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2020年浙江省湖州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个
是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方
框涂黑，不选、多选、错选均不给分．
1．（3分）数4的算术平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
2．（3分）近几年来，我国经济规模不断扩大，综合国力显著增强．2019年我国国内生产总值
约991000亿元，则数991000用科学记数法可表示为（ ）
A．991×103 B．99.1×104 C．9.91×105 D．9.91×106
3．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，已知四边形ABCD内接于 O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（ ）
⊙
A．70° B．110° C．130° D．140°
5．（3分）数据﹣1，0，3，4，4的平均数是（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
6．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
第1页（共29页）C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
7．（3分）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形
状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若
∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．1 B． C． D．
8．（3分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝ x+2分别交x轴于点A和
点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（ ）
A．y＝x+2 B．y＝ x+2 C．y＝4x+2 D．y＝ x+2
9．（3分）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO．以O为圆心，OT为半径的
圆交OA于点C，过点C作 O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（ ）
⊙
A．DC＝DT B．AD＝ DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC
10．（3分）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制
作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的
平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（
）
第2页（共29页）A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和2
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：﹣2﹣1＝ ．
12．（4分）化简： ＝ ．
13．（4分）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的
距离是 ．
14．（4分）在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出
1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ，两次摸球
的 所 有 可 能 的 结 果 如 表 所 示 ，
则两次摸出的球都是红球的概率是 ．
第3页（共29页）15．（4分）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都
是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，
则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是 ．
16．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，
点A在第一象限，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结
CD．若△ACD的面积是2，则k的值是 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）计算： +| ﹣1|．
18．（6分）解不等式组 ．
19．（6分）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整
熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动
支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h（cm）表示熨烫台的高度．
（1）如图2﹣1．若AB＝CD＝110cm，∠AOC＝120°，求h的值；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角
∠AOC是74°（如图2﹣2）．求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到1cm）．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）
第4页（共29页）20．（8分）为了解学生对网上在线学习效果的满意度，某校设置了：非常满意、满意、基本满
意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查
结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数；
（3）若该校共有1000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效果的
满意度是“非常满意”或“满意”的学生共有多少人？
21．（8分）如图，已知△ABC是 O的内接三角形，AD是 O的直径，连结BD，BC平分
∠ABD． ⊙ ⊙
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求 的长．
第5页（共29页）22．（10分）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，
合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人
每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
求乙车间需临时招聘的工人数；
①若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；
②乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方
案能更节省开支？请说明理由．
23．（10分）已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折
叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．
（1）特例感知 如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP＝ AC；
（2）变式求异 如图2，若∠C＝90°，m＝6 ，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH
和AP的长；
（3）化归探究 如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落
在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．
第6页（共29页）24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，
与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B
在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．
（1）如图1，当AC∥x轴时，
已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；
①若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．
②
（2）如图2，若b＝﹣2， ＝ ，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若
存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
第7页（共29页）2020年浙江省湖州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个
是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方
框涂黑，不选、多选、错选均不给分．
1．（3分）数4的算术平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【分析】算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正
数x叫做a的算术平方根．记为
a
．
【解答】解：∵2的平方为4，
∴4的算术平方根为2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而
导致错误．
2．（3分）近几年来，我国经济规模不断扩大，综合国力显著增强．2019年我国国内生产总值
约991000亿元，则数991000用科学记数法可表示为（ ）
A．991×103 B．99.1×104 C．9.91×105 D．9.91×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：将991000用科学记数法表示为：9.91×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
第8页（共29页）A． B． C． D．
【分析】根据两个视图是三角形得出该几何体是锥体，再根据俯视图是圆，得出几何体是
圆锥．
【解答】解：∵主视图和左视图是三角形，
∴几何体是锥体，
∵俯视图的大致轮廓是圆，
∴该几何体是圆锥．
故选：A．
【点评】此题考查由三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥
体还是球体，由另一个视图确定其具体形状．
4．（3分）如图，已知四边形ABCD内接于 O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（ ）
⊙
A．70° B．110° C．130° D．140°
【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于 O，∠ABC＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°⊙＝110°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
5．（3分）数据﹣1，0，3，4，4的平均数是（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
【分析】根据题目中的数据，可以求得这组数据的平均数，本题得以解决．
【解答】解： ＝ ＝2，
故选：D．
【点评】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的计算方法．
6．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（
第9页（共29页））
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对
各选项进行判断．
【解答】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有
如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数
根；当△＜0时，方程无实数根．
7．（3分）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形
状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若
∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可知菱形ABC′D′的高等于AB的一半，
再根据正方形的面积公式和平行四边形的面积公式即可得解．
【解答】解：根据题意可知菱形ABC′D′的高等于AB的一半，
∴菱形ABC′D′的面积为 ，正方形ABCD的面积为AB2．
∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形与菱形的面积，熟知30°角所对的直角边等于斜边的一半
是解答本题的关键．
第10页（共29页）8．（3分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝ x+2分别交x轴于点A和
点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（ ）
A．y＝x+2 B．y＝ x+2 C．y＝4x+2 D．y＝ x+2
【分析】求得A、B的坐标，然后分别求得各个直线与x的交点，进行比较即可得出结论．
【解答】解：∵直线y＝2x+2和直线y＝ x+2分别交x轴于点A和点B．
∴A（﹣1，0），B（﹣3，0）
A、y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；
B、y＝ x+2与x轴的交点为（﹣ ，0）；故直线y＝ x+2与x轴的交点在线段AB上；
C、y＝4x+2与x轴的交点为（﹣ ，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上；
D、y＝ x+2与x轴的交点为（﹣ ，0）；故直线y＝ x+2与x轴的交点在线段AB
上；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式．
9．（3分）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO．以O为圆心，OT为半径的
圆交OA于点C，过点C作 O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（ ）
⊙
