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2021年山东省临沂市中考数学试卷
一．选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．﹣ 的相反数是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．2 D．
2．2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，中国成为全世界第二个实现火星着
陆的国家．据测算，地球到火星的最近距离约为 55000000km，将数据55000000用科学
记数法表示为（ ）
A．5.5×106 B．0.55×108 C．5.5×107 D．55×106
3．计算2a3•5a3的结果是（ ）
A．10a6 B．10a9 C．7a3 D．7a6
4．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在AB∥CD中，∠AEC＝40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
6．方程x2﹣x＝56的根是（ ）
A．x ＝7，x ＝8 B．x ＝7，x ＝﹣8
1 2 1 2
C．x ＝﹣7，x ＝8 D．x ＝﹣7，x ＝﹣8
1 2 1 27．不等式 ＜x+1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．计算（a﹣ ）÷（ ﹣b）的结果是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
9．如图，点A，B都在格点上，若BC＝ ，则AC的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
10．现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率
是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，PA、PB分别与 O相切于A、B，∠P＝70°，C为 O上一点，则∠ACB的度
数为（ ） ⊙ ⊙
A．110° B．120° C．125° D．130°
12．某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人．B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟．两种型号扫地
机器人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫xm2，根据题意可列
方程为（ ）
A． ＝ + B． + ＝
C． + ＝ D． ＝ +
13．已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，则a+b＜2b；④若b＞0，
则 ＜ ，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢
实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．
如图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约
是（ ）
A．4860年 B．6480年 C．8100年 D．9720年
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．分解因式：2a3﹣8a＝ ．
16．比较大小：2 5（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
17．某学校八年级（2）班有20名学生参加学校举行的“学党史、看红书”知识竞赛，成
绩统计如图．这个班参赛学生的平均成绩是 ．18．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A、B的坐标
分别是（﹣1，1）、（2，1），将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则
顶点C的对应点C 的坐标是 ．
1
19．数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正
确的是 （只填写序号）．
①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直
线”；
②车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直
平分”；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．
三．解答题（本大题共7小题，共63分）
20．（7分）计算|﹣ |+（ ﹣ ）2﹣（ + ）2．
21．（7分）实施乡村振兴计划以来，我市农村经济发展进入了快车道，为了解梁家岭村
今年一季度经济发展状况，小玉同学的课题研究小组从该村 300户家庭中随机抽取了20
户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元）：
0.69 0.73 0.74 0.80 0.81 0.98 0.93 0.81 0.89 0.69
0.74 0.99 0.98 0.78 0.80 0.89 0.83 0.89 0.94 0.89研究小组的同学对以上数据进行了整理分析，得到下表：
分组 频数
0.65≤x＜0.70 2
0.70≤x＜0.75 3
0.75≤x＜0.80 1
0.80≤x＜0.85 a
0.85≤x＜0.90 4
0.90≤x＜0.95 2
0.95≤x＜1.00 b
统计量 平均数 中位数 众数
数值 0.84 c d
（1）表格中：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）试估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；
（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请
