文档内容
浙江省2021年中考（湖州市）
数学试题卷
卷 I
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的
选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分．
1．实数﹣2的绝对值是
A．﹣2 B．2 C． D．
2．化简 的正确结果是
A．4 B．±4 C． D．
3．不等式 的解集是
A． B． C． D．
4．下列事件中，属于不可能事件的是
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天
D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
5．将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得
到的图形可能是
6．如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是
A．60° B．70° C．80° D．90°
7．已知a，b是两个连续整数，a＜ ﹣1＜b，则a，b分别是A．﹣2，﹣1 B．﹣1，0 C．0，1 D．1，2
8．如图，已知在△ABC中，∠ABC＜90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线，按下列步骤
作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点
M，N；②过点M，N作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连结CO，DE．则下
列结论错误的是
A．OB＝OC B．∠BOD＝∠COD C．DE∥AB D．DB＝DE
9．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，点P是AD边上的一个动点，连结
BP，点C关于直线BP的对称点为C ，当点P运动时，点C 也随之运动．若点P从点
1 1
A运动到点D，则线段CC 扫过的区域的面积是
1
A． B． C． D．
10．已知抛物线 (a≠0)与x轴的交点为A(1，0)和B(3，0)，点P( ， )，
1
P( ， )是抛物线上不同于A，B的两个点，记△PAB的面积为S ，△PAB的面
2 1 1 2
积为S ．有下列结论：①当 时， ；②当 时， ；③当
2
时， ；④当 时， ．其中正确结论的
个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
卷 II
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．计算： ＝ ．
12．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是 ．
13．某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同．若以每1000张奖券为一个
开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其他奖项，则只抽1张奖券恰好中奖的
概率是 ．
14．为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星
（A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点），则图中∠A的度数是 度．
15．已知在平面直角坐标系 xOy中，点A的坐标为(3，4)，M是抛物线
(a≠0)对称轴上的一个动点，小明经探究发现：当 的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定．若抛物线 (a≠0)
的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则 的值是 ．
16．由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事
如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼
成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（本小题6分）
计算： ．
18．（本小题6分）
解分式方程： ．
19．（本小题6分）
如图，已知经过原点的抛物线 与x轴交于另一点A(2，0)．
（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；
（2）求直线AM的解析式．20．（本小题8分）
为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了：A．
党史宣讲；B．歌曲演唱；C．校刊编撰；D．诗歌创作等四个小组，团支部将各组人数情
况制成了如下统计图表（不完整）．
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）求a和m的值；
（2）求扇形统计图中D所对应的圆心角度数；
（3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示：
小组类别 A B C D
平均用时（小时） 2.5 3 2 3
求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间．
21．（本小题8分）
如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是 所对的圆周角，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的
长．22．（本小题10分）
今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为
4万人，五月份为5.76万人．
（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；
（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当
甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票
的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10
元，求景区六月份的门票总收人；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门
票总收入有最大值？最大值是多少万元？
23．（本小题10分）
已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP＝ ，求BC的长；
（2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝
AC，求证：BC＝2AP；
（3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC时，BC＝2AP？若存
在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．24．（本小题12分）
已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数 (x＞0)图象上的一个动点，连
结AO，AO的延长线交反比例函数 (k＞0，x＜0)的图象于点B，过点A作AE⊥y轴
于点E．
（1）如图1，过点B作BF⊥x轴于点F，连结EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO
是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．
（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数 (k＞0，x＜0)的图象于点P，连
结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？
请说明理由．浙江省2021年初中学业水平考试（湖州市）
数学试题卷
卷 I
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的
选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分．
1．实数﹣2的绝对值是
A．﹣2 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】 ，故选B
2．化简 的正确结果是．
A．4 B．±4 C． D．
【答案】C
【解析】 ，故选C．
3．不等式 的解集是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，移项得 ，解得 ，故选A．
4．下列事件中，属于不可能事件的是
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天
D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
【答案】D【解析】从一个只装有白球和红球的袋中摸球，可能摸出白球或红球，不可能摸出黄球，
故选D．
5．将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得
到的图形可能是
【答案】A
【解析】本题考查长方体的展开图问题，属于基础题，选项A符合题意．
6．如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】C
【解析】本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系，∠BOC＝2∠A＝80°，选C．
7．已知a，b是两个连续整数，a＜ ﹣1＜b，则a，b分别是
A．﹣2，﹣1 B．﹣1，0 C．0，1 D．1，2
【答案】C
【解析】 ，与0.7相邻的连续整数是0和1，选C．
8．如图，已知在△ABC中，∠ABC＜90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线，按下列步骤
作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点
M，N；②过点M，N作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连结CO，DE．则下
列结论错误的是
A．OB＝OC B．∠BOD＝∠COD C．DE∥AB D．DB＝DE