A．DC＝DT B．AD＝ DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC
【分析】如图，连接OD．想办法证明选项A，B，C正确即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OD．
第11页（共29页）∵OT是半径，OT⊥AB，
∴DT是 O的切线，
∵DC是⊙O的切线，
∴DC＝D⊙T，故选项A正确，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵DC是切线，
∴CD⊥OC，
∴∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠ADC＝45°，
∴AC＝CD＝DT，
∴AC＝ CD＝ DT，故选项B正确，
∵OD＝OD，OC＝OT，DC＝DT，
∴△DOC≌△DOT（SSS），
∴∠DOC＝∠DOT，
∵OA＝OB，OT⊥AB，∠AOB＝90°，
∴∠AOT＝∠BOT＝45°，
∴∠DOT＝∠DOC＝22.5°，
∴∠BOD＝∠ODB＝67.5°，
∴BO＝BD，故选项C正确，
故选：D．
【点评】本题考查切线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定
和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．（3分）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制
作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的
平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（
）
第12页（共29页）A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和2
【分析】根据要求拼平行四边形矩形即可．
【解答】解：中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示：
故选：D．
【点评】本题考查七巧板，正方形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质等知识，解题的
关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：﹣2﹣1＝ ﹣ 3 ．
【分析】本题需先根据有理数的减法法则，判断出结果的符号，再把绝对值合并即可．
【解答】解：﹣2﹣1
＝﹣3
故答案为：﹣3
【点评】本题主要考查了有理数的减法，在解题时要注意结果的符号是本题的关键．
第13页（共29页）12．（4分）化简： ＝ ．
【分析】直接将分母分解因式，进而化简得出答案．
【解答】解：
＝
＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了约分，正确分解因式是解题关键．
13．（4分）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的
距离是 3 ．
【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理得到CH＝DH＝4，再利用
勾股定理计算出OH＝3，从而得到CD与AB之间的距离．
【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，则CH＝DH＝ CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝ ＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
14．（4分）在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出
1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ，两次摸球
的 所 有 可 能 的 结 果 如 表 所 示 ，
第14页（共29页）则两次摸出的球都是红球的概率是 ．
【分析】根据图表可知共有9种等可能的结果，再找出两次摸出的球都是红球的情况数，然
后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据图表可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的有4种，
则两次摸出的球都是红球的概率为 ；
故答案为： ．
【点评】此题考查的是列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之
比．
15．（4分）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都
是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，
则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是 5
．
【分析】根据Rt△ABC的各边长得出与其相似的三角形的两直角边之比为1：2，在6×6的
网格图形中可得出与Rt△ABC相似的三角形的短直角边长应小于4，在图中尝试可画出
符合题意的最大三角形，从而其斜边长可得．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，
第15页（共29页）∴AB＝ ，AC：BC＝1：2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6 ，
但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，
故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE＝ ，EF＝2 ，DF＝5 的三角
形，
∵ ＝ ＝ ＝ ，
∴△ABC∽△DFE，
∴∠DEF＝∠C＝90°，
∴此时△DEF的面积为： ×2 ÷2＝10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：5
．
故答案为：5 ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，明确相似三角形的判定定理并数形结合是解题的
关键．
16．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，
点A在第一象限，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结
CD．若△ACD的面积是2，则k的值是 ．
【分析】作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE ＝S△OBD ＝
第16页（共29页）k，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论．
【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，
∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴S△COE ＝S△BOD ＝ ，S△ACD ＝S△OCD ＝2，
∵CE∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴ ，
∴4S△OCE ＝S△OAB ，
∴4× k＝2+2+ k，
∴k＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝ 图象中任取一
