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2021年江苏省淮安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2021•淮安） 的绝对值为
A． B．5 C． D．
2．（3分）（2021•淮安）第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，
具有大学文化程度的人数约为218360000，将218360000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（3分）（2021•淮安）计算 的结果是
A． B． C． D．
4．（3分）（2021•淮安）如图所示的几何体的俯视图是
A． B． C． D．
5．（3分）（2021•淮安）下列事件是必然事件的是
A．没有水分，种子发芽
B．如果 、 都是实数，那么
C．打开电视，正在播广告
D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
6．（3分）（2021•淮安）如图，直线 、 被直线 所截，若 ， ，则 的
第1页（共29页）度数是
A． B． C． D．
7．（3分）（2021•淮安）如图，在 中， 的垂直平分线分别交 、 于点 、
，连接 ，若 ， ，则 的长是
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（3分）（2021•淮安）《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中
《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而
亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若
得到乙所有钱的 ，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的 ，则乙也有50钱．问甲、乙各
持钱多少？设甲持钱数为 钱，乙持钱数为 钱，列出关于 、 的二元一次方程组是
A． B．
第2页（共29页）C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2021•淮安）分解因式： ．
10．（3分）（2021•淮安）现有一组数据4、5、5、6、5、7，这组数据的众数是 ．
11．（3分）（2021•淮安）方程 的解是 ．
12．（3分）（2021•淮安）若圆锥的侧面积为 ，底面半径为3，则该圆锥的母线长是
．
13．（3分）（2021•淮安）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则
第三边的长是 ．
14．（3分）（2021•淮安）如图，正比例函数 和反比例函数 图象相交于 、
两点，若点 的坐标是 ，则点 的坐标是 ．
15．（3分）（2021•淮安）如图， 是 的直径， 是 的弦， ，则
的度数是 ．
16．（3分）（2021•淮安）如图（1）， 和△ 是两个边长不相等的等边三角
第3页（共29页）形，点 、 、 、 都在直线 上， 固定不动，将△ 在直线 上自左向右
平移．开始时，点 与点 重合，当点 移动到与点 重合时停止．设△ 移动的
距离为 ，两个三角形重叠部分的面积为 ， 与 之间的函数关系如图（2）所示，则
的边长是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共102分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤）
17．（10分）（2021•淮安）（1）计算： ；
（2）解不等式组： ．
18．（8分）（2021•淮安）先化简，再求值： ，其中 ．
19．（8分）（2021•淮安）已知：如图，在 中，点 、 分别在 、 上，
且 平分 ， ．求证：四边形 是菱形．
20．（8分）（2021•淮安）市环保部门为了解城区某一天 时噪声污染情况，随机抽
取了城区部分噪声测量点这一时刻的测量数据进行统计，把所抽取的测量数据分成 、 、
、 、 五组，并将统计结果绘制了两幅不完整的统计图表．
组别 噪声声级 频数
4
第4页（共29页）10
8
请解答下列问题：
（1） ， ；
（2）在扇形统计图中 组对应的扇形圆心角的度数是 ；
（3）若该市城区共有400个噪声测量点，请估计该市城区这一天 时噪声声级低于
的测量点的个数．
21．（8分）（2021•淮安）在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别
为1、2、 ．现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字
后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字．
（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率．
22．（8分）（2021•淮安）如图，平地上一幢建筑物 与铁塔 相距 ，在建筑物
的顶部 处测得铁塔顶部 的仰角为 、铁塔底部 的俯角为 ，求铁塔 的高度．
（参考数据： ， ， ， ， ，
第5页（共29页）23．（8分）（2021•淮安）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1个单位长度，
的顶点 、 、 都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺
按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．
（1）将 绕点 按顺时针方向旋转 ，点 的对应点为 ，点 的对应点为 ，