【答案】D【解析】∵OD垂直平分BC，所以OB＝OC，故A正确；
根据三线合一可知OD平分∠BOC，故B正确；
易知DE是三角形的中位线，所以有DE∥AB，故C正确．综上，选D．
9．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，点P是AD边上的一个动点，连结
BP，点C关于直线BP的对称点为C ，当点P运动时，点C 也随之运动．若点P从点
1 1
A运动到点D，则线段CC 扫过的区域的面积是
1
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，C 运动的路径是以B为圆心， 为半径，圆心角为120°的弧上运动，故
1
线段CC 扫过的区域是一个圆心角为120°的扇形＋一个以 为边长的等边三角
1
形，故S＝ ，故选B．
10．已知抛物线 (a≠0)与x轴的交点为A(1，0)和B(3，0)，点P( ， )，
1
P( ， )是抛物线上不同于A，B的两个点，记△PAB的面积为S ，△PAB的面
2 1 1 2
积为S ．有下列结论：①当 时， ；②当 时， ；③当
2
时， ；④当 时， ．其中正确结论的
个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由于 ， 的底相同，当 时，P 到AB的距离＞P 到AB的距
1 2
离，故③正确，其他选项无法比较P，P 与x轴距离的远近，故选A．
1 2卷 II
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．计算： ＝ ．
【答案】1
【解析】 ．
12．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是 ．
【答案】
【解析】sinB＝ ．
13．某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同．若以每1000张奖券为一个
开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其他奖项，则只抽1张奖券恰好中奖的
概率是 ．
【答案】
【解析】设恰好中奖为时间A，则P(A)＝ ．
14．为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星
（A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点），则图中∠A的度数是 度．
【答案】36
【解析】首先根据正五边形的内角和计算公式，求出每个内角的度数为108°，即∠ABC＝
∠BAE＝108°，那么等腰△ABC的底角∠BAC＝36°，同理可求得∠DAE＝36°，
故∠CAD＝∠BAE﹣∠BAC﹣∠EAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°．其实正五角星的五
个角是36°，可以作为一个常识直接记住．
15．已知在平面直角坐标系 xOy中，点A的坐标为(3，4)，M是抛物线
(a≠0)对称轴上的一个动点，小明经探究发现：当 的值确定时，抛物线的对称轴上
能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定．若抛物线 (a≠0)的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则 的值是 ．
【答案】2或﹣8
【解析】由题意知，以OA的直径的圆与直线 相切，则 ，解得 ＝2
或﹣8．
16．由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事
如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼
成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是 ．
【答案】 ﹣1
【解析】如图，CD＝1，DG＝ ，则求得CG＝ ，根据△CDG∽△DEG，可求得DE
＝ ，∴AE＝1﹣ ，∴AB＝ AE＝ ﹣1．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（本小题6分）
计算： ．
【答案】
【解析】解：原式
．
18．（本小题6分）解分式方程： ．
【答案】
【解析】解：
．
经检验， 是原方程的解．
19．（本小题6分）
如图，已知经过原点的抛物线 与x轴交于另一点A(2，0)．
（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；
（2）求直线AM的解析式．
【答案】（1）﹣4，(1，﹣2)；（2） ．
【解析】解：（1）∵抛物线 过点 ，
，解得 ，
，
∴顶点 的坐标是 ．
（2）设直线 的解析式为 ，
∵图象过 ，
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
20．（本小题8分）
为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了：A．
党史宣讲；B．歌曲演唱；C．校刊编撰；D．诗歌创作等四个小组，团支部将各组人数情
况制成了如下统计图表（不完整）．根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）求a和m的值；
（2）求扇形统计图中D所对应的圆心角度数；
（3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示：
小组类别 A B C D
平均用时（小时） 2.5 3 2 3
求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间．
【答案】（1）20，20；（2）36°；（3）2.6小时．
【解析】解：（1）由题意可知四个小组所有成员总人数是 （人）．
，
．
．
（2） ，
∴扇形统计图中 所对应的圆心角度数是 ．
（3） （小时），
∴这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间是2.6小时．
21．（本小题8分）
如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是 所对的圆周角，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的
长．【答案】（1）60°；（2） ．
【解析】解：（1）连结 ，
，
，
是 的直径，
，
．
（2） ，
，
，且 是直径，
，
．
22．（本小题10分）
今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为
4万人，五月份为5.76万人．
（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；
（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当
甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票
的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10
元，求景区六月份的门票总收人；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门
票总收入有最大值？最大值是多少万元？
【答案】（1）20%；（2）①798；②24，817.6
【解析】解：（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为 ，由题意，得
解这个方程，得 （舍去）
答：四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长20%．
（2）①由题意，得
（万元）
答：景区六月份的门票总收入为798万元．
②设丙种门票价格降低 元，景区六月份的门票总收人为 万元，
由题意，得
化简，得 ，
，
∴当 时， 取最大值，为817.6万元．
答：当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收人有最大值，为817.6
万元．
23．（本小题10分）
已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP＝ ，求BC的长；
（2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝
AC，求证：BC＝2AP；
（3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC时，BC＝2AP？若存
在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）略；（3） ．
【解析】（1）解： ， ，
，
，
是等边三角形，是 的中点，
，
在 中， ， ，
．
（2）证明：连结 ， ，
，
，
，
，
，
，
又 ，
， 是等边三角形，
，
，
又 ，
， ， ．
（3）存在这样的 ．
24．（本小题12分）
已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数 (x＞0)图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数 (k＞0，x＜0)的图象于点B，过点A作AE⊥y轴
于点E．
（1）如图1，过点B作BF⊥x轴于点F，连结EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO
是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．
（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数 (k＞0，x＜0)的图象于点P，连
结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？
请说明理由．
【答案】（1）①略；②1；（2）不变．
【解析】解：（1）①证明 设点 的坐标为 ，
则当 时，点 的坐标为 ，
，
轴，
，
∴四边形 是平行四边形．
②解 过点 作 轴于点 ，
轴，
，
，
，∴当 时， ，即 ．
．
（2）解：不改变．
理由如下：
过点 作 轴于点 与 轴交于点 ，
设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
则 ，
由题意，可知 ，四边形 是平行四边形，
，
即 ，
，解得 ，
异号， ，
，
．
∴对于确定的实数 ，动点 在运动过程中， 的面积不会发生变化．
