文档内容
2020年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每道小题给出的四个选项中，选出
符合要求的一项）
1．（3分）﹣2020的相反数是（ ）
A．﹣2020 B．2020 C．﹣ D．
2．（3分）2019年以来，我国扶贫攻坚取得关键进展，农村贫困人口减少11090000人，数据
11090000用科学记数法表示为（ ）
A．0.1109×108 B．11.09×106 C．1.109×108 D．1.109×107
3．（3分）如图，由4个相同正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．（﹣a）3＝a3 B．a9÷a3＝a3 C．a+2a＝3a D．a•a2＝a2
5．（3分）如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，则∠C的度数是（ ）
A．154° B．144° C．134° D．124°
6．（3分）今年端午小长假复课第一天，学校根据疫情防控要求，对所有进入校园的师生进行
体温检测，其中7名学生的体温（单位：℃）如下：36.5，36.3，36.8，36.3，36.5，36.7，36.5，这
组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．36.3，36.5 B．36.5，36.5 C．36.5，36.3 D．36.3，36.7
7．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．一个角的补角一定大于这个角
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．等边三角形是中心对称图形
第1页（共21页）D．旋转改变图形的形状和大小
8．（3分）对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于
x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x ，x（x ＜x ），关于x的方程
1 2 1 2
x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x ，x（x ＜x ），则下列关系式一定正确的
3 4 3 4
是（ ）
A．0＜ ＜1 B． ＞1 C．0＜ ＜1 D． ＞1
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）因式分解：a2﹣9＝ ．
10．（4分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是 ．
11．（4分）不等式组 的解集是 ．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝ °．
13．（4分）在﹣3，﹣2，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数y＝ax2+4x﹣2中a的值，
则该二次函数图象开口向上的概率是 ．
14．（4分）已知x2+2x＝﹣1，则代数式5+x（x+2）的值为 ．
15．（4分）我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行
酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒
（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现用30钱，买得2斗酒．问醇
酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据题意，可列方程组为 ．
16．（4分）如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切
于点B．点P为 上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，
延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
PB＝PD； 的长为 ； ∠DBE＝45°； △BCF∽△PFB； CF•CP为定值．
① ② π ③ ④ ⑤
第2页（共21页）三、解答题（本大题共8小题，满分64分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17．（6分）计算：（ ）﹣1+2cos60°﹣（4﹣ ）0+|﹣ |．
π
18．（6分）如图，点E，F在 ABCD的边BC，AD上，BE＝ BC，FD＝ AD，连接BF，DE．
▱
求证：四边形BEDF是平行四边形．
19．（8分）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝ （k为常数且k≠0）的图象相交
于A（﹣1，m），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比
例函数y＝ 的图象有且只有一个交点，求b的值．
20．（8分）我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、
园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随
机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成
第3页（共21页）如图两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查的学生人数为 人；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末
