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2024年高考押题预测卷02
数学·全解全析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求解不等式和求函数的值域得到集合 的范围，再根据交并补和集合间的关系的定义分别
判断各选项即得.
【详解】 ， ，
因 故A项错误；
由 ，知B项错误；
由 知C项错误；
因 ，故D项正确.
故选：D.
2．已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】根据题意，结合复数的运算法则，求得 ，结合复数模的计算公式，即可求解.
1
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】由复数 ，
所以 ，所以 ，则 .
故选：D.
3．已知非零向量 ， 满足 ，向量 在向量 方向上的投影向量是 ，则 与 夹角的余弦值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据投影向量可得 ，再结合向量夹角公式运算求解.
【详解】由向量 在向量 上投影向量为 ，
所以得 ，
又因为 ，所以 ，故C正确.
故选：C.
4．已知直线 与双曲线 的一条渐近线平行，则 的右焦点到直线 的
距离为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据双曲线方程求出渐近线，解得 的值，从而求得右焦点到直线 的距离即可.
2
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，
因为直线 与双曲线 的一条渐近线平行，
所以 ，解得 ，所以双曲线 的右焦点坐标为 ，
所以 的右焦点到直线 的距离为 .
故选：C.
5．在平面直角坐标系 中，角 的始边均为 ，终边相互垂直，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式计算即得.
【详解】依题意， ，则 ，
或 ，则 ，
所以 .
故选：C
6．现某社区服务中心俱乐部将5名京剧演员、2名说书演员分配到甲、乙、丙3个居民区去义演，则每个
居民区都有京剧演员的分配方法有（ ）
A．240种 B．640种 C．1350种 D．1440种
【答案】C
【分析】将2名说书演员分配到3个居民区，共有9种分配方法. 对京剧演员进行分组分配，各组的人数
分别为1，1，3或2，2，1. 分别计算两种情况下的分配方法数，最后根据分类加法计数原理可得每个居民
区都有京剧演员的分配方法共有1350种.
3
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】将2名说书演员分配到3个居民区，有 （种）分配方法.
若每个居民区都有京剧演员，则将京剧演员分成3组，各组的人数分别为1，1，3或2，2，1.
当京剧演员分成三组的人数为1，1，3时，此时共有 （种）分配方法；
当京剧演员分成三组的人数为2，2，1时，此时共有 （种）分配方法.
综上可知，每个居民区都有京剧演员的分配方法有 （种）.
故选：C
A B C D
7．在正方体 中， 为四边形 1 1 1 1的中心，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．平面 平面 D．若平面 平面 ，则 平面
【答案】B
【分析】根据正方体性质结合图形可知 异面，可判断A；通过证明 平面 ，可判断B；
记 的中点分别为 ，然后证明 是平面 和平面 的夹角或其补角，由 为等腰
三角形可判断C；由 可判断D.
【详解】A选项：由正方体性质易知， ，所以 四点共面，
由图知， 平面 ，直线 在平面 内，且不过点A，
所以 异面，A错误；
B选项：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 为正方形，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
4
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司又 平面 ，所以 ，B正确；
C选项：记平面 平面 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，所以 ，
记 的中点分别为 ，
由正方体性质可知， ，所以 ，所以 ，
同理， ，所以 是平面 和平面 的夹角或其补角，
又对称性可知， 为等腰三角形，故 为锐角，C错误；
D选项：因为 ，
所以 与平面 相交，D错误.
故选：B
8．在同一平面直角坐标系内，函数 及其导函数 的图象如图所示，已知两图象有且仅有
一个公共点，其坐标为 ，则（ ）
A．函数 的最大值为1
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B．函数 的最小值为1
C．函数 的最大值为1
D．函数 的最小值为1
【答案】C
【分析】AB选项，先判断出虚线部分为 ，实线部分为 ，求导得到 在R上单
调递增，AB错误；再求导得到 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
故C正确，D错误.
