文档内容
2021年湖南省益阳市中考数学试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．（4分）（2021•益阳）﹣2021的相反数等于（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．（4分）（2021•益阳）已知a≠0，下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．3a•2a＝6a C．a3÷a2＝a D．（2a）3＝6a3
3．（4分）（2021•益阳）将 化为最简二次根式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）（2021•益阳）解方程组 时，若将①﹣②可得（ ）
A．﹣2y＝﹣1 B．﹣2y＝1 C．4y＝1 D．4y＝﹣1
5．（4分）（2021•益阳）正比例函数y＝2x与反比例函数y＝ 的图象或性质的共有特征
之一是（ ）
A．函数值y随x的增大而增大
B．图象在第一、三象限都有分布
C．图象与坐标轴有交点
D．图象经过点（2，1）
6．（4分）（2021•益阳）以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（
）
A． B．
第1页（共23页）C． D．
7．（4分）（2021•益阳）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，则∠EAB等于（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
8．（4分）（2021•益阳）如图，在△ABC中，AC＞BC，B为圆心，以大于 ，两弧交于
D，E，经过D，AC于点M，N，连接BN（ ）
A．AN＝NC B．AN＝BN C．MN＝ BC D．BN平分∠ABC
9．（4分）（2021•益阳）小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工，公司承诺：正常上
班的工资为200元/天，不能正常上班（如下雨），如果某月（30天）正常上班的天数
占80%（ ）
A．140元 B．160元 C．176元 D．182元
10．（4分）（2021•益阳）如图，已知 ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动
（不含端点），△BPC的面积为y，则▱y关于x的函数图象大致是（ ）
第2页（共23页）A． B．
C． D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分.请将答案填在答题卡中对应题号的横
线上）
11．（4分）（2021•益阳）若实数a的立方等于27，则a＝ ．
12．（4分）（2021•益阳）一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 ．
13．（4分）（2021•益阳）已知x满足不等式组 ，写出一个符合条件的x的值
．
14．（4分）（2021•益阳）小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰
刀中选用一种劳动工具，则他选到锄头的概率是 ．
15．（4分）（2021•益阳）已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 11 a 3 2 3 6 11 …
由此判断，表中a＝ ．
16．（4分）（2021•益阳）如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，则
∠AOD＝ 度．
第3页（共23页）17．（4分）（2021•益阳）如图，已知四边形 ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，
③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形 （限填
序号）．
18．（4分）（2021•益阳）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90° ，将△ABC绕A点顺时针方
向旋转角 （0°＜ ＜90°）得到△AB′C′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比
等于 α ． α
三、解答题（本题共8个小题，共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（2021•益阳）先化简，再求值： ，其中a＝2．
20．（8分）（2021•益阳）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，求AC的长．
第4页（共23页）21．（8分）（2021•益阳）如图，已知点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，将
点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上．
（1）求点A的坐标；
（2）确定该反比例函数的表达式．
22．（10分）（2021•益阳）为了促进全民健身活动的开展，某镇准备兴建一座休闲公园．
为了解群众的运动需求，对周边爱好运动的居民的运动偏好进行了随机调查（每人限填
一项）（综合类含舞蹈、太极拳等其他项目）．
（1）本次被调查的居民人数是多少？
（2）补全条形统计图；
（3）若该休闲公园辐射周边居民约1万人，爱好运动者占80%，请由此估计周边爱好
第5页（共23页）运动的居民中偏好器械锻炼的人数．
23．（10分）（2021•益阳）“2021湖南红色文化旅游节﹣﹣重走青年毛泽东游学社会调
查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一
群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量．如图所示，塔顶 D的仰角
∠DAC＝38°，斜坡AB＝50米（精确到1米）．
（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，
tan38°≈0.78）
24．（10分）（2021•益阳）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）﹣益
（阳）（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的
