文档内容
2022年湖南省益阳市中考数学试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．四个实数﹣ ，1，2， 中，比0小的数是（ ）
A．﹣ B．1 C．2 D．
2．下列各式中，运算结果等于a2的是（ ）
A．a3﹣a B．a+a C．a•a D．a6÷a3
3．若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（ ）
A． B． C． D．
4．若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是（ ）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣2 0 2 4 …
A．y＝2x B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝x2
6．在某市组织的物理实验操作考试中，考试所用实验室共有 24个测试位，分成6组，同组4个测试位各
有一道相同试题，各组的试题不同，分别标记为A，B，C，D，E，F，考生从中随机抽取一道试题，则
某个考生抽到试题A的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如
图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在 ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于
▱
1
学科网（北京）股份有限公司点F，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以
这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说
法错误的是（ ）
A．I到AB，AC边的距离相等
B．CI平分∠ACB
C．I是△ABC的内心
D．I到A，B，C三点的距离相等
10．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，
以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有
（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）
11．﹣ 的绝对值是 ．
12．计算： ﹣ ＝ ．
13．已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 ．
14．反比例函数y＝ 的图象分布情况如图所示，则k的值可以是 （写出一个符合条件的k值
2
学科网（北京）股份有限公司即可）．
15．如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏
东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝ °．
16．近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种
候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10
只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 只A种候鸟．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝ ，则cosB＝ ．
18．如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝ AC，则所得正
方形与原正方形重叠部分的面积是 ．
三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：（﹣2022）0+6×（﹣ ）+ ÷ ．
20．（8 分）如图，在 Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点 E，且 CE＝AB．求证：
3
学科网（北京）股份有限公司△CED≌△ABC．
21．（8分）如图，直线y＝ x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的
点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．
（1）求点A′的坐标；
（2）确定直线A′B对应的函数表达式．
22．（10分）为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分
数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
（1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；
（2）请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；
统计量 平均数 众数 中位数 方差
（1）班 8 8 c 1.16
（2）班 a b 8 1.56
（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
23．（10分）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连
4
学科网（北京）股份有限公司接CA，CO，CB．
（1）求证：∠ACO＝∠BCP；
（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
24．（10分）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割
比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；
甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．
（1）甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？
（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去
完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线
F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．
（1）求a的值；
（2）将A，B的纵坐标分别记为y，y，设s＝y﹣y，若s的最大值为4，则m的值是多少？
A B A B
（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y
轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理
由．
26．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，
CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．
5
学科网（北京）股份有限公司（1）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；
（2）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；
（3）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？
6
学科网（北京）股份有限公司一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．四个实数﹣ ，1，2， 中，比0小的数是（ ）
A．﹣ B．1 C．2 D．
【分析】利用零大于一切负数来比较即可．
【解答】解：根据负数都小于零可得，﹣ ＜0．
故选：A．
【点评】本题考查了实数的大小比较，解答此题关键要明确：正实数＞零＞负实数，两个负实数绝对值
大的反而小．
2．下列各式中，运算结果等于a2的是（ ）
A．a3﹣a B．a+a C．a•a D．a6÷a3
【分析】根据同底数幂的运算及整式的加减运算进行计算判断即可．
【解答】解：A、∵a3﹣a不是同类项，不能进行合并运算，∴选项A不符合题意；
B、∵a+a＝2a，∴选项B不符合题意；
C、∵a•a＝a2，∴选项C符合题意；
D、∵a6÷a3＝a3，∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的运算及整式的加减运算，熟记同底数幂的运算的运算法则及整式的加减
运算法则是解题的关键．
3．若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先把不等式组的解集求出来，然后根据解集判断x＝2是否是解集一个解．
【解答】解：A、∵不等式组的解集为x＜﹣1，∴x＝2不在这个范围内，故选项A不符合题意；
B、∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，∴x＝2不在这个范围内，故选项B不符合题意；
C、∵不等式组无解，∴x＝2不在这个范围内，故选项C不符合题意；
D、∵不等式组的解集为x＞1，∴x＝2在这个范围内，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式组的解集，不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间
