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2021年山东省东营市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正
确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1．16的算术平方根为（ ）
A．±4 B．4 C．﹣4 D．8
2．下列运算结果正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5 B．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2
C．（3x3）2＝6x6 D．
3．如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F，若∠BEF＝150°，则∠ABE＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上再打六折．某电
动汽车原价300元，小明持会员卡购买这个电动汽车需要花（ ）元．
A．240 B．180 C．160 D．144
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC的长，则下
列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（ ）
A．214° B．215° C．216° D．217°
8．一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中
的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位
似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2
倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（ ）A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
10．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，
过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下
结论：S△ABC ＝ ；②当点D与点C重合时，FH＝ ；③AE+CD＝ DE；④当AE
＝CD时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分．
只要求填写最后结果．
11．2021年5月11日，第七次全国人口普查数据显示，全国人口比第六次全国人口普查数
据增加了7206万人．7206万用科学记数法表示 ．
12．因式分解：4a2b﹣4ab+b＝ ．
13．如图所示是某校初中数学兴趣小组年龄结构条形统计图，该小组年龄最小为11岁，最
大为15岁，根据统计图所提供的数据，该小组组员年龄的中位数为 岁．
14．不等式组 的解集为 ．15．（4分）如图，在 ABCD中，E为BC的中点，以E为圆心，BE长为半径画弧交对角
线 AC 于点 F，若∠▱BAC＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形 BEF 的面积为
．
16．（4分）某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展
理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的
荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了
25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程
为 ．
17．（4分）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折
叠，点D落在点G处，连接 DG并延长交 AB于点E．若AE＝5，则GE的长为
．
18．（4分）如图，正方形ABCB 中，AB＝ ，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB 交
1 1
直线l于点A ，作正方形A B C B ，延长C B 交直线l于点A ，作正方形A B C B ，延
1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 3
长 C B 交直线 l 于点 A ，作正方形 A B C B …，依此规律，则线段 A A ＝
2 3 3 3 3 3 4 2020 2021
．三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
19．（8分）（1）计算： +3tan30°﹣|2﹣ |+（ ﹣1）0+82021×（﹣0.125）2021；
π
（2）化简求值： ，其中 ＝ ．
20．（8分）为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某
中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从 A．“北斗卫星”；
B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢
的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息
解答下列问题：
（1）九（1）班共有 名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为 ；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方
法求出他们选择相同主题的概率．
21．（8分）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DF⊥AB于点
F，连接OF，且AF＝1．
（1）求证：DF是 O的切线；
⊙（2）求线段OF的长度．
22．（8分）“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实
现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，