说明理由．
22．（7分）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从
被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝
70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，
tan70°≈2.75）23．（9分）已知函数y＝
（1）画出函数图象；
列表：
x … …
y … .…
描点，连线得到函数图象：
（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；
（3）设（x ，y ），（x ，y ）是函数图象上的点，若x +x ＝0，证明：y +y ＝0．
1 1 2 2 1 2 1 2
24．（9分）如图，已知在 O中， ＝ ＝ ，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC； ⊙
（2）四边形BCDE为菱形．25．（11分）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减
速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的
关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
26．（13分）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，
点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交
于点G，M，连接HC．
（1）求证：AG＝GH；
（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；
（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？2021年山东省临沂市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．﹣ 的相反数是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．2 D．
【分析】只有符号相反的两个数互为相反数,根据相反数的定义即可解答．
【解答】解:﹣ 的相反数是 ,
故选：D．
2．2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，中国成为全世界第二个实现火星着
陆的国家．据测算，地球到火星的最近距离约为 55000000km，将数据55000000用科学
记数法表示为（ ）
A．5.5×106 B．0.55×108 C．5.5×107 D．55×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将55000000用科学记数法表示为5.5×107．
故选：C．
3．计算2a3•5a3的结果是（ ）
A．10a6 B．10a9 C．7a3 D．7a6
【分析】根据单项式乘单项式的法则进行计算即可．
【解答】解：2a3•5a3＝10a3+3＝10a6，
故选：A．
4．如图所示的几何体的主视图是（ ）A． B． C． D．
【分析】根据简单几何体三视图的画法可得答案．
【解答】解：从正面看该几何体，由能看见的轮廓线用实线表示可得选项B中的图形符
合题意，
故选：B．
5．如图，在AB∥CD中，∠AEC＝40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】由两直线平行，内错角相等得到∠ECD＝40°,由角平分线的定义得到∠BCD＝
20°,最后根据两直线平行，内错角相等即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠AEC＝40°，
∴∠ECD＝∠AEC＝40°,
∵CB平分∠DCE，
∴∠BCD＝ ∠DCE＝20°,
∵AB∥CD,
∴∠ABC＝∠BCD＝20°,
故选：B．
6．方程x2﹣x＝56的根是（ ）
A．x ＝7，x ＝8 B．x ＝7，x ＝﹣8
1 2 1 2
C．x ＝﹣7，x ＝8 D．x ＝﹣7，x ＝﹣8
1 2 1 2
【分析】利用因式分解法求解即可。【解答】解：∵x2﹣x＝56，
∴x2﹣x﹣56＝0，
则（x﹣8）（x+7）＝0，
∴x﹣8＝0或x+7＝0，
解得x ＝﹣7，x ＝8，
1 2
故选：C．
7．不等式 ＜x+1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可
得其解集，继而表示在数轴上即可．
【解答】解：去分母，得：x﹣1＜3x+3，
移项，得：x﹣3x＜3+1，
合并同类项，得：﹣2x＜4，
系数化为1，得：x＞﹣2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
故选：B．
8．计算（a﹣ ）÷（ ﹣b）的结果是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】根据分式的减法和除法法则可以化简题目中的式子．
【解答】解：（a﹣ ）÷（ ﹣b）
＝ ÷
＝＝﹣ ，
故选：A．
9．如图，点A，B都在格点上，若BC＝ ，则AC的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
【分析】根据勾股定理可以得到AB的长，然后由图可知AC＝AB﹣BC，然后代入数据
计算即可．
【解答】解：由图可得，
AB＝ ＝ ＝ ＝2 ，
∵BC＝ ，
∴AC＝AB﹣BC＝2 ﹣ ＝ ，
故选：B．
10．现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率
是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，至少有一盒过期的结果有10种，再由概
率公式求解即可．
【解答】解：把2盒不过期的牛奶记为A、B，2盒已过期的牛奶记为C、D，
画树状图如图：共有12种等可能的结果，至少有一盒过期的结果有10种，