找，大大小小无解了．
4．若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
7
学科网（北京）股份有限公司A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：设x2+x+m＝0另一个根是α，
∴﹣1+α＝﹣1，
∴α＝0，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，
本题属于基础题型．
5．已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是（ ）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣2 0 2 4 …
A．y＝2x B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝x2
【分析】观察表中x，y的对应值可以看出，y的值恰好是x值的2倍．从而求出y与x的函数表达式．
【解答】解：根据表中数据可以看出：y的值是x值的2倍．
∴y＝2x．
故选：A．
【点评】本题考查了列正比例函数表达式，解题的关键是根据所给的数据找出自变量与因变量之间的关
系．
6．在某市组织的物理实验操作考试中，考试所用实验室共有 24个测试位，分成6组，同组4个测试位各
有一道相同试题，各组的试题不同，分别标记为A，B，C，D，E，F，考生从中随机抽取一道试题，则
某个考生抽到试题A的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据抽到试题A的概率＝试题A出现的结果数÷所有可能出现的结果数即可得出答案．
【解答】解：总共有24道题，试题A共有4道，
P（抽到试题A）＝ ＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式，掌握到试题A的概率＝试题A出现的结果数÷所有可能出现的结果数是
解题的关键．
7．如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如
图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ ）
8
学科网（北京）股份有限公司A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形．求腰的取值范围．
【解答】解：长为6的线段围成等腰三角形的两腰为a．则底边长为6﹣2a．
由题意得， ．
解得 ＜a＜3．
所给选项中分别为：1，2，3，4．
∴只有2符合上面不等式组的解集．
∴a只能取2．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是把把三棱柱的问题转化为三角形三边的问题．
8．如图，在 ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于
▱
点F，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，已知AE＝3，则BE＝5，再判定四边形DEFC是平行四
边形，则DC＝EF＝8，BF＝EF﹣BE，即可求出BF．
【解答】解：在 ABCD中，AB＝8，
▱
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
9
学科网（北京）股份有限公司∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键，平行
四边形的判定；（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；（2）一组对边平行且
相等的四边形是平行四边形；（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等
的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以
这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说
法错误的是（ ）
A．I到AB，AC边的距离相等
B．CI平分∠ACB
C．I是△ABC的内心
D．I到A，B，C三点的距离相等
【分析】根据作图先判断AE平分∠BAC，再由三角形内心的性质解答即可．
【解答】解：由作图可知，AE是∠BAC的平分线，
∴I到AB，AC边的距离相等，故选项A正确，不符合题意；
∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点，
∴CI平分∠ACB，故选项B正确，不符合题意；
I是△ABC的内心，故选项C正确，不符合题意，
∴I到AB，AC，BC的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心
的性质．
10．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，
以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有
（ ）
10
学科网（北京）股份有限公司A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根
据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．
【解答】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，
∴BC＝B′C′．故①正确；
②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，
∴∠BAB′＝50°．
∵∠CAB＝20°，
∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC．
∴AC∥C′B′．故②正确；
③在△BAB′中，
AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝ （180°﹣50°）＝65°．
∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．
∴CB′与BB′不垂直．故③不正确；
④在△ACC′中，
AC＝AC′，∠CAC′＝50°，
∴∠ACC′＝ （180°﹣50°）＝65°．
∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确．
∴①②④这三个结论正确．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．
二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）
11．﹣ 的绝对值是 ．
11
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据绝对值的意义，求出结果即可．
【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数可得，|﹣ |＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查绝对值的意义，理解负数的绝对值等于它的相反数．
12．计算： ﹣ ＝ 2 ．
【分析】根据同分母分式加减法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝2．
故答案为：2
【点评】本题考查了同分母分式的加减，同分母分式的加减，分母不变，分子相加减．
13．已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 3 ．
【分析】观察已知和所求可知，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n），将代数式的值代入即可得出结论．
【解答】解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，
∴4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）＝3×1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查代数式求值，平方差公式的应用，熟知平方差公式的结构是解题关键．
14．反比例函数y＝ 的图象分布情况如图所示，则k的值可以是 1 （答案不唯一）． （写出一个
符合条件的k值即可）．
【分析】根据反比例函数的图象所处的位置确定k﹣2的符号，从而确定k的范围，可得答案．
【解答】解：由反比例函数y＝ 的图象位于第二，四象限可知，k﹣2＜0，
∴k＜2，
∴k的值可以是1，
故答案为：1（答案不唯一）．
12
学科网（北京）股份有限公司【点评】考查了反比例函数的性质及图象，解题的关键是掌握反比例函数的性质，难度不大．
15．如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏
东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝ 9 0 °．
【分析】根据题意可得∠APC＝34°，∠BPC＝56°，然后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：
