
∴x  2 3 （不合，舍去），x  2 3.
1 2
第6页 | 共9页
∴AE=2 3时，二面角D—EC—D的大小为 .
1
4
21．解：（1）设M（y2,y），直线ME的斜率为k(l>0)
0 0
则直线MF的斜率为－k，
直线ME的方程为y y  k(x y2).
0 0
y y  k(x y2)
由 0 0 消x得ky2  y y (1ky ) 0
 y2  x 0 0
1ky (1ky )2
解得y  0 ,x  0
F k F k2
1ky 1ky 2
0  0
y  y k k k 1
k  E F     (定值).
EF x x (1ky )2 (1ky )2 4ky 2y
E F 0  0 0 0
k2 k2 k2
所以直线EF的斜率为定值
（2）当EMF 90时,MAB  45,所以k 1,
直线ME的方程为y y  k(x y2).
0 0
y y  x y2
由 0 0,得E((1 y )2,1 y ).
 y2  x 0 0
同理可得F((1 y )2,(1 y )).
0 0
 x  x  x y2 (1 y )2 (1 y )2 23y2
x  M E F  0 0 0  0
 3 3 3
设重心G（x, y），则有
 x  x  x y (1 y )(1 y ) y
x  M E F  0 0 0   0

 3 3 3
1 2 2
消去参数y 得y2  x (x  ).
0 9 27 3
1 1
22．解：方法一：先考虑偶数项有：S S 3( )2n1  3( )2n1
2n 2n2 2 2
1 1
S S 3( )2n3  3( )2n3
2n2 2n4 2 2
………
1 1
S S  2( )3  3( )3.
4 2 2 2
第7页 | 共9页1 1 1
S  S 3[( )2n1 ( )2n3  ( )3]
2n 2 2 2  2
1 1 1 1
 3[( )2n1 ( )2n3  ( )3  ]

2 2 2 2
1 1 1
 ( )n
2 2 4 1 1 1
 3  4[  ( )n]
1 2 2 4
1
4
1
 2( )2n1(n1).
2
1 1
同理考虑奇数项有：S S 3( )2n 3( )2n.
2n1 2n1 2 2
1 1
S S 3( )2n2 3( )2n2
2n1 2n3 2 2
………
1 1
S S 3( )2 3( )2.
3 1 2 2
1 1 1 1
S  S 3[( )2n ( )2n2  ( )2] 2( )2n(n 1).
2n1 1 2 2  2 2
1 1 1
a  S S  2( )2n (2( )2n1)  43( )2n(n 1).
2n1 2n1 2n 2 2 2
1 1 1
a  S S  2( )2n (2( )2n1)  43( )2n1(n 1).
2n 2n 2n1 2 2 2
a  S 1.
1 1
 1
43( )n1,n为奇数,

 2
综合可得a  
n 1
 43( )n1,n为偶数.

 2
1
方法二：因为S S a a 所以a a 3( )n1(n3),
n n2 n n1 n n1 2
两边同乘以(1)n，可得：
1 1
(1)n a (1)n1a  3(1)n ( )n1  3( )n1.
n n1
2 2
1
令b (1)na ,b b  3( )n1(n3).
n n n n1 2
1
所以b b  3( )n1,
n n1 2
1
b b  3( )n2,
n1 n2 2
………
第8页 | 共9页1
b b  3( )2,
3 2 2
1 1 1
 ( )n2
1 1 1 4 4 2
b b 3[( )n1 ( )n2  ( )2]b 3
n 2 2 2  2 2 1
1
2
3 1
b  3( )n1(n 3).
2 2 2
3 5
又 a  S 1,a  S S   1  ,
 1 1 2 2 1 2 2
5
b (1)1a  1,b (1)2a   .
1 1 2 2 2
5 3 1 1
b    3( )n1  43( )n1(n 1).
n 2 2 2 2
1
a (1)nb  4(1)n 3(1)n ( )n1
n n 2
 1
43( )n3,n为奇数,

 2
 
1
 43( )n1,n为偶数.

 2
第9页 | 共9页