∴至少有一盒过期的概率为 ＝ ，
故选：D．
11．如图，PA、PB分别与 O相切于A、B，∠P＝70°，C为 O上一点，则∠ACB的度
数为（ ） ⊙ ⊙
A．110° B．120° C．125° D．130°
【分析】由切线的性质得出∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和可求∠AOB＝
110°，再利用圆周角定理可求∠ADB＝55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．
【解答】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是 O切线，
∴∠OAP＝∠⊙OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠ADB＝ AOB＝55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．
故选：C．
12．某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人．B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积
多50%；清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟．两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫xm2，根据题意可列
方程为（ ）
A． ＝ + B． + ＝
C． + ＝ D． ＝ +
【分析】若设 A 型扫地机器人每小时清扫 xm2，则 B 型扫地机器人每小时清扫
（1+50%）xm2，根据“清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟”
列出方程，此题得解．
【解答】解：若设A型扫地机器人每小时清扫 xm2，则B型扫地机器人每小时清扫
（1+50%）xm2，
根据题意，得 ＝ + ．
故选：D．
13．已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，则a+b＜2b；④若b＞0，
则 ＜ ，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴当a＞0时，a2＞ab，
当a＜0时，a2＜ab，故①结论错误；
∵a＞b，
∴当|a|＞|b|时，a2＞b2，
∴当|a|＜|b|时，a2＜b2，
故②结论错误；
∵a＞b，b＜0，
∴a+b＞2b，故③结论错误；
∵a＞b，b＞0，
∴a＞b＞0，
∴ ，故④结论正确；∴正确的个数是1个．
故选：A．
14．实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢
实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．
如图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约
是（ ）
A．4860年 B．6480年 C．8100年 D．9720年
【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案．
【解答】解：由图可知：
1620年时，镭质量缩减为原来的 ，
再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的 ，
再经过1620×2＝3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的 ，
...，
∴再经过1620×4＝6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的 ，
此时32× ＝1mg，
故选：C．
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．分解因式：2a3﹣8a＝ 2 a （ a + 2 ）（ a ﹣ 2 ） ．【分析】原式提取2a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2a（a2﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2），
故答案为：2a（a+2）（a﹣2）
16．比较大小：2 ＜ 5（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．
【解答】解：∵2 ＝ ，5＝ ，
而24＜25，
∴2 ＜5．
故填空答案：＜．
17．某学校八年级（2）班有20名学生参加学校举行的“学党史、看红书”知识竞赛，成
绩统计如图．这个班参赛学生的平均成绩是 95. 5 ．
【分析】先根据统计图得出每组的人数，在根据加权平均数的计算公式即可．
【解答】解：由统计图可知四个成绩的人数分别为3，2，5，10，
∴ ，
故答案为95.5．
18．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A、B的坐标
分别是（﹣1，1）、（2，1），将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则
顶点C的对应点C 的坐标是 （ 4 ，﹣ 1 ） ．
1
【分析】由题意A,C关于原点对称，求出点C的坐标，再利用平移的性质求出点C 的
1
坐标可得结论．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，
∴点A,点C关于原点对称，∵A(﹣1,1),
∴C(1,﹣1),
∴将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C 的坐标是(4,
1
﹣1),
故答案为：（4，﹣1）．
19．数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正
确的是 ①③ （只填写序号）．
①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直