【详解】AB选项，由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，
则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为 ，
实线部分为 ，
故 恒成立，
故 在R上单调递增，则A，B显然错误，
对于C，D， ，
由图像可知 ， 恒成立，故 单调递增，
当 ， ， 单调递减，
所以函数 在 处取得极大值，也为最大值， ，C正确，D错误.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
6
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司9．下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（ ）
A．样本乙的极差一定大于样本甲的极差
B．样本乙的众数一定大于样本甲的众数
C．样本甲的方差一定大于样本乙的方差
D．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数
【答案】BCD
【分析】根据数据分布的最小值和最大值可判断极差，从而判断A；根据众数、方差、中位数的概念，并
结合图象可判断BCD.
【详解】对于选项A：
甲的数据介于[1.5,7.5]之间，极差小于或等于6；乙的数据分布于[2.5,8.5]，极差小于或等于6；从而甲和乙
的极差可能相等，故A错误；
对于选项B：
根据频率分布直方图可知，甲的众数介于[2.5,5.5)之间，乙的众数介于(5.5,6.5]，故乙的众数大于甲的众数，
B正确；
对于选项C：
甲的数据平均分布，乙的数据分布在中间集中，故甲的方差大于乙的方差，故C正确；
对于选项D：
对于甲，各组频率依次为： ，因为前两组频率之和 ，前
三组频率之和 ，故中位数位于[3.5,4.5)之间；
同理，对于乙，各组频率依次为： ，前三组频率之和
，前四组频率之和 ，故中位数位于[5.5,6.5)之
间，所以乙的中位数大于甲的中位数.故D正确.
故选：BCD.
7
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司10．设函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 在 上单调递增
B．若 且 ，则
C．若 在 上有且仅有2个不同的解，则 的取值范围为
D．存在 ，使得 的图象向左平移 个单位长度后得到的函数为奇函数
【答案】ACD
【分析】由 ，选项A：利用正弦函数的单调性判断； 选项B：利用正弦函数的最值、
周期判断；选项C：利用正弦函数的图象判断； 选项D：利用三角函数的图象变换判断.
【详解】 ，
，当 时， ，
由复合函数、正弦函数单调性可知 在 上单调递增，故A正确；
对于B，若 且 ，则 ，故B不正确；
对于C，若 ，则 ，
若 在 上有且仅有2个不同的解，如图所示：
8
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司可得 ，解得 ，也就是 的取值范围为 ，故C正确；
对于D， ，可知当 时， 是奇函数，故D
正确.
故选：ACD.
11．已知 为坐标原点，点 为抛物线 ： 的焦点，点 ，直线 ： 交抛物线 于
， 两点（不与 点重合），则以下说法正确的是（ ）
A．
B．存在实数 ，使得
C．若 ，则
D．若直线 与 的倾斜角互补，则
【答案】ACD
【分析】根据抛物线和直线方程可知直线过抛物线焦点，利用焦半径公式可判断A正确；联立直线和抛物
线方程利用向量数量积公式可知， 恒成立，所以B错误；根据 可知A，B两点的纵坐
标关系，解得其交点坐标代入直线方程可得 ，即C正确；由直线 与 的倾斜角互补，可知
，利用韦达定理联立方程即可求出 ，即D正确.
【详解】由已知，抛物线 ： ，∴ ， ，焦点 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司不妨设为 ， ，设 ， 到准线的距离分别为 ， ，
对于A，∵由标准方程知，抛物线顶点在原点，开口向右， ，
直线 ： 过焦点 ，
∴由抛物线的定义 ，故选项A正确；
对于B， 消去 ，化简得 （显然 ），
则 ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴不存在实数 ，使得 ，选项B错误；
对于C， ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
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0
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司又∵由选项B判断过程知 ， ，
∴解得 ， ， 或 ， ， ，
∴若 ，则 ，选项C正确；
对于D，由题意， ， ， ， ，
直线 与 的倾斜角互补时，斜率均存在，且 ，
∴ ，代入 ， ，化简得 ，
由选项B的判断知， ，
∴ ，∴ ，故选项D正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ，则 的值为
．
【答案】2
【分析】根据公式 计算求解即可
【详解】设 的外接圆的半径为 ，则根据正弦定理可知 ，
，又 ，
所以 ，
故答案为：2
13．写出一个同时满足下列三个条件的函数 的解析式 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司① ；
② ；
③ 的导数为 且 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】借助函数的周期性、对称性、奇偶性计算即可得.