∠APC＝34°，∠BPC＝56°，
∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝90°，
故答案为：90．
【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
16．近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种
候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10
只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 80 0 只A种候鸟．
【分析】在样本中“200只A种候鸟中有10只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比
例也适用于整体，据此即可解答．
【解答】解：设该湿地约有x只A种候鸟，
则200：10＝x：40，
解得x＝800．
故答案为：800．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝ ，则cosB＝ ．
13
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据三角函数的定义即可得到cosB＝sinA＝ ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵sinA＝ ＝ ，
∴cosB＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若∠A+∠B＝90°，
则sinA＝cosB，cosA＝sinB．熟知相关定义是解题关键．
18．如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝ AC，则所得正
方形与原正方形重叠部分的面积是 8 ．
【分析】由正方形边长为3，可求AC＝3 ，则AA′＝ AC＝ ，由平移可得重叠部分是正方形，根
据正方形的面积公式可求重叠部分面积．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为3，
∴AC＝3 ，
∴AA′＝ AC＝ ，
∴A′C＝2 ，
由题意可得重叠部分是正方形，
∴S ＝8．
重叠部分
故答案为：8．
【点评】本题考查了正方形的性质，平移的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．
14
学科网（北京）股份有限公司三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：（﹣2022）0+6×（﹣ ）+ ÷ ．
【分析】利用零指数幂的意义，有理数的乘法，二次根式的性质化简运算即可．
【解答】解：原式＝1+（﹣3）+2
＝0．
【点评】本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义，有理数的乘法，二次根式的性质，正确利用上
述法则与性质解答是解题的关键．
20．（8 分）如图，在 Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点 E，且 CE＝AB．求证：
△CED≌△ABC．
【分析】由垂直的定义可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行线的性质可得，∠A＝∠DCE，进而由ASA可得
结论．
【解答】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠DEC＝∠B＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠A＝∠DCE，
在△CED和△ABC中，
，
∴△CED≌△ABC（ASA）．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，垂直的定义和平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是
解题基础．
21．（8分）如图，直线y＝ x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的
点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．
（1）求点A′的坐标；
（2）确定直线A′B对应的函数表达式．
15
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用直线解析式求得点A坐标，利用关于y轴的对称点的坐标的特征解答即可；
（2）利用待定系数法解答即可．
【解答】解：（1）令y＝0，则 x+1＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）．
∵点A关于y轴的对称点为A′，
∴A′（2，0）．
（2）设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴直线A′B对应的函数表达式为y＝﹣x+2．
【点评】本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数
的解析式，关于y轴的对称点的坐标的特征，利用待定系数法解得是解题的关键．
22．（10分）为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分
数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
（1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；
（2）请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；
统计量 平均数 众数 中位数 方差
16
学科网（北京）股份有限公司（1）班 8 8 c 1.16
（2）班 a b 8 1.56
（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
【分析】（1）根据条形图求出人数，根据扇形统计图求出所占百分比，即可得出结论；
（2）根据（1）中数据分别计算a，b，c的值即可；
（3）根据方差越小，数据分布越均匀判断即可．
【解答】解：（1）由题意知，（1）班和（2）班人数相等，为：5+10+19+12+4＝50（人），
∴（2）班学生中测试成绩为10分的人数为：50×（1﹣28%﹣22%﹣24%﹣14%）＝6（人），
答：（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人；
（2）由题意知，a＝ ＝8；
b＝9；c＝8；
答：a，b，c的值分别为8，9，8；
（3）根据方差越小，数据分布越均匀可知（1）班成绩更均匀．
【点评】本题主要考查统计的知识，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．
23．（10分）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连
接CA，CO，CB．
（1）求证：∠ACO＝∠BCP；
（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
【分析】（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；
（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；
（3）∠A＝30°，可得BC＝ AB＝2，AC＝ BC＝2 ，即得S ＝ BC•AC＝2 ，故阴影部分的面
△ABC
积是 π×（ ）2﹣2 ＝2π﹣2 ．
【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CP是半圆O的切线，
∴∠OCP＝90°，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠ACB＝∠OCP，
∴∠ACO＝∠BCP；
（2）解：由（1）知∠ACO＝∠BCP，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠ABC＝2∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，
∵∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠ACO＝∠BCP＝30°，
∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，
答：∠P的度数是30°；
（3）解：由（2）知∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝ AB＝2，AC＝ BC＝2 ，
∴S ＝ BC•AC＝ ×2×2 ＝2 ，
△ABC
∴阴影部分的面积是 π×（ ）2﹣2 ＝2π﹣2 ，
答：阴影部分的面积是2π﹣2 ．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．
24．（10分）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割