线”；
②车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直
平分”；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．
【分析】①根据两点确定一条直线进行判断．
②利用车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳进行判断．
③根据菱形的性质进行判断．
④根据矩形的性质进行判断．
【解答】解：①在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线
上，才能射中目标，应用了“两点确定一条直线”，故符合题意．
②因为圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人
感到非常平稳，故不符合题意．
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直
平分”，故符合题意；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故不符合题意．
故答案是：①③．
三．解答题（本大题共7小题，共63分）
20．（7分）计算|﹣ |+（ ﹣ ）2﹣（ + ）2．【分析】分别运用绝对值的性质和乘法公式展开再合并即可．
【解答】解：原式＝ +[（ ）²﹣ + ]﹣[（ ）²+ + ]，
＝ +(2﹣ + )﹣(2+ + )，
＝＝ +2﹣ + ﹣2﹣ ﹣ ，
＝﹣ ．
21．（7分）实施乡村振兴计划以来，我市农村经济发展进入了快车道，为了解梁家岭村
今年一季度经济发展状况，小玉同学的课题研究小组从该村 300户家庭中随机抽取了20
户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元）：
0.69 0.73 0.74 0.80 0.81 0.98 0.93 0.81 0.89 0.69
0.74 0.99 0.98 0.78 0.80 0.89 0.83 0.89 0.94 0.89
研究小组的同学对以上数据进行了整理分析，得到下表：
分组 频数
0.65≤x＜0.70 2
0.70≤x＜0.75 3
0.75≤x＜0.80 1
0.80≤x＜0.85 a
0.85≤x＜0.90 4
0.90≤x＜0.95 2
0.95≤x＜1.00 b
统计量 平均数 中位数 众数
数值 0.84 c d
（1）表格中：a＝ 5 ，b＝ 3 ，c＝ 0.8 2 ，d＝ 0.8 9 ；
（2）试估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；
（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请
说明理由．
【分析】（1）根据所给数据计数即可得a、b的值，根据根据中位数和众数的定义求解
可得c、d的值；
（2）求出今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数所占得百分比即可得到结论；
（3）根据中位数进行判断即可．
【解答】解：（1）由统计频数的方法可得，a＝5，b＝3，
将A村家庭收入从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（0.81+0.83）÷2＝
0.82，
因此中位数是0.82，即c＝0.82，
他们一季度家庭人均收入的数据出现最多的是0.89，
因此众数是0.89，即d＝0.89，
故答案为：5，3，0.82，0.89；
（2）300× ＝210（户），
答：估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数有210户；
（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能超过村里一半以上的家庭，
理由：该村300户家庭一季度家庭人均收入的中位数是0.82，0.83＞0.82，
所以该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能超过村里一半以上的家庭．
22．（7分）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从
被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝
70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，
tan70°≈2.75）
【分析】利用勾股定理求出OM，证明△COM∽△BOD，求出BD，在△AOD中，利用
三角函数的定义求出AB即可．
【解答】解：∵CM＝3m，OC＝5m，∴OM＝ ＝4（m），
∵∠CMO＝∠BDO＝90°，∠COM＝∠BOD，
∴△COM∽△BOD，
∴ ，即 ，
∴BD＝ ＝2.25（m），
∴tan∠AOD＝tan70°＝ ，
即 ≈2.75（m），
解得：AB＝6m，
∴汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童．
23．（9分）已知函数y＝
（1）画出函数图象；
列表：
x … ﹣ 3 ﹣ 2 ﹣ 1 0 1 2 3 4 …
y … ﹣ 1 ﹣ 3 0 3 1 .…
描点，连线得到函数图象：（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；
（3）设（x ，y ），（x ，y ）是函数图象上的点，若x +x ＝0，证明：y +y ＝0．
1 1 2 2 1 2 1 2
【分析】（1）选取特殊值，代入函数解析式，求出y值，列表，在图像中描点，画出
图像即可；
（2）观察图像可得函数的最大值；
（3）根据x +x ＝0，得到x 和x 互为相反数，再分﹣1＜x ＜1，x ≤﹣1，x ≥1，分别
1 2 1 2 1 1 1
验证y +y ＝0．
1 2
【解答】解：（1）列表如下：
x ．．． ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 ．．．
y ．．． ﹣1 ﹣3 0 3 1 ．．．