展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概
率．
21．（8分）为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B
型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬运
1000kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料．
22．（8分）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，
需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地
北偏东45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结
果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， ≈1.41）
23．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P，Q分别从C点，A点同时以每秒
第4页（共21页）1个单位长度的速度出发，且分别在边CA，AB上沿C→A，A→B的方向运动，当点Q运动
到点B时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t（s），连接PQ，过点P作
PE⊥PQ，PE与边BC相交于点E，连接QE．
（1）如图2，当t＝5s时，延长EP交边AD于点F．求证：AF＝CE；
（2）在（1）的条件下，试探究线段AQ，QE，CE三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）如图3，当t＞ s时，延长EP交边AD于点F，连接FQ，若FQ平分∠AFP，求 的值．
24．（10分）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F ：y＝a（x﹣ ）2+ 与x轴交于点A
1
（﹣ ，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线F 的表达式；
1
（2）如图2，将抛物线F 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F ，若抛
1 2
物线F 与抛物线F 相交于点D，连接BD，CD，BC．
1 2
求点D的坐标；
①判断△BCD的形状，并说明理由；
（②3）在（2）的条件下，抛物线F
2
上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第5页（共21页）第6页（共21页）2020年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每道小题给出的四个选项中，选出
符合要求的一项）
1．【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：﹣2020的相反数是：2020．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：11090000＝1.109×107，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】它的左视图，即从该几何体的左侧看到的是一列两层，因此选项A的图形符合题意．
【解答】解：从该几何体的左侧看到的是一列两层，因此选项A的图形符合题意，
故选：A．
【点评】考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确三视图的形状是正确判断的
前提．
4．【分析】根据合并同类项、同底数幂乘除法的性质，以及幂的乘方进行计算即可．
【解答】解：（﹣a）3＝﹣a3，因此选项A不符合题意；
a9÷a3＝a9﹣3＝a6，因此选项B不符合题意；
a+2a＝（1+2）a＝3a，因此选项C符合题意；
a•a2＝a1+2＝a3，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法的计算法则，合并同类项的法则，掌握运算性质是正
确计算的前提．
5．【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵DA⊥AB，CD⊥DA，
∴∠A＝∠D＝90°，
第7页（共21页）∴∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝56°，
∴∠C＝180°﹣∠B＝124°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关
键．
6．【分析】将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的概念求解可得．
【解答】解：将这组数据重新排列为36.3，36.3，36.5，36.5，36.5，36.7，36.8，
所以这组数据的众数为36.5，中位数为36.5，
故选：B．
【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握求一组数据的众数的方法：找出
频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一
组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位
置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就
是这组数据的中位数．
7．【分析】根据各个选项中的命题可以判断是否为真命题，从而可以解答本题．
【解答】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，如直角的补角等于它，原命题是假命题；