长益城际铁路全长缩短了40千米；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速
度是开通后的高铁的 ．
（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？
（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工
的长度比为7：9，计划40天完成，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工
程提早3天以上（含3天），那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？
25．（12分）（2021•益阳）如图，在等腰锐角三角形 ABC中，AB＝AC，延长BD交
△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，BC的延长线交于点G．
（1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；
（2）求证：①BD＝CF；
②BD2＝DE2+AE•EG．
第6页（共23页）26．（12分）（2021•益阳）已知函数y＝ 的图象如图所示，点A（x ，y ）在
1 1
第一象限内的函数图象上．
（1）若点B（x ，y ）也在上述函数图象上，满足x ＜x ．
2 2 2 1
①当y ＝y ＝4时，求x ，x 的值；
2 1 1 2
②若|x |＝|x |，设w＝y ﹣y ，求w的最小值；
2 1 1 2
（2）过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，垂足为Q，Q
关于直线AP′的对称点为Q′，求出这个定点的坐标；若不是
第7页（共23页）2021年湖南省益阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．（4分）（2021•益阳）﹣2021的相反数等于（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【解答】解：﹣2021的相反数是2021，
故选：A．
2．（4分）（2021•益阳）已知a≠0，下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．3a•2a＝6a C．a3÷a2＝a D．（2a）3＝6a3
【解答】解：A．3a﹣2a＝a；
B．4a•2a＝6a3，故此选项不合题意；
C．a3÷a2＝a，故此选项符合题意；
D．（5a）3＝8a2，故此选项不合题意；
故选：C．
3．（4分）（2021•益阳）将 化为最简二次根式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解： ＝ ＝ ，
故选：D．
4．（4分）（2021•益阳）解方程组 时，若将①﹣②可得（ ）
A．﹣2y＝﹣1 B．﹣2y＝1 C．4y＝1 D．4y＝﹣1
【解答】解： ，
①﹣②，得7y＝﹣1，
故选：D．
第8页（共23页）5．（4分）（2021•益阳）正比例函数y＝2x与反比例函数y＝ 的图象或性质的共有特征
之一是（ ）
A．函数值y随x的增大而增大
B．图象在第一、三象限都有分布
C．图象与坐标轴有交点
D．图象经过点（2，1）
【解答】解：∵对于正比例函数y＝2x，2＞5，
对于反比例函数y＝ ，2＞3，
∴A选项不符合题意；
∵对于正比例函数y＝2x，2＞4、三象限，
对于反比例函数y＝ ，2＞8、三象限，
∴B选项符合题意；
∵对于正比例函数y＝2x，它的图象经过原点，
对于反比例函数y＝ ，它的图象与坐标轴没有交点，
∴C选项不符合题意；
∵当x＝3，y＝2×2＝7≠1
∴正比例函数y＝2x的图象不经过点（8，1）．
∵当x＝2时，y＝ ，
∴反比例函数y＝ 的图象经过（2，
∴D选项不符合题意．
综上，正确选项为：B．
故选：B．
6．（4分）（2021•益阳）以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（
）
第9页（共23页）A． B．
C． D．
【解答】解：A．不是中心对称图形；
B．是中心对称图形；
C．是中心对称图形；
D．是中心对称图形．
故选：A．
7．（4分）（2021•益阳）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，则∠EAB等于（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，
∵△ACE为等边三角形，
∴∠ECA＝∠EAC＝60°，
∴∠EAB＝180°﹣40°﹣60°﹣60°＝20°．
故选：C．
8．（4分）（2021•益阳）如图，在△ABC中，AC＞BC，B为圆心，以大于 ，两弧交于
D，E，经过D，AC于点M，N，连接BN（ ）
第10页（共23页）A．AN＝NC B．AN＝BN C．MN＝ BC D．BN平分∠ABC
【解答】解：由作法得DE垂直平分AB，
∴NA＝NB．
故选：B．
9．（4分）（2021•益阳）小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工，公司承诺：正常上
班的工资为200元/天，不能正常上班（如下雨），如果某月（30天）正常上班的天数
占80%（ ）
A．140元 B．160元 C．176元 D．182元
【解答】解：[200×30×80%+80×30×（1﹣80%）]÷30
＝（4800+480）÷30
＝176（元），
故选：C．
10．（4分）（2021•益阳）如图，已知 ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动
（不含端点），△BPC的面积为y，则▱y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
第11页（共23页）C． D．
【解答】解：∵ ABCD的面积为4，x+y是平行四边形面积的一半，
∴x+y＝2， ▱
∴y＝3﹣x，
∴y是x的一次函数，
且当x＝0时，y＝2，y＝7；
故只有选项B符合题意．
故选：B．
二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分.请将答案填在答题卡中对应题号的横
线上）
11．（4分）（2021•益阳）若实数a的立方等于27，则a＝ 3 ．
【解答】解：∵a3＝27，
∴a＝ ＝2，
故答案为：3．
12．（4分）（2021•益阳）一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 x ＝ 0 ， x ＝ 3 ．