点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比
例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形
的面积是 |k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）计算： +| ﹣1|．
【分析】首先利用二次根式的性质化简二次根式，利用绝对值的性质计算绝对值，然后再
第17页（共29页）算加减即可．
【解答】解：原式＝2 + ﹣1＝3 ﹣1．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握计算顺序，掌握二次根式相加减，先
把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为
系数相加减，根式不变．
18．（6分）解不等式组 ．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．
【解答】解： ，
解 得x＜1；
解①得x＜﹣6．
故②不等式组的解集为x＜﹣6．
【点评】考查了解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；
大大小小找不到．
19．（6分）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整
熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动
支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h（cm）表示熨烫台的高度．
（1）如图2﹣1．若AB＝CD＝110cm，∠AOC＝120°，求h的值；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角
∠AOC是74°（如图2﹣2）．求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到1cm）．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）
【分析】（1）过点B作BE⊥AC于E，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA＝
第18页（共29页）＝30°，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）过点B作BE⊥AC于E，根据等腰三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）过点B作BE⊥AC于E，
∵OA＝OC，∠AOC＝120°，
∴∠OAC＝∠OCA＝ ＝30°，
∴h＝BE＝AB•sin30°＝110× ＝55；
（2）过点B作BE⊥AC于E，
∵OA＝OC，∠AOC＝74°，
∴∠OAC＝∠OCA＝ ＝53°，
∴AB＝BE÷sin53°＝120÷0.8＝150（cm），
即该熨烫台支撑杆AB的长度约为150cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的
关键．
20．（8分）为了解学生对网上在线学习效果的满意度，某校设置了：非常满意、满意、基本满
意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查
结果绘制成如图统计图（不完整）．
第19页（共29页）请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数；
（3）若该校共有1000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效果的
满意度是“非常满意”或“满意”的学生共有多少人？
【分析】（1）从两个统计图中可知，在抽查人数中，“非常满意”的人数为20人，占调查
人数的40%，可求出调查人数，进而求出“基本满意”的人数，即可补全条形统计图；
（2）样本中“满意”占调查人数的 ，即30%，因此相应的圆心角的度数为360°的30%；
（3）样本中“非常满意”或“满意”的占调查人数的（ + ），进而估计总体中“非常
满意”或“满意”的人数．
【解答】解：（1）抽查的学生数：20÷40%＝50（人），
抽查人数中“基本满意”人数：50﹣20﹣15﹣1＝14（人），补全的条形统计图如图所示：
（2）360°× ＝108°，
答：扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数为108°；
（3）1000×（ + ）＝700（人），
答：该校共有1000名学生中“非常满意”或“满意”的约有700人．
第20页（共29页）【点评】考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量之
间的关系，是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
21．（8分）如图，已知△ABC是 O的内接三角形，AD是 O的直径，连结BD，BC平分
∠ABD． ⊙ ⊙
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求 的长．
【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得∠DBC＝∠ABC＝∠CAD；
（2）由圆周角定理可得 ，由弧长公式可求解．
【解答】解：（1）∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠ABC；
（2）∵∠CAD＝∠ABC，
∴ ＝ ，
∵AD是 O的直径，AD＝6，
⊙
∴ 的长＝ × × ×6＝ ．
π π
【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，弧长公式等知识，灵活运用这些
第21页（共29页）性质解决问题是本题的关键．
22．（10分）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，
合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人
每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
求乙车间需临时招聘的工人数；
①若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；
②乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方
案能更节省开支？请说明理由．
【分析】（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间有y名工人参与生产，由题意得关于x
和y的方程组，求解即可．
（2） 设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意，以企业完成生产任务的时间为等
量关①系，列出关于m的分式方程，求解并检验即可； 用生产任务数量27000除以方案一
中甲和乙完成的生产任务之和可得企业完成生产任务②的时间，然后分别按方案一和方案
二计算费用并比较大小即可．
【解答】解：（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间有y名工人参与生产，由题意得：
，
解得 ．
∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产．
（2） 设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得：
①
＝ ，