B、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；
C、等边三角形不是中心对称图形，原命题是假命题；
D、旋转不改变图形的形状和大小，原命题是假命题；
故选：B．
【点评】本题考查命题与定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断一个命题是否为真
命题．
8．【分析】根据题意画出关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）的图象以及直线y＝﹣2，
根据图象即可判断．
【解答】解：由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x ，x（x ＜
3 4 3
x ），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，
4
画出函数的图象草图如下：
第8页（共21页）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣5，
∴x ＜x ＜﹣5，
3 1
由图象可知：0＜ ＜1一定成立，
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，利用图象判断是
解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，满分32分）
9．【分析】a2﹣9可以写成a2﹣32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
10．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是
非负数．
11．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+3≥0，得：x≥﹣3，
解不等式x﹣1＜0，得：x＜1，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜1，
故答案为：﹣3≤x＜1．
第9页（共21页）【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12．【分析】根据直角三角形两锐角互余求得∠B＝70°，然后根据直角三角形斜边上中线定理
得出CD＝BD，求出∠BCD＝∠B即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝20°，则∠B＝70°，
∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD＝CD＝AD，
∴∠BCD＝∠B＝70°，
故答案为70．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运
用，能求出BD＝CD＝AD和∠B的度数是解此题的关键．
13．【分析】二次函数图象开口向上得出a＞0，从所列5个数中找到a＞0的个数，再根据概率
公式求解可得．
【解答】解：∵从﹣3，﹣2，1，2，3五个数中随机选取一个数，共有5种等可能结果，其中使
该二次函数图象开口向上的有1、2、3这3种结果，
∴该二次函数图象开口向上的概率是 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查概率公式及二次函数的性质，解题的关键是掌握随机事件A的概率
P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
14．【分析】直接将原式变形，再利用已知代入原式得出答案．
【解答】解：∵x2+2x＝﹣1，
∴5+x（x+2）＝5+x2+2x＝5﹣1＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确将原式变形是解题关键．
15．【分析】根据“现用30钱，买得2斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得
解．
【解答】解：依题意，得： ．
故答案为： ．
第10页（共21页）【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确
列出二元一次方程组是解题的关键．
16．【分析】 连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，若PD＝PB，得出P为 的中
点，与实①际不符，即可判定正误；
先求出∠BOC，再由弧长公式求得 的长度，进而判断正误；
②由∠BOC＝60°，得△OBC为等边三角形，再根据三线合一性质得∠OBE，再由角的和
③差关系得∠DBE，便可判断正误；
证明∠CPB＝∠CBF＝30°，再利用公共角、∠PBF＜∠BFC，可得△BCF与△PFB不相
④似，便可判断正误；
由等边△OBC得BC＝OB＝4，再由相似三角形得CF•CP＝BC2，便可判断正误．
⑤【解答】解： 连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，如图1，
∵M，C是半圆①上的三等分点，
∴∠BAH＝30°，
∵BD与半圆O相切于点B．
∴∠ABD＝90°，
∴∠H＝60°，
∵∠ACP＝∠ABP，∠ACP＝∠DCH，
∴∠PDB＝∠H+∠DCH＝∠ABP+60°，
∵∠PBD＝90°﹣∠ABP，
若∠PDB＝∠PBD，则∠ABP+60°＝90°﹣∠ABP，
∴∠ABP＝15°，
∴P点为 的中点，这与P为 上的一动点不完全吻合，
∴∠PDB不一定等于∠ABD，
∴PB不一定等于PD，
故 错误；
①∵M，C是半圆上的三等分点，
②∴∠BOC＝ ，
∵直径AB＝8，
∴OB＝OC＝4，
∴ 的长度＝ ，
第11页（共21页）故 正确；
②
∵∠BOC＝60°，OB＝OC，
③∴∠ABC＝60°，OB＝OC＝BC，