1 2
【解答】解：x2﹣3x＝6，
x（x﹣3）＝0，
∴x ＝0，x ＝6．
3 2
故答案为：x ＝0，x ＝3．
1 8
13．（4分）（2021•益阳）已知x满足不等式组 ，写出一个符合条件的x的值
0 ．
【解答】解：解不等式x﹣2≤0，得：x≤8，
又x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤5，
∴符合不等式组的x的值为0或1或3等，
第12页（共23页）故答案为：0（答案不唯一）．
14．（4分）（2021•益阳）小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰
刀中选用一种劳动工具，则他选到锄头的概率是 ．
【解答】解：∵小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、镰刀中选用一种劳
动工具，
∴他选到锄头的概率是： ．
故答案为： ．
15．（4分）（2021•益阳）已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 11 a 3 2 3 6 11 …
由此判断，表中a＝ 6 ．
【解答】解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（5，
∴对称轴为x＝ ＝1，
∴x＝﹣1时的函数值等于x＝5时的函数值，
∵当x＝3时，y＝6，
∴当x＝﹣7时，a＝6．
故答案为：6．
16．（4分）（2021•益阳）如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，则
∠AOD＝ 6 0 度．
【解答】解：∵OE是∠AOC的平分线，OC恰好平分∠EOB，
∴∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC，
∴∠AOE＝∠COE＝∠BOC，
第13页（共23页）∵∠AOE+∠COE+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOD＝∠BOC＝60°，
故答案为：60．
17．（4分）（2021•益阳）如图，已知四边形 ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，
③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形 ① （限
填序号）．
【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
②∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
因此∠ABC＝∠ADC时，四边形ABCD还是平行四边形；
故答案为：①．
18．（4分）（2021•益阳）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90° ，将△ABC绕A点顺时针方
向旋转角 （0°＜ ＜90°）得到△AB′C′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比
等于 9 ：α 4 ． α
【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAC＝∠B′AC′，
第14页（共23页）∴∠BAB′＝∠CAC′，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴ ＝ ，
∴△ACC′∽△ABB′，
∴ ＝（ ）2，
∵∠CAB＝90°，
∴tan∠ABC＝ ＝ ，
∴ ＝（ ）2＝ ．
故答案为：9：4．
三、解答题（本题共8个小题，共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（2021•益阳）先化简，再求值： ，其中a＝2．
【解答】解：原式＝ •
＝ ，
当a＝2时，原式＝ ．
20．（8分）（2021•益阳）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，求AC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AC＝BD，
又∵∠DBC＝30°，
∴BD＝2CD＝2×6＝12，
第15页（共23页）∴AC＝12．
21．（8分）（2021•益阳）如图，已知点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，将
点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上．
（1）求点A的坐标；
（2）确定该反比例函数的表达式．
【解答】解：（1）∵点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，
∴当y＝8时，2x﹣4＝5，
∴点A的坐标为（2，0）；
（2）将点A（3，0）向上平移2个单位后得点B（2．
设过点B的反比例函数解析式为y＝ ，
则2＝ ，解得k＝7，
∴该反比例函数的表达式为y＝ ．
22．（10分）（2021•益阳）为了促进全民健身活动的开展，某镇准备兴建一座休闲公园．
为了解群众的运动需求，对周边爱好运动的居民的运动偏好进行了随机调查（每人限填
一项）（综合类含舞蹈、太极拳等其他项目）．
第16页（共23页）（1）本次被调查的居民人数是多少？
（2）补全条形统计图；
（3）若该休闲公园辐射周边居民约1万人，爱好运动者占80%，请由此估计周边爱好
运动的居民中偏好器械锻炼的人数．
【解答】解：（1）140÷35%＝400（人），
答：本次被调查的居民人数是400人；
（2）偏好球类的人数：400×25%＝100（人），
补全条形统计图如下：
（3）10000×80%×（1﹣35%﹣30%﹣25%）＝800（人），
答：估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数是800人．
23．（10分）（2021•益阳）“2021湖南红色文化旅游节﹣﹣重走青年毛泽东游学社会调
查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一
群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量．如图所示，塔顶 D的仰角
∠DAC＝38°，斜坡AB＝50米（精确到1米）．