画出△ ；
（2）连接 ， 的面积为 ；
（3）在线段 上画一点 ，使得 的面积是 面积的 ．
24．（8分）（2021•淮安）如图，在 中， ，点 是 的中点，以
为直径的 与 边交于点 ，连接 ．
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求 的直径．
第6页（共29页）25．（10分）（2021•淮安）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该
商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个
月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为 元，每个月的销售量为 件．
（1）求 与 的函数表达式；
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
26．（12分）（2021•淮安）【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全
等（简称‘ ’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在 中， ， ，点 、 分别在边 、 上．若
，则线段 和线段 的数量关系是 ．
【拓展延伸】
在 中， ， ，点 在边 上．
（1）若点 在边 上，且 ，如图（2）所示，则线段 与线段 相等吗？如
果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点 在 的延长线上，且 ．试探究线段 与线段 的数量关系（用
含有 、 的式子表示），并说明理由．
27．（14分）（2021•淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图
第7页（共29页）象与 轴交于点 和点 ，顶点为点 ，动点 、 在 轴上（点 在点 的
左侧），在 轴下方作矩形 ，其中 ， ．矩形 沿 轴以每秒1
个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点 的坐标为 ，当点 与点 重
合时停止运动，设运动的时间为 秒 ．
（1） ， ．
（2）连接 ，求直线 的函数表达式．
（3）在矩形 运动的过程中， 所在直线与该二次函数的图象交于点 ， 所
在直线与直线 交于点 ，是否存在某一时刻，使得以 、 、 、 为顶点的四边
形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
（4）连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ，直接写出在矩形 整个运动过程
中点 运动的路径长．
第8页（共29页）2021年江苏省淮安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2021•淮安） 的绝对值为
A． B．5 C． D．
【解答】解： 的绝对值为5，
故选： ．
2．（3分）（2021•淮安）第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，
具有大学文化程度的人数约为218360000，将218360000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
故选： ．
3．（3分）（2021•淮安）计算 的结果是
A． B． C． D．
【解答】解： ．
故选： ．
4．（3分）（2021•淮安）如图所示的几何体的俯视图是
第9页（共29页）A． B． C． D．
【解答】解：从上面看该几何体，所看到的图形如下：
故选： ．
5．（3分）（2021•淮安）下列事件是必然事件的是
A．没有水分，种子发芽
B．如果 、 都是实数，那么
C．打开电视，正在播广告
D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
【解答】解： 、没有水分，种子发芽，是不可能事件，本选项不符合题意；
、如果 、 都是实数，那么 ，是必然事件，本选项符合题意；
、打开电视，正在播广告，是随机事件，本选项不符合题意；
、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，本选项不符合题意；
故选： ．
6．（3分）（2021•淮安）如图，直线 、 被直线 所截，若 ， ，则 的
度数是
A． B． C． D．
第10页（共29页）【解答】解：
，
，
，
，
故选： ．
7．（3分）（2021•淮安）如图，在 中， 的垂直平分线分别交 、 于点 、
，连接 ，若 ， ，则 的长是
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解： 是 的垂直平分线， ，
，
，
故选： ．
8．（3分）（2021•淮安）《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中
《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而
亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若
得到乙所有钱的 ，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的 ，则乙也有50钱．问甲、乙各
第11页（共29页）持钱多少？设甲持钱数为 钱，乙持钱数为 钱，列出关于 、 的二元一次方程组是
A． B．
C． D．
【解答】解：设甲、乙的持钱数分别为 ， ，
根据题意可得： ，