∵BE⊥OC，
∴∠OBE＝∠CBE＝30°，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝60°，
故 错误；
③∵M、C是 的三等分点，
④∴∠BPC＝30°，
∵∠CBF＝30°，
但∠BFP＞∠FCB，
∠PBF＜∠BFC，
∴△BCF∽△PFB不成立，
故 错误；
④∵∠CBF＝∠CPB＝30°，∠BCF＝∠PCB，
⑤∴△BCF∽△PCB，
∴ ，
∴CF•CP＝CB2，
∵ ，
∴CF•CP＝16，
故 正确．
故⑤答案为： ．
【点评】本题②主⑤要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质
与判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，关键是熟练掌握这些性质，并能
第12页（共21页）灵活应用．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、绝对
值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+2× ﹣1+
＝2+1﹣1+
＝2+ ．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，进而得出DF＝BE，利用平行四
边形的判定解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝ BC，FD＝ AD，
∴BE＝DF，
∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握平行四边形两组对边平行
且相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
19．【分析】（1）根据一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝ （k为常数且k≠0）的图象
相交于A（﹣1，m），可得m＝4，进而可求反比例函数的表达式；
（2）根据一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），可得y＝x+5﹣b，根据
平移后的图象与反比例函数y＝ 的图象有且只有一个交点，联立方程根据判别式＝0即
可求出b的值．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝ （k为常数且k≠0）的图象
相交于A（﹣1，m），
∴m＝4，
第13页（共21页）∴k＝﹣1×4＝﹣4，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣ ；
（2）∵一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），
∴y＝x+5﹣b，
∵平移后的图象与反比例函数y＝ 的图象有且只有一个交点，
∴x+5﹣b＝﹣ ，
∴x2+（5﹣b）x+4＝0，
∵△＝（5﹣b）2﹣16＝0，
解得b＝9或1，
答：b的值为9或1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函
数与一次函数的性质．
20．【分析】（1）从两个统计图中可得，选择“园艺”的有18人，占调查人数的30%，可求出
调查人数；
（2）求出选择“编制”的人数，即可补全条形统计图；
（3）样本中，选择“厨艺”的占 ，因此估计总体800人的 是选择“厨艺”的人数．
（4）用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算选中“园艺、编织”的概率．
【解答】解：（1）18÷30%＝60（人），
故答案为：60；
（2）60﹣15﹣18﹣9﹣6＝12（人），补全条形统计图如图所示：
（3）800× ＝200（人），
答：该校七年级800名学生中选择“厨艺”劳动课程的有200人；
第14页（共21页）（4）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中选中“园艺、编织”的有2种，
∴P（园艺、编织） ＝ ＝ ．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，列表法求随机事件发生的
概率，理解数量关系和列举所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
21．【分析】设B型机器人每小时搬运xkg原料，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg原料，根
据工作时间＝工作总量÷工作效率结合A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬
运1000kg所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设B型机器人每小时搬运xkg原料，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg原料，
依题意，得： ＝ ，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴x+20＝120．
答：A型机器人每小时搬运120kg原料，B型机器人每小时搬运100kg原料．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据锐角三角函数即可求出新建管道的总长度．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
根据题意可知：
AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°﹣68°＝22°，
第15页（共21页）∴AD＝CD，