函数图像如图所示：（2）根据图像可知：
当x＝1时，函数有最大值3；
（3）∵(x ,x )是函数图象上的点，x +x ＝0，
1 2 1 2
∴x 和x 互为相反数，
1 2
当﹣1＜x ＜1时，﹣1＜x ＜1，
1 2
∴y ＝3x ，y ＝3x ，
1 1 2 2
∴y +y ＝3x +3x ＝3（x +x ）＝0；
1 2 1 2 1 2
当x ≤﹣1时，x ≥1，
1 2
则y +y ＝ ＝0；
1 2
同理：当x ≥1时，x ≤﹣1，
1 2
y +y ＝0，
1 2
综上：y +y ＝0．
1 2
24．（9分）如图，已知在 O中， ＝ ＝ ，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC； ⊙
（2）四边形BCDE为菱形．
【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADBADB＝∠CBDCBD，根据平行线的
判定可得结论；
（2）证明△DEFDEF≌△BCFBCF，得到DE＝BCDE＝BC，证明四边形BCDEBCDE为
平行四边形，再根据 得到BCC＝CDCD，从而证明菱形．
【解答】解：（1）连接BD，
∵ ，
∴∠ADBADB＝∠CBD，∴ADAD∥BCBC；
（2）连接CD，
∵ADAD∥BBC，
∴∠EDFEDF＝∠CBFCB，
∵ ，
∴BCC＝CDCD，
∴BFBF＝DF，又∠DFE＝∠BFBFC，
∴△DEFDEF≌△BCF（ASAa），
∴DE＝BCDE＝BC，
∴四边形BCDEBCDE是平行四边形，又BCBC＝CD，
∴四边形BCDEBCDE是菱形．
25．（11分）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减
速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的
关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
【分析】（1）根据图像分别求出一次函数和二次函数解析式，令v＝9求出t，代入求出s即可；
（2）分析得出当v＝10m/s时，两车之间距离最小，代入计算即可．
【解答】解：（1）由图可知：二次函数图像经过原点，
设二次函数表达式为s＝at2+bt，一次函数表达式为v＝kt+c，
∵一次函数经过（0，16），（8，8），
则 ，解得： ，
∴一次函数表达式为v＝﹣t+16，
令v＝9，则t＝7，
∴当t＝7时，速度为9m/s，
∵二次函数经过（2，30），（4，56），
则 ，解得： ，
∴二次函数表达式为 ，
令t＝7，则s＝ ＝87.5，
∴当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m；
（2）∵当t＝0时，甲车的速度为16m/s，
∴当10＜v＜16时，两车之间的距离逐渐变小，
当0＜v＜10时，两车之间的距离逐渐变大，
∴当v＝10m/s时，两车之间距离最小，
将v＝10代入v＝﹣t+16中，得t＝6，
将t＝6代入 中，得s＝78，
此时两车之间的距离为：10×6+20﹣78＝2m，
∴6秒时两车相距最近，最近距离是2米．
26．（13分）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，
点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交
于点G，M，连接HC．
（1）求证：AG＝GH；
（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？
【分析】(1)由折叠的性质得出∠BAG＝∠GAF＝ ∠BAF,B,F关于AE对称,证出∠EAH
＝ BAD＝45°,由等腰直角三角形的性质得出答案；
(2)连接DH,DF,交AH于点N,由(1)可知AF＝AD,∠FAH＝∠DAH,得出∠DHF＝90°,由勾
股定理求出 AE＝ ,证明△AEB∽△ABG,得出比例线段 , ,可求出
AG,BG的长,则可求出答案．
(3)方法一:连接BD,由锐角三角函数的定义求出 ,证明△BDF∽△CDH,由相似三
角形的性质得出∠CDH＝∠BFD,则可得出答案．
方法二:连接BD,证出点B,C,H,D四点共圆,则可得出结论．
【解答】(1)证明:∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，
∴∠BAG＝∠GAF＝ ∠BAF,B,F关于AE对称,
∴AG⊥BF,
∴∠AGF＝90°,
∵AH平分∠DAF,
∴∠FAH＝ ∠FAD,
∴∠EAH＝∠GAF+∠FAH＝ ∠BAF+ ∠FAD＝ (∠BAF+∠FAD)＝ ∠BAD,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD＝90°,∴∠EAH＝ ∠BAD＝45°,
∵∠HGA＝90°,
∴GA＝GH；
(2)解:如图1,连接DH,DF,交AH于点N,
由(1)可知AF＝AD,∠FAH＝∠DAH,
∴AH⊥DF,FN＝DN,
∴DH＝HF,∠FNH＝∠DNH＝90°,
又∵∠GHA＝45°,
∴∠FNH＝45°＝∠NDH＝∠DHN,
∴∠DHF＝90°,
∴DH的长为点D到直线BH的距离,
由(1)知AE2＝AB2+BE2,
∴AE＝ ＝ ＝ ,
∵∠BAE+∠AEB＝∠BAE+∠ABG＝90°,
∴∠AEB＝∠ABG,
又∠AGB＝∠ABE＝90°,
∴△AEB∽△ABG,
∴ , ,
∴AG＝ ＝ ,
∴BG＝ ,
由(1)知GF＝BG,AG＝GH,∴GF＝ ,GH＝ ,
∴DH＝FH＝GH﹣GF＝ ＝ ．
即点D到直线BH的距离为 ；
(3)不变．
理由如下:
方法一:连接BD,如图2,
在Rt△HDF中, ,
在Rt△BCD中, ＝sin45°＝ ,
∴ ,
∵∠BDF+∠CDH＝45°,∠FDC+∠CDH＝45°,
∴∠BDF＝∠CDH,
∴△BDF∽△CDH,
∴∠CDH＝∠BFD,
∵∠DFH＝45°,
∴∠BFD＝135°＝∠CHD,
∵∠BHD＝90°,
∴∠BHC＝∠CHD﹣∠BHD＝135°﹣90°＝45°．
方法二:
∵∠BCD＝90°,∠BHD＝90°,
∴点B,C,H,D四点共圆,∴∠BHC＝∠BDC＝45°,
∴∠BHC的度数不变．