请通过计算说明他们的目标能否实现．
23．（8分）如图所示，直线y＝k x+b与双曲线y＝ 交于A、B两点，已知点B的纵坐
1
标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D（0，﹣2），OA＝ ，tan∠AOC
＝ ．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB的面积的
2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式k x+b≤ 的解集．
1
24．（10分）如图，抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线
y＝﹣ x+2过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）点M（3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过
点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度
最大时，求PD+PM的最小值．
25．（12分）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B
作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中
距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中
距”OC和OD的数量关系是 ．
（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数
量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC
和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②若∠COD＝60°，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．2021年山东省东营市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正
确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1．16的算术平方根为（ ）
A．±4 B．4 C．﹣4 D．8
【分析】依据算术平方根的性质求解即可．
【解答】解：16的算术平方根为4．
故选：B．
2．下列运算结果正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5 B．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2
C．（3x3）2＝6x6 D．
【分析】根据合并同类项法则可判断选项A；根据完全平方公式可判断选项B；根据积
的乘方与幂的乘方运算法则计算可判断选项C；根据二次根式的加法法则计算可判断选
项D．
【解答】解：A、x2与x3不能合并，所以A选项错误；
B、（﹣a﹣b）2＝[﹣（a+b）]2＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，所以B选项正确；
C、（3x3）2＝9x6，所以C选项错误；
D、 与 不能合并，所以D选项错误．
故选：B．
3．如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F，若∠BEF＝150°，则∠ABE＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】过点E作GE∥AB．利用平行线的性质得到∠GEF+∠EFD＝180°，由垂直的定
义∠EFD＝90°，进而得出∠GEF＝90°，根据角的和差得到∠BEG＝60°，再根据平行线
的性质求解即可．【解答】解：如图，过点E作GE∥AB，
∵AB∥CD，
∴GE∥CD，
∴∠GEF+∠EFD＝180°，
∵EF⊥CD，
∴∠EFD＝90°，
∴∠GEF＝180°﹣∠EFD＝90°，
∵∠BEF＝∠BEG+∠GEF＝150°，
∴∠BEG＝∠BEF﹣∠GEF＝60°，
∵GE∥AB，
∴∠ABE＝∠BEG＝60°，
故选：D．
4．某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上再打六折．某电
动汽车原价300元，小明持会员卡购买这个电动汽车需要花（ ）元．
A．240 B．180 C．160 D．144
【分析】打八折是指优惠后的价格是原价的80%，再打六折是指实际花的钱是八折后价
格的60%，根据这些条件列出方程即可．
【解答】解：设小明持会员卡购买这个电动汽车需要花x元，根据题意得：
300×80%×60%＝x，
解得x＝144
故选：D．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC的长，则下
列按键顺序正确的是（ ）A．
B．
C．
D．
【分析】根据正切函数的定义，可得tan∠B＝ ，根据计算器的应用，可得答案．
【解答】解：在△ABC中，因为∠C＝90°，
所以tan∠B＝ ，
因为∠B＝42°，BC＝8，
所以AC＝BC•tanB＝8×tan42°．
故选：D．
6．经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车
经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果数，其中恰好有一车直行，另一车左拐的结
果数为2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中恰好有一车直行，另一车左拐的结果数为2种，
∴恰好有一车直行，另一车左拐的概率＝ ，
故选：A．
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（ ）A．214° B．215° C．216° D．217°
【分析】由常见几何体的三视图可得该几何体为圆锥，根据三视图知圆锥的底面圆的直
径为6、半径为3，高为4，得出母线长为5，再根据扇形的弧长公式可得答案．
【解答】解：由三视图可知，该几何体为圆锥；