比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；
甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．
（1）甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？
（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去
完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？
【分析】（1）设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣
40%）x亩水稻，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合乙比甲多用0.4小时完成任务，即可得出关
于x的分式方程，解之经检验后即可求出甲操控A型号收割机每小时收割水稻的亩数，再将其代入（1
﹣40）x中即可求出乙操控B型号收割机每小时收割水稻的亩数；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割 小时，根据要求平均损失率不超过2.4%，即可得出
关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1
﹣40%）x亩水稻，
依题意得： ﹣ ＝0.4，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
∴（1﹣40%）x＝（1﹣40%）×10＝6．
答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻．
（2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割 小时，
依题意得：3%×10y+2%×6× ≤2.4%×100，
解得：y≤4．
答：最多安排甲收割4小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系
正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线
F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．
（1）求a的值；
（2）将A，B的纵坐标分别记为y，y，设s＝y﹣y，若s的最大值为4，则m的值是多少？
A B A B
（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y
轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理
由．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）由抛物线的顶点式可直接得出顶点P的坐标，再代入抛物线F即可得出结论；
（2）根据题意可分别表达A，B的纵坐标，再根据二次函数的性质可得出m的值；
（3）过点 Q作 x轴的垂线 KN，分别过点 P，G作 x轴的平行线，与 KN分别交于 K，N，则
△PKQ∽△QNG，设出点M的坐标，可表达点Q和点G的坐标，进而可得出结论．
【解答】解：（1）由题意可知，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P的坐标为（m，
2m2），
∵点P在抛物线F：y＝ax2上，
∴am2＝2m2，
∴a＝2．
（2）∵直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B，
∴y＝﹣（t﹣m）2+2m2＝﹣t2+2mt+m2，y＝2t2，
A B
∴s＝y﹣y
A B
＝﹣t2+2mt+m2﹣2t2
＝﹣3t2+2mt+m2
＝﹣3（t﹣ m）2+ m2，
∵﹣3＜0，
∴当t＝ m时，s的最大值为 m2，
∵s的最大值为4，
∴ m2＝4，解得m＝± ，
∵m＜0，
∴m＝﹣ ．
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学科网（北京）股份有限公司（3）存在，理由如下：
设点M的坐标为n，则M（n，2n2），
∴Q（2n﹣m，4n2﹣m2），
∵点Q在x轴正半轴上，
∴2n﹣m＞0且4n2﹣m2＝0，
∴n＝﹣ m，
∴M（﹣ m，m2），Q（﹣ m﹣m，0）．
如图，过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，
∴∠K＝∠N＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，
∵∠PQG＝90°，
∴∠PQK+∠GQN＝90°，
∴∠QPK＝∠GQN，
∴△PKQ∽△QNG，
∴PK：QN＝KQ：GN，即PK•GN＝KQ•QN．
∵PK＝﹣ m﹣m﹣m＝﹣ m﹣2m，KQ＝2m2，GN＝﹣ m﹣m，
∴（﹣ m﹣2m）（﹣ m﹣m）＝2m2•QN
解得QM＝ ．
∴G（0，﹣ ）．
【点评】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的性
质与判定，中点坐标公式等知识，构造相似得出方程是解题关键．
26．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，
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学科网（北京）股份有限公司CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．
（1）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；
（2）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；
（3）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？
【分析】（1）因为△AFB是直角三角形，所以和它相似的三角形都是直角三角形，有三个直角三角形
相似和△AFB相似，解答时任意写出一个即可；
（ 2 ） 根 据 △AFB∽ △BGC， 得 ＝ ， 即 ＝ ＝ ， 设 AF＝ 5x，BG＝ 3x， 根 据
△AFB∽△BCE∽△BGC，列比例式可得CE的长；
（3）分两种情况：①当C'F＝BC'时，如图2，②当C'F＝BF时，如图3，根据三角形相似列比例式可得
结论．
【解答】解：（1）（任意回答一个即可）；
①如图1，△AFB∽△BCE，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠BCE＝∠ABC＝90°，
∴∠BEC＝∠ABF，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠BCE＝90°，
∴△AFB∽△BCE；
②△AFB∽△CGE，理由如下：
∵CG⊥BE，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠CGE＝90°，
∴∠CGE＝∠AFB，
∵∠CEG＝∠ABF，
∴△AFB∽△CGE；
③△AFB∽△BGC，理由如下：
∵∠ABF+∠CBG＝∠CBG+∠BCG＝90°，
∴∠ABF＝∠BCG，
∵∠AFB＝∠CGB＝90°，
∴△AFB∽△BGC；
（2）∵四边形AFCC'是平行四边形，
∴AF＝CC'，
由（1）知：△AFB∽△BGC，
∴ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
设AF＝5x，BG＝3x，
∴CC'＝AF＝5x，
∵CG＝C'G，
∴CG＝C'G＝2.5x，
∵△AFB∽△BCE∽△BGC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CE＝7.5；
（3）分两种情况：
①当C'F＝BC'时，如图2，
∵C'G⊥BE，
∴BG＝GF，
∵CG＝C'G，
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学科网（北京）股份有限公司∴四边形BCFC'是菱形，
∴CF＝CB＝9，
由（2）知：AF＝5x，BG＝3x，
∴BF＝6x，
∵△AFB∽△BCE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CE＝ ；
②当C'F＝BF时，如图3，
由（1）知：△AFB∽△BGC，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
设BF＝5a，CG＝3a，
∴C'F＝5a，
∵CG＝C'G，BE⊥CC'，
∴CF＝C'F＝5a，
∴FG＝4a，
∵tan∠CBE＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CE＝3；
综上，当CE的长为长为 或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性
质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于
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学科网（北京）股份有限公司中考压轴题．
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