解得m＝5．
经检验，m＝5是原方程的解，且符合题意．
∴乙车间需临时招聘5名工人．
企业完成生产任务所需的时间为：
② 第22页（共29页）＝18（天）．
∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500＝17700（元）．
选择方案二需增加的费用为5×18×200＝18000（元）．
∵17700＜18000，
∴选择方案一能更节省开支．
【点评】本题考查了二元一次方程组和分式方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关
系是解题的关键．
23．（10分）已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折
叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．
（1）特例感知 如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP＝ AC；
（2）变式求异 如图2，若∠C＝90°，m＝6 ，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH
和AP的长；
（3）化归探究 如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落
在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）证明△ADP是等边三角形即可解决问题．
（2）分两种情形：情形一：当点B落在线段CH上的点P 处时，如图2﹣1中．情形二：当点
1
B落在线段AH上的点P 处时，如图2﹣2中，分别求解即可．
2
（3）如图3中，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DP⊥AC于P．求出DP＝DB时AD的值，
结合图形即可判断．
【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠A＝60°，
由题意，得DB＝DP，DA＝DB，
第23页（共29页）∴DA＝DP，
∴△ADP使得等边三角形，
∴AP＝AD＝ AB＝ AC．
（2）解：∵AC＝BC＝6 ，∠C＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝12，
∵DH⊥AC，
∴DH∥BC，
∴△ADH∽△ABC，
∴ ＝ ，
∵AD＝7，
∴ ＝ ，
∴DH＝ ，
将∠B沿过点D的直线折叠，
情形一：当点B落在线段CH上的点P 处时，如图2﹣1中，
1
∵AB＝12，
∴DP ＝DB＝AB﹣AD＝5，
1
∴HP ＝ ＝ ＝ ，
1
∴A ＝AH+HP ＝4 ，
1 1
情形二：当点B落在线段AH上的点P 处时，如图2﹣2中，
2
第24页（共29页）同法可证HP ＝ ，
2
∴AP ＝AH﹣HP ＝3 ，
2 2
综上所述，满足条件的AP的值为4 或3 ．
（3）如图3中，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DP⊥AC于P．
∵CA＝CB，CH⊥AB，
∴AH＝HB＝6，
∴CH＝ ＝ ＝8，
当DB＝DP时，设BD＝PD＝x，则AD＝12﹣x，
∵sinA＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴x＝ ，
∴AD＝AB﹣BD＝ ，
观察图形可知当6＜a＜ 时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位
置．
第25页（共29页）【点评】本题考查几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似
三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参
数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，
与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B
在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．
（1）如图1，当AC∥x轴时，
已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；
①若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．
②
（2）如图2，若b＝﹣2， ＝ ，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若
存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1） 先确定出点C的坐标，再用待定系数法即可得出结论；
①
先确定出抛物线的顶点坐标，进而得出DF＝ ，再判断出△AFD≌△BCO，得出DF
②
＝OC，即可得出结论；
（2）先判断出抛物线的顶点坐标D（﹣1，c+1），设点A（m，﹣m2﹣2m+c）（m＜0），
判断出△AFD≌△BCO（AAS），得出AF＝BC，DF＝OC，再判断出△ANF∽△AMC，得出
＝ ，进而求出m的值，得出点A的纵坐标为c﹣ ＜c，进而判断出点
M的坐标为（0，c﹣ ），N（﹣1，c﹣ ），进而得出CM＝ ，
DN＝ ，FN＝ ﹣c，进而求出c＝ ，即可得出结论．
第26页（共29页）【解答】解：（1） ∵AC∥x轴，点A（﹣2，1），
∴C（0，1）， ①
将点A（﹣2，1），C（0，1）代入抛物线解析式中，得 ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1；
如图1，过点D作DE⊥x轴于E，交AB于点F，
②∵AC∥x轴，
∴EF＝OC＝c，
∵点D是抛物线的顶点坐标，
∴D（ ，c+ ），
∴DF＝DE﹣EF＝c+ ﹣c＝ ，
∵四边形AOBD是平行四边形，
∴AD＝BO，AD∥OB，
∴∠DAF＝∠OBC，
∵∠AFD＝∠BCO＝90°，
∴△AFD≌△BCO（AAS），
∴DF＝OC，
∴ ＝c，
即b2＝4c；
（2）如图2，∵b＝﹣2．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+c，
∴顶点坐标D（﹣1，c+1），
假设存在这样的点A使四边形AOBD是平行四边形，
设点A（m，﹣m2﹣2m+c）（m＜0），
过点D作DE⊥x轴于点E，交AB于F，
∴∠AFD＝∠EFC＝∠BCO，
第27页（共29页）∵四边形AOBD是平行四边形，
∴AD＝BO，AD∥OB，
∴∠DAF＝∠OBC，
∴△AFD≌△BCO（AAS），
∴AF＝BC，DF＝OC，
过点A作AM⊥y轴于M，交DE于N，
∴DE∥CO，
∴△ANF∽△AMC，
∴ ＝ ，
∵AM＝﹣m，AN＝AM﹣NM＝﹣m﹣1，
∴ ，
∴ ，
∴点A的纵坐标为﹣（﹣ ）2﹣2×（﹣ ）+c＝c﹣ ＜c，
∵AM∥x轴，
∴点M的坐标为（0，c﹣ ），N（﹣1，c﹣ ），
∴CM＝c﹣（c﹣ ）＝ ，
∵点D的坐标为（﹣1，c+1），
∴DN＝（c+1）﹣（c﹣ ）＝ ，
∵DF＝OC＝c，
∴FN＝DN﹣DF＝ ﹣c，
∵ ＝ ，
∴ ，
第28页（共29页）∴c＝ ，
∴c﹣ ＝ ，
∴点A纵坐标为 ，
∴A（﹣ ， ），
∴存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线的性质，全等三角形的判
定和性质，相似三角形的判定和性质，构造出△ANF∽△AMC是解本题的关键．
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