由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为6、半径为3，高为4，
则母线长为 ＝5，
所以则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为 ×6÷（ ×5×2）×360°＝216°．
故选：C． π π
8．一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中
的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得
出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可
得出结论．
【解答】解：A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，B不可能；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．
故选：C．
9．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位
似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2
倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（ ）
A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
【分析】设点B′的横坐标为x，根据数轴表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据
位似比列式计算即可．
【解答】解：设点B′的横坐标为x，
则B、C间的横坐标的长度为a﹣1，B′、C间的横坐标的长度为﹣x+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（a﹣1）＝﹣x+1，
解得：x＝﹣2a+3，
故选：A．
10．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，
过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下结论：S△ABC ＝ ；②当点D与点C重合时，FH＝ ；③AE+CD＝ DE；④当AE
＝CD时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
【分析】①利用三角形的面积公式计算即可；
②依题意画出图形，利用等边三角形和平行线的性质求出FH即可；
③将△CBD绕点B逆时针旋转60°，得到△ABN，由“SAS”可证△DBE≌△NBE，可
得DE＝NE，在Rt△PNE中，利用勾股定理可得AE，CD，DE的关系，可判断③；
④先证△AGE，△DCH都是等边三角形，可得AG＝AE＝CH＝CD，利用菱形的判定定
理判定即可．
【解答】解：①过点A作AP⊥BC于点P，如图1：
∵△ABC是边长为1的等边三角形，AP⊥BC，
∴BP＝ BC＝ ，
∴AP＝ ，
∴ ．故①正确；
②当点D与点C重合时，H，D，C三点重合，如图2：∵∠DBE＝30°，∠ABC＝60°，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵AB＝BC，
∴AE＝EC＝ AC＝ ，
∵CF∥AB，
∴∠FCA＝∠A＝60°，
∵GF∥BC，
∴∠FEC＝∠ACB＝60°，
∴∠FCE＝∠FEC＝60°，
∴∠FCE＝∠FEC＝∠F＝60°，
∴△EFC为等边三角形，
∴FC＝EC＝ ，
即FH＝ ．故②正确；
③如图 3，将△CBD 绕点 B 逆时针旋转 60°，得到△ABN，连接 NE，过点 N 作
NP⊥AC，交CA的延长线于P，∴BD＝BN，CD＝AN，∠BAN＝∠C＝60°，∠CBD＝∠ABN，
∵∠DBE＝30°，
∴∠CBD+∠ABE＝30°＝∠ABE+∠ABN＝∠EBN，
∴∠EBN＝∠DBE＝30°，
又∵NE＝DE，BE＝BE，
∴△DBE≌△NBE（SAS），
∴DE＝NE，
∵∠NAP＝180°﹣∠BAC﹣∠NAB＝60°，
∴AP＝ AN，NP＝ AP＝ AN＝ CD，
∵NP2+PE2＝NE2，
∴ CD2+（AE+ CD）2＝DE2，
∴AE2+CD2+AE•CD＝DE2，故③错误；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，
∵GF∥BH，BG∥HF，
∴四边形BHFG是平行四边形，
∵GF∥BH，BG∥HF，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，∠DHC＝∠ABC＝60°，
∴△AGE，△DCH都是等边三角形，
∴AG＝AE，CH＝CD，
∵AE＝CD，
∴AG＝CH，
∴BH＝BG，
∴ BHFG是菱形，故④正确，
故▱选：B．
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分．
只要求填写最后结果．
11．2021年5月11日，第七次全国人口普查数据显示，全国人口比第六次全国人口普查数
据增加了7206万人．7206万用科学记数法表示 7.206×1 0 7 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
【解答】解：7206万＝72060000＝7.206×107，
故答案为：7.206×107．
12．因式分解：4a2b﹣4ab+b＝ b （ 2 a ﹣ 1 ） 2 ．
【分析】原式提取b，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝b（4a2﹣4a+1）
＝b（2a﹣1）2．
故答案为：b（2a﹣1）2．
13．如图所示是某校初中数学兴趣小组年龄结构条形统计图，该小组年龄最小为11岁，最
大为15岁，根据统计图所提供的数据，该小组组员年龄的中位数为 1 3 岁．
【分析】将该小组年龄按照从小到大顺序排列，找出中位数即可．
【解答】解：根据题意排列得：11，11，12，12，12，13，13，13，13，13，14，14，
14，14，15，15，15，15，
则该小组组员年龄的中位数为 ×（13+13）＝13（岁），
故答案为：13．
14．不等式组 的解集为 ﹣ 1 ≤ x ＜ 2 ．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：解不等式 ﹣ ≤1，得：x≥﹣1，