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2021•淮安）分解因式： ．
【解答】解： ．
10．（3分）（2021•淮安）现有一组数据4、5、5、6、5、7，这组数据的众数是 5 ．
【解答】解：这组数据中出现次数最多的是5，共出现3次，因此众数是5，
故答案为：5．
11．（3分）（2021•淮安）方程 的解是 ．
【解答】解： ，
方程两边都乘以 ，得 ，
解得： ，
检验：当 时， ，所以 是原方程的解，
即原方程的解是 ，
故答案为： ．
12．（3分）（2021•淮安）若圆锥的侧面积为 ，底面半径为3，则该圆锥的母线长是
第12页（共29页）6 ．
【解答】解：底面半径为3，则底面周长 ，
设圆锥的母线长为 ，
圆锥的侧面积 ．
解得： ，
故答案为：6．
13．（3分）（2021•淮安）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则
第三边的长是 4 ．
【解答】解：设第三边为 ，根据三角形的三边关系知，
，即 ，
又 第三边的长是偶数，
为4．
故答案为：4．
14．（3分）（2021•淮安）如图，正比例函数 和反比例函数 图象相交于 、
两点，若点 的坐标是 ，则点 的坐标是 ．
【解答】解： 正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
、 两点关于原点对称，
的坐标为 ，
的坐标为 ．
故答案为： ．
15．（3分）（2021•淮安）如图， 是 的直径， 是 的弦， ，则
的度数是 ．
第13页（共29页）【解答】解： 是 的直径，
，
，
，
．
故答案为： ．
16．（3分）（2021•淮安）如图（1）， 和△ 是两个边长不相等的等边三角
形，点 、 、 、 都在直线 上， 固定不动，将△ 在直线 上自左向右
平移．开始时，点 与点 重合，当点 移动到与点 重合时停止．设△ 移动的
距离为 ，两个三角形重叠部分的面积为 ， 与 之间的函数关系如图（2）所示，则
的边长是 5 ．
【解答】解：当点 移动到点 时，重叠部分的面积不再变化，
根据图象可知 ， ，
过点 作 ，
则 为△ 的高，
第14页（共29页）△ 是等边三角形，
，
，
，
，
解得 （舍 或 ，
当点 移动到点 时，重叠部分的面积开始变小，
根据图像可知 ，
的边长是5，
故答案为5．
三、解答题（本大题共11小题，共102分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤）
17．（10分）（2021•淮安）（1）计算： ；
（2）解不等式组： ．
【解答】解：（1）原式 ；
（2）解不等式 ，得： ，
第15页（共29页）解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ．
18．（8分）（2021•淮安）先化简，再求值： ，其中 ．
【解答】解：
，
当 时，原式 ．
19．（8分）（2021•淮安）已知：如图，在 中，点 、 分别在 、 上，
且 平分 ， ．求证：四边形 是菱形．
【解答】证明： 四边形 是平行四边形，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
平分 ，
，
，
，
，
，
平行四边形 是菱形．
20．（8分）（2021•淮安）市环保部门为了解城区某一天 时噪声污染情况，随机抽
取了城区部分噪声测量点这一时刻的测量数据进行统计，把所抽取的测量数据分成 、 、
第16页（共29页）、 、 五组，并将统计结果绘制了两幅不完整的统计图表．
组别 噪声声级 频数
4
10
8
请解答下列问题：
（1） 1 2 ， ；
（2）在扇形统计图中 组对应的扇形圆心角的度数是 ；
（3）若该市城区共有400个噪声测量点，请估计该市城区这一天 时噪声声级低于
的测量点的个数．
【解答】解：（1） 样本容量为 ，
，
，
故答案为：12、6；
（2）在扇形统计图中 组对应的扇形圆心角的度数是 ，
故答案为：72；
（ 3 ） 估 计 该 市 城 区 这 一 天 时 噪 声 声 级 低 于 的 测 量 点 的 个 数 为
（个 ．
21．（8分）（2021•淮安）在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别
为1、2、 ．现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字
第17页（共29页）后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字．
（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率．
【解答】解：（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ，
故答案为： ；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上数字都为正数的有4种结果，
所以两次抽出的卡片上数字都为正数的概率为 ．
22．（8分）（2021•淮安）如图，平地上一幢建筑物 与铁塔 相距 ，在建筑物
的顶部 处测得铁塔顶部 的仰角为 、铁塔底部 的俯角为 ，求铁塔 的高度．
（参考数据： ， ， ， ， ，
【解答】解：如图，过 作 ，垂足为 ．
第18页（共29页）则 ，
在 中， ，
在 中， ，
．
答：铁塔 的高度约为 ．
23．（8分）（2021•淮安）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1个单位长度，
的顶点 、 、 都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺
按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．