∴BD＝AB﹣AD＝7﹣CD，
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD＝ ，
∴ ≈0.40，
∴CD＝2，
∴AD＝CD＝2，
BD＝7﹣2＝5，
∴AC＝2 ≈2.82，
BC＝ ≈ ≈5.41，
∴AC+BC≈2.82+5.41≈8.2（km）．
答：新建管道的总长度约为8.2km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定
义．
23．【分析】（1）先利用勾股定理求出AC，再判断出CP＝AP，进而判断出△APF≌△CPE，即
可得出结论；
（2）先判断出AF＝CE，PE＝PF，再用勾股定理得出AQ2+AF2＝QF2，即可得出结论；
（3）先判断出△FAQ≌△FPQ（AAS），得出AQ＝PQ＝t，AF＝PF，进而判断出PE＝CE，再
判断出△CNE∽△CBA，得出CE＝ t，在Rt△QPE中，QE2＝PQ2+PE2，在Rt△BQE中，
QE2＝BQ2+BE2，得出PQ2+PE2＝BQ2+BE2，t2+（ t）2＝（6﹣t）2，进而求出t，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，根据勾股定理得，AC＝10，
由运动知，CP＝t＝5，
∴AP＝AC﹣CP＝5，
∴AP＝CP，
∵AD∥BC，
第16页（共21页）∴∠PAF＝∠PCE，∠AFP＝∠CEP，
∴△APF≌△CPE（AAS），
∴AF＝CE；
（2）结论：AQ2+CE2＝QE2，
理由：如图2，
连接FQ，由（1）知，△APF≌△CPE，
∴AF＝CE，PE＝PF，
∵EF⊥PQ，
∴QE＝QF，
在Rt△QAF中，根据勾股定理得，AQ2+AF2＝QF2，
∴AQ2+CE2＝QE2；
（3）如图3，
由运动知，AQ＝t，CP＝t，
∴AP＝AC﹣CP＝10﹣t，
∵FQ平分∠AFE，
∴∠AFQ＝∠PFQ，
∵∠FAQ＝∠FPQ＝90°，FQ＝FQ，
∴△FAQ≌△FPQ（AAS），
∴AQ＝PQ＝t，AF＝PF，
∴BQ＝AB﹣AQ＝6﹣t，∠FAC＝∠FPA，
∵∠DAC＝∠ACB，∠APF＝∠CPE，
∴∠ACB＝∠CPE，
∴PE＝CE，过点E作EN⊥AC于N，
∴CN＝ CP＝ t，∠CNE＝90°＝∠ABC，
∵∠NCE＝∠BCA，
∴△CNE∽△CBA，
∴ ，
第17页（共21页）∴ ，
∴CE＝ t，
∴PE＝ t，BE＝BC﹣CE＝8﹣ t，
在Rt△QPE中，QE2＝PQ2+PE2，
在Rt△BQE中，QE2＝BQ2+BE2，
∴PQ2+PE2＝BQ2+BE2，
∴t2+（ t）2＝（6﹣t）2+（8﹣ t）2，
∴t＝ ，
∴CP＝t＝ ，
∴AP＝10﹣CP＝ ，
∵AD∥BC，
∴△APF∽△CPE，
∴ ＝ ＝ ．
第18页（共21页）【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性
质，相似三角形的判定和性质，求出t是解本题的关键．
24．【分析】（1）把点A（﹣ ，0）代入抛物线F ：y＝a（x﹣ ）2+ 中，求出a的值，即可求解；
1
（2） 由平移的原则：左加，右减，上加，下减，可得抛物线F 的解析式，与抛物线F 联立
2 1
方程①组，解出可得点D的坐标；
根据两点的距离公式和勾股定理的逆定理可得：△BDC是等腰直角三角形；
（② 3）设P[m，﹣ ]，根据两点的距离公式和勾股定理列方程可解出m的值，
并确认两直角边是否相等，可得符合条件的点P的坐标．
【解答】解：（1）把点A（﹣ ，0）代入抛物线F ：y＝a（x﹣ ）2+ 中得：
1
0＝a（﹣ ﹣ ）2+ ，
解得：a＝﹣ ，
∴抛物线F ：y＝﹣ （x﹣ ）2+ ；
1
（2） 由平移得：抛物线F ：y＝﹣ （x﹣ +1）2+ ﹣3，
2
①
∴y＝﹣ （x+ ）2+ ，
∴ （x+ ）2+ ＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
﹣ x＝ ，
解得：x＝﹣1，
∴D（﹣1，1）；
当x＝0时，y＝﹣ ＝4，
②
∴C（0，4），
当y＝0时，﹣ （x﹣ ）2+ ＝0，
解得：x＝﹣ 或2，
第19页（共21页）∴B（2，0），
∵D（﹣1，1），
∴BD2＝（2+1）2+（1﹣0）2＝10，
CD2＝（0+1）2+（4﹣1）2＝10，
BC2＝22+42＝20，
∴BD2+CD2＝BC2且BD＝CD，
∴△BDC是等腰直角三角形；
（3）存在，
设P（m，﹣ ），
∵B（2，0），D（﹣1，1），
∴ BD2 ＝ （ 2+1 ） 2+12 ＝ 10 ， ，
，
分三种情况：
当∠DBP＝90°时，BD2+PB2＝PD2，
① 即10+（m﹣2）2+[﹣ ]2＝（m+1）2+[﹣ （m+ ）2+ ﹣1]2，
解得：m＝﹣4或1，
当m＝﹣4时，BD＝ ，PB＝ ＝6 ，即△BDP不是等腰直角三角形，不符
合题意，
当m＝1时，BD＝ ，PB＝ ＝ ，
∴BD＝PB，即△BDP是等腰直角三角形，符合题意，
∴P（1，﹣3）；
当∠BDP＝90°时，BD2+PD2＝PB2，
② 即10+[﹣ （m+ ）2+ ﹣1]2＝（m﹣2）2+[﹣ ]2，
解得：m＝﹣1（舍）或﹣2，
当m＝﹣2时，BD＝ ，PD＝ ＝ ，
∴BD＝PD，即此时△BDP为等腰直角三角形，
∴P（﹣2，﹣2）；
第20页（共21页）当∠BPD＝90°时，且BP＝DP，有BD2＝PD2+PB2，如图3，
③
当△BDP为等腰直角三角形时，点P 和P 不在抛物线上，此种情况不存在这样的点P；
1 2
综上，点P的坐标是（1，﹣3）或（﹣2，﹣2）．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法和平移求二次函数解析式，勾
股定理及逆定理，两点的距离公式，难点在于（3）根据直角三角形的直角顶点分情况讨论．
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