解不等式5x﹣1＜3（x+1），得：x＜2，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故答案为：﹣1≤x＜2．
15．（4分）如图，在 ABCD中，E为BC的中点，以E为圆心，BE长为半径画弧交对角
▱
线AC于点F，若∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BEF的面积为 ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据三角形的外角的性质求出∠BEF，根
据扇形面积公式计算．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，
∴∠ACB＝20°，
又∵E为BC的中点，
∴BE＝EC＝ BC＝2，
∵BE＝EF，
∴EF＝EC＝2，
∴∠EFC＝∠ACB＝20°，
∴∠BEF＝40°，
∴扇形BEF的面积＝ ＝ ，
故答案为： ．
16．（4分）某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展
理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的
荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了
25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程
为 ﹣ ＝ 3 0 ．
【分析】设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为（1+25%）x万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前30天完成了任
务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设原计划每天绿化的面积为 x 万平方米，则实际每天绿化的面积为
（1+25%）x万平方米，
依题意得： ﹣ ＝30．
故答案为： ﹣ ＝30．
17．（4分）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折
叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若AE＝5，则GE的长为 ．
【分析】由“ASA”可证△ADE≌△DCF，可得AE＝DF＝5，由锐角三角函数可求DO
的长，即可求解．
【解答】解：设CF与DE交于点O，
∵将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，
∴GO＝DO，CF⊥DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°＝∠FOD，
∴∠CFD+∠FCD＝90°＝∠CFD+∠ADE，
∴∠ADE＝∠FCD，在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（ASA），
∴AE＝DF＝5，
∵AE＝5，AD＝12，
∴DE＝ ＝ ＝13，
∵cos∠ADE＝ ，
∴ ，
∴DO＝ ＝GO，
∴EG＝13﹣2× ＝ ，
故答案为： ．
18．（4分）如图，正方形ABCB 中，AB＝ ，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB 交
1 1
直线l于点A ，作正方形A B C B ，延长C B 交直线l于点A ，作正方形A B C B ，延
1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 3
长C B 交直线l于点A ，作正方形A B C B …，依此规律，则线段A A ＝ 2× （
2 3 3 3 3 3 4 2020 2021
） 202 0 ．
【分析】根据题意可知图中斜边在直线l上的直角三角形都是含30度角的直角三角形，
根据其性质得出三边的长度，以此类推可找到规律：A n B n ＝（ ）n﹣1，A n﹣1 A n ＝2A n B n＝2×（ ）n﹣1．
【解答】解：根据题意可知AB ＝AB＝ ，∠B AA ＝90°﹣60°＝30°，
1 1 1
∴tan∠B AA ＝ ＝ ，
1 1
∴A B ＝AB × ＝ × ＝1，AA ＝2A B ＝2，
1 1 1 1 1 1
A B ＝A B × ＝A B × ＝ ，A A ＝2A B ＝2× ，
2 2 1 2 1 1 1 2 2 2
A B ＝A B × ＝A B × ＝ × ＝（ ）2，A A ＝2A B ＝2×（ ）2，
3 3 2 3 2 2 2 3 3 3
∴A B ＝A B × ＝（ ）2020，A A ＝2A B ＝2×（ ）2020，
2021 2021 2020 2021 2020 2021 2021 2021
故答案为：2×（ ）2020．
三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
19．（8分）（1）计算： +3tan30°﹣|2﹣ |+（ ﹣1）0+82021×（﹣0.125）2021；
π
（2）化简求值： ，其中 ＝ ．
【分析】（1）根据二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂
的运算法则、积的乘方法则计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，根据题意求出n＝5m，代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝2 +3× ﹣2+ +1+（﹣8×0.125）2021
＝2 + ﹣2+ +1﹣1
＝4 ﹣2；
（2）原式＝ + +
＝
＝＝ ，
∵ ＝ ，
∴n＝5m，
∴原式＝ ＝ ．
20．（8分）为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某
中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从 A．“北斗卫星”；
B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢
的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息