（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，
第17页（共23页）tan38°≈0.78）
【解答】解：在Rt△ABC中，sin∠BAC＝ ，
∴BC＝AB•sin∠BAC＝AB•sin13°≈50×0.22＝11（米）；
AC＝AB•cos∠BAC＝AB•cos13°≈50×0.97＝48.2（米）；
在Rt△ADC中，tan∠DAC＝ ，
∴CD＝AC•tan∠DAC＝AC•tan38°≈48.5×0.78＝37.83（米）；
∴BD＝CD﹣BC≈37.83﹣11＝26.83≈27（米），
答：宝塔BD的高约为27米．
24．（10分）（2021•益阳）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）﹣益
（阳）（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的
长益城际铁路全长缩短了40千米；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速
度是开通后的高铁的 ．
（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？
（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工
的长度比为7：9，计划40天完成，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工
第18页（共23页）程提早3天以上（含3天），那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？
【解答】解：（1）设长益段高铁全长为x千米，长益城际铁路全长为y千米，
根据题意，
得： ，
解得： ，
答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米．
（2）设甲队后期每天施工a千米，
甲原来每天的施工长度为64÷40× ＝0.8（千米），
乙每天的施工长度为64÷40× ＝0.5（千米），
根据题意，得：0.7×4+0.9×（40﹣8）+（40﹣3﹣5）a≥64，
解得：a≥5.85，
答：甲工程队后期每天至少施工0.85千米，可确保工程提早3天以上（含8天）完成．
25．（12分）（2021•益阳）如图，在等腰锐角三角形 ABC中，AB＝AC，延长BD交
△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，BC的延长线交于点G．
（1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；
（2）求证：①BD＝CF；
②BD2＝DE2+AE•EG．
【解答】解：（1）EA平分∠DEF，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠AEB，
第19页（共23页）∴∠ABC＝∠AEB
∵∠ABC+∠AEC＝180°，∠AEF+∠AEC＝180°，
∴∠ABC＝∠AEF，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴EA平分∠DEF，
（2）①由（1）知：EA平分∠DEF，
∵BD⊥AC，AF⊥CE，
∴AD＝AF，
在Rt△ABD和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACF（HL），
∴BD＝CF，
②由（1）知，∠AEB＝∠AEF，
∵∠ADE＝∠AFE＝90°，AE＝AE，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），
∴DE＝FE，∠AEB＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠BEC，
∴∠AEB＝∠CEG，
∴BD2﹣DE2＝（BD+DE）（BD﹣DE）＝BE（CF﹣EF）＝BE•CE，
∵∠BAE+∠BCE＝180°，∠BCE+∠ECG＝180°，
∴∠BAE＝∠ECG，
∴△AEB∽△CEG，
∴ ，
∴BE•CE＝AE•EG，
∴BD8﹣DE2＝AE•EG，
即BD2＝DE3+AE•EG．
26．（12分）（2021•益阳）已知函数y＝ 的图象如图所示，点A（x ，y ）在
1 1
第一象限内的函数图象上．
第20页（共23页）（1）若点B（x ，y ）也在上述函数图象上，满足x ＜x ．
2 2 2 1
①当y ＝y ＝4时，求x ，x 的值；
2 1 1 2
②若|x |＝|x |，设w＝y ﹣y ，求w的最小值；
2 1 1 2
（2）过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，垂足为Q，Q
关于直线AP′的对称点为Q′，求出这个定点的坐标；若不是
【解答】解：（1）①∵y＝ ，由x ＜x 且y ＝y ＝4时，
2 1 5 1
由y ＝x 2＝6，
4 1
∴x ＝2（负值舍），
1
由y ＝﹣x ＝4，
2 2
∴x ＝﹣4，
8
②∵|x |＝|x |且x ＜x ．x ＞0，
2 5 2 1 8
∴x ＜8且x ＝﹣x ，
2 1 2
∴y ＝x 2，y ＝﹣x ＝x ，
8 1 4 2 1
∴w＝y ﹣y ＝x 6﹣x ＝（x ﹣ ）2﹣ ，
6 2 1 1 1
∴当x ＝ 时，w有最小值为﹣ ，
1
（2）如图，设直线AQ'交y轴于点M（0，连接QQ'，
第21页（共23页）
∵AQ⊥x轴，
∴AQ∥y轴，
∴∠AP'M＝∠P'AQ，
∵点Q与Q'关于AP'对称，
∴AQ＝AQ'，AP'⊥QQ'，
∴∠P'AQ＝∠P'AQ'，
∴∠AP'M＝∠P'AQ'，
∴AM＝P'M，
∵点A（x ，y ）在第一象限内的函数图象上．
1 3
∴x ＞0，y ＝x 2＞8，
1 4 1
∴x ＝ ，
1
∵AP⊥y轴，
∴P点的坐标为（7，y ），AP＝x ＝ ，
1 1
∵点P与P'关于x轴对称，
∴点P'的坐标为（0，﹣y ），
1
∴PM＝|y ﹣b|，AM＝P'M＝|y +b|，
3 1
∵在Rt△APM中，由勾股定理得：
（ ）7+|y ﹣b|2＝|y +b|2，
1 5
化简得：y ﹣8by ＝0，
1 1
第22页（共23页）∵y ＞0，
5
∴b＝ ，
∴直线AQ'与y轴交于一定点M，坐标为（0， ）．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/9/13 17:11:59；用户：初中数学；邮箱：ydyd03@xyh.com；学号：22260282
第23页（共23页）