（1）将 绕点 按顺时针方向旋转 ，点 的对应点为 ，点 的对应点为 ，
画出△ ；
（2）连接 ， 的面积为 ；
（3）在线段 上画一点 ，使得 的面积是 面积的 ．
【解答】解：（1）如图：
第19页（共29页）图中△ 即为要求所作三角形；
（2） ，由旋转性质知 ， ，
的面积为 ，
故答案为： ；
（3）连接 交 于 ，即为所求点 ，理由如下：
，
△ ，
，
，
的面积 面积的 ．
24．（8分）（2021•淮安）如图，在 中， ，点 是 的中点，以
为直径的 与 边交于点 ，连接 ．
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求 的直径．
第20页（共29页）【解答】（1）证明：连接 ，如图，
， 为 的中点，
，
，
又 ，
，
而 ，
，即 ，
，
与 相切；
（2）由（1）得， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
第21页（共29页），
，
直径的长为 ．
25．（10分）（2021•淮安）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该
商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个
月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为 元，每个月的销售量为 件．
（1）求 与 的函数表达式；
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）根据题意，
与 的函数表达式为： ；
（2）设每个月的销售利润为 ，
由（1）知： ，
，
每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．
26．（12分）（2021•淮安）【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全
等（简称‘ ’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在 中， ， ，点 、 分别在边 、 上．若
，则线段 和线段 的数量关系是 ．
第22页（共29页）【拓展延伸】
在 中， ， ，点 在边 上．
（1）若点 在边 上，且 ，如图（2）所示，则线段 与线段 相等吗？如
果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点 在 的延长线上，且 ．试探究线段 与线段 的数量关系（用
含有 、 的式子表示），并说明理由．
【解答】【简单应用】解：如图（1）中，结论： ．
理由： ， ， ，
，
．
故答案为： ．
【拓展延伸】解：①结论： ．
理由：如图（2）中，过点 作 交 的延长线于 ，过点 作 交
的延长线于 ．
， ， ，
，
， ，
， ， ，
第23页（共29页），
，
，
．
②如图（3）中，结论： ．
理由：在 上取一点 ，使得 ，则 ．过点 作 于 ．
， ，
，
，
，
，
．
27．（14分）（2021•淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图
象与 轴交于点 和点 ，顶点为点 ，动点 、 在 轴上（点 在点 的
左侧），在 轴下方作矩形 ，其中 ， ．矩形 沿 轴以每秒1
个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点 的坐标为 ，当点 与点 重
第24页（共29页）合时停止运动，设运动的时间为 秒 ．
（1） ， ．
（2）连接 ，求直线 的函数表达式．
（3）在矩形 运动的过程中， 所在直线与该二次函数的图象交于点 ， 所
在直线与直线 交于点 ，是否存在某一时刻，使得以 、 、 、 为顶点的四边
形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
（4）连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ，直接写出在矩形 整个运动过程
中点 运动的路径长．
【解答】解：（1）把 、 代入 ，
得 ，解得 ，
故答案为： ，
（2） ，
该抛物线的顶点坐标为 ；
设直线 的函数表达式为 ，
第25页（共29页）则 ，解得 ，
．
（3）存在，如图1、图2．
由题意得， ， ，
， ；
，且 ，
，解得 ，且 ；
，
当 时，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
；
由 得， ，
解得， ， （不符合题意，舍去）；
由 得， ，
解得， ， （不符合题意，舍去），
综上所述， 或 ．
（4）由（2）得，抛物线 的对称轴为直线 ，
过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，交 轴于点 ，
如图3，点 在 轴左侧，此时点 在点 的上方，
第26页（共29页）当点 的坐标为 时，点 的位置最高，
此时点 与点 重合，
， ，
，
，
，
；
如图4，为原图象的局部入大图，
当点 在 轴右侧且在直线 左侧，此时点 的最低位置在点 下方，
由 ，
得， ，
；
设点 的坐标为 ， ，则 ，
，
当 时， 的最大值为 ，
；
如图5，为原图象的缩小图，
当点 在直线 右侧，则点 在点 的上方，
当点 与点 重合时，点 的位置最高，
由 ，
得， ，
第27页（共29页），
，
，
点 运动路径的长为 ．
第28页（共29页）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/9/13 17:18:00；用户：初中数学61；邮箱：ydyd61@xyh.com；学号：36810736
第29页（共29页）