解答下列问题：
（1）九（1）班共有 5 0 名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为 108 ° ；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方
法求出他们选择相同主题的概率．
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比即可；
（2）求出D的人数，即可解决问题；
（3）由360°乘以D所占的比例即可；
（4）画树状图，共有16种等可能的结果，小明和小丽选择相同主题的结果有4种，再
由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）九（1）班共有学生人数为：20÷40%＝50（名），
故答案为：50；
（2）D的人数为：50﹣10﹣20﹣5＝15（名），
补全折线统计图如下：（3）D所对应扇形圆心角的大小为：360°× ＝108°，
故答案为：108°；
（4）画树状图如图：
共有16种等可能的结果，小明和小丽选择相同主题的结果有4种，
∴小明和小丽选择相同主题的概率为 ＝ ．
21．（8分）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DF⊥AB于点
F，连接OF，且AF＝1．
（1）求证：DF是 O的切线；
（2）求线段OF的⊙长度．
【分析】（1）连接OD，根据等边三角形及圆性质求出OD∥AB，再由DF⊥AB，推出
求出OD⊥DF，根据切线的判定推出即可；
（2）由∠A＝60o，OD⊥DF，AF＝1可求得AD，AF，AB的长度，再根据中位线性质
求出OD的长度，根据勾股定理即可求得OF的长．
【解答】（1）证明：连接OD，∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠A＝60o，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠CDO＝∠A＝60o，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴∠FDO＝∠AFD＝90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是 O的切线；
（2）解：⊙∵OD∥AB，OC＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∵∠AFD＝90°，∠A＝60o，
∴∠ADF＝30°，
∵AF＝1
∴CD＝OD＝AD＝2AF＝2，
由勾股定理得：DF2＝3，
在Rt△ODF中，OF＝ ，
∴线段OF的长为 ．
22．（8分）“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实
现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，
请通过计算说明他们的目标能否实现．
【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，根据第三阶段水稻亩产量＝第一阶段水稻亩产量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用第四阶段水稻亩产量＝第三阶段水稻亩产量×（1+增长率），可求出第四阶段
水稻亩产量，将其与1200公斤比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，
依题意得：700（1+x）2＝1008，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．
∵1209.6＞1200，
∴他们的目标能实现．
23．（8分）如图所示，直线y＝k x+b与双曲线y＝ 交于A、B两点，已知点B的纵坐
1
标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D（0，﹣2），OA＝ ，tan∠AOC
＝ ．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB的面积的
2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式k x+b≤ 的解集．
1
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于E，根据锐角三角函数和勾股定理求出点A（﹣2，
1），进而求出双曲线的解析式，进而求出点B的坐标，最后用待定系数法，即可得出
结论；
（2）连接OB，PO，PC，先求出OD，进而求出S△ODB ＝ ，进而得出S△OCP ＝ ，再求出OC＝ ，设点P的纵坐标为n，再用S△OCP ＝ ，求出点P的纵坐标，即可得出结
论；
（3）直接利用图象即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，
过点A作AE⊥x轴于E，
∴∠AEO＝90°，
在Rt△AOE中，tan∠AOC＝ ＝ ，
设AE＝m，则OE＝2m，
根据勾股定理得，AE2+OE2＝OA2，
∴m2+（2m）2＝（ ）2，
∴m＝1或m＝﹣1（舍），
∴OE＝2，AE＝1，
∴A（﹣2，1），
∵点A在双曲线y＝ 上，
∴k ＝﹣2×1＝﹣2，
2
∴双曲线的解析式为y＝﹣ ，
∵点B在双曲线上，且纵坐标为﹣3，
∴﹣3＝﹣ ，
∴x＝ ，
∴B（ ，﹣3），
将点A（﹣2，1），B（ ，﹣3）代入直线y＝k x+b中得， ，
1
∴ ，∴直线AB的解析式为y＝﹣ x﹣2；
（2）如图2，连接OB，PO，PC；
由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣ x﹣2，
∴D（0，﹣2），
∴OD＝2，
由（1）知，B（ ，﹣3），
∴S△ODB ＝ OD•x
B
＝ ×2× ＝ ，
∵△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，
∴S△OCP ＝2S△ODE ＝2× ＝ ，
由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣ x﹣2，
令y＝0，则﹣ x﹣2＝0，
∴x＝﹣ ，
∴OC＝ ，
设点P的纵坐标为n，
∴S△OCP ＝ OC•y
P
＝ × n＝ ，
∴n＝2，
由（1）知，双曲线的解析式为y＝﹣ ，
∵点P在双曲线上，
∴2＝﹣ ，
∴x＝﹣1，
∴P（﹣1，2）；（3）由（1）知，A（﹣2，1），B（ ，﹣3），
由图象知，不等式k x+b≤ 的解集为﹣2≤x＜0或x≥ ．
1
24．（10分）如图，抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线
y＝﹣ x+2过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）点M（3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过
点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度
最大时，求PD+PM的最小值．【分析】（1）直线y＝﹣ x+2过B、C两点，可求B、C两点坐标，把B（4，0），C
（0，2）分别代入y＝﹣ x2+bx+c，可得解析式．
（2）抛物线y＝﹣ x2+ x+2与x轴交于点A，即y＝0，可得点A的横坐标，由相似三
角形的判定得：△AOC∽△ACB．
（3）设点D的坐标为（x，﹣ x2+ x+2），则点E的坐标为（x，﹣ x+2），由坐标
得DE＝﹣ x2+2x，当x＝2时，线段DE的长度最大，此时，点D的坐标为（2，3），
即点C和点M关于对称轴对称，连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最小，连接
CM 交直线 DE 于点 F，则∠DFC＝90°，由勾股定理得 CD＝ ，根据 PD+PM＝
PC+PD＝CD，即可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣ x+2过B、C两点，
当x＝0时，代入y＝﹣ x+2，得y＝2，即C（0，2），
当y＝0时，代入y＝﹣ x+2，得x＝4，即B（4，0），
把B（4，0），C（0，2）分别代入y＝﹣ x2+bx+c，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+2；
（2）∵抛物线y＝﹣ x2+ x+2与x轴交于点A，
∴﹣ x2+ x+2＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
∴点A的坐标为（﹣1，0），∴AO＝1，AB＝5，
在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，
∴AC＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
又∵∠OAC＝∠CAB，
∴△AOC∽△ACB；
（3）设点D的坐标为（x，﹣ x2+ x+2），
则点E的坐标为（x，﹣ x+2），
∴DE＝﹣ x2+ x+2﹣（﹣ x+2）
＝﹣ x2+ x+2+ x﹣2
＝﹣ x2+2x，
∵﹣ ＜0，
∴当x＝2时，线段DE的长度最大，
此时，点D的坐标为（2，3），
∵C（0，2），M（3，2），
∴点C和点M关于对称轴对称，
连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最小，
连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，点F的坐标为（2，2），
∴CD＝ ＝ ，
∵PD+PM＝PC+PD＝CD，
∴PD+PM的最小值为 ．25．（12分）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B
作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中
距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中
距”OC和OD的数量关系是 OC ＝ OD ．
（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数
量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC
和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②若∠COD＝60°，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．
【分析】（1）猜想：OC＝OD．证明Rt△AOC≌Rt△BOD（HL），可得结论．
（2）结论成立．过点O作直线EF∥CD，交BD于点F，延长AC交EF于点E，证明
△COE≌DOF（SAS），可得结论．
（3）①结论成立．如图3中，延长CO交BD于点E，证明CO＝OE，再利用直角三角
形斜边中线的性质解决问题即可．
②结论：AC+BD＝ OC．利用等边三角形的判定和性质以及全等三角形的性质证明
即可．
【解答】解：（1）猜想：OC＝OD．
理由：如图1中，∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°
在Rt△AOC与Rt△BOD中，，
∴Rt△AOC≌Rt△BOD（HL），
∴OC＝OD，
故答案为：OC＝OD；
（2）数量关系依然成立．
理由：过点O作直线EF∥CD，交BD于点F，延长AC交EF于点E，
∵EF∥CD，
∴∠DCE＝∠E＝∠CDF＝90°，
∴四边形CEFD为矩形，
∴∠OFD＝90°，CE＝DF，
由（1）知，OE＝OF，
在△COE与△DOF中，
，
∴△COE≌DOF（SAS），
∴OC＝OD；
（3）①结论成立．
理由：如图3中，延长CO交BD于点E，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC∥BD，
∴∠A＝∠B，
∵点O为AB的中点，
∴AO＝BO，
又∵∠AOC＝∠BOE，
∴△AOC≌△BOE（AAS），
∴CO＝CE，
∵∠CDE＝90°，
∴OD＝OC＝OE，
∴OC＝OD．
②结论：AC+BD＝ OC．
理由：如图3中，∵∠COD＝60°，OD＝OC，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC，∠OCD＝60°，
∵∠CDE＝90°，
∴tan60°＝ ，
∴DE＝ CD，
∵∴△AOC≌△BOE，
∴AC＝BE，
∴AC+BD＝BD+BE＝DE＝ CD，
∴AC+BD＝ OC．