【详解】由①得 ，所以函数 图象的周期为4，
由②得 的图象关于直线 对称，
由③得 关于 对称， 为常数，
则同时满足三个条件的一个函数可以为 ．
故答案为： （答案不唯一）.
14．如图，在直三棱柱 中， ， ，则该三棱柱外接球的表面积为
；若点 为线段 的中点，点 为线段 上一动点，则平面 截三棱柱 所得截面面积
的最大值为 .
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2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】
【分析】把直三棱柱 可补充一个长方体，结合长方体的性质，求得外接球的半径，得到其表
面积；连接 ，延长 交 于点 ，取 的中点 ，连接 ，
在过点 作 ，证得截面四边形 为直角梯形，设 ，求得梯形 的面积为
，设 ，利用导数求得函数的单调性与最
值，即可求解.
【详解】由题意，直三棱柱 中， ， ，
该直三棱柱 可补充一个长方体，
其中直三棱柱 的外接球和补成的长方体的外接球是同一个球，
又由长方体过同一顶点的三条棱长分别为 ，可得对角线长为 ，
所以外接球的半径为 ，则该三棱柱外接球的表面积为 ；
如图所示，连接 ，并延长 交 于点 ，取 的中点 ，连接 ，
则 且 ，在过点 作 ，可得 ，
连接 ，则四边形 即为过点 的截面，
在 中，因为 ，且 为 的中点，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以四边形 为直角梯形，
在 中，由 且 ，可得 ，所以 ，
设 ，在直角 中，可得 ，
又由 ，可得 ，
所以直角梯形 的面积为
，其中 ，
设 ，
可得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减，
又由 ，可得 ，
所以当 时，函数 取得最大值，此时梯形的面积取得最大值 .
故答案为： .
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【点睛】知识方法点拨：对于立体结合中的截面的探索性以及最值问题的求解策略：
1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；
2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出
动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定
理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否
有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
5、对于探索性问题的求解，可得建立函数关系，常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单
调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知正项数列 的前 项和为 ， ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】（1）首先求出 ，可证明数列 为首项为 ，公差为 的等差数列，得到 ，利用
得到 的通项公式；
（2）由（1）知， ，化简可得 ，利用分组求和以及裂
项相消即可求出数列 的前 项和 .
【详解】（1）当 时，由 ，即 ，解得： ，
所以 ，则数列 为首项为 ，公差为 的等差数列；
所以 ，则 ，
当 时， ，
当 时， 满足条件，
所以 的通项公式为
（2）由（1）知， ，
所以 ，
故 ，
即
16．已知函数 ．
(1)求 的最小值；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)若 有两个零点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)首先求解所给函数的导函数，然后利用导数研究函数的单调性即可求出最小值；
(2)结合（1）可知，只需 求解计算即可得出结果．
【详解】（1） ,
当 时，即 ，则 ，
当 时，即 ，则 ，
即当 时， ，函数单调递减，当 时， 为增，
在 处取最小值，∴ .
（2）由（1）可知， ，
由 有两个零点，
时， ， 时， ，
所以， ，即 ，解得： .
∴ 的取值范围为 .
17．如图，在三棱柱 中， ， ，四边形 是菱形．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)证明： ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由线线垂直推到线面垂直得到 平面 ，推出 ；再由 推出
面 ，即得 ；
（2）由题设条件和余弦定理求出 ，建立空间直角坐标系，设 ，写出相关点和向量的
坐标，计算出两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求出二面角的余弦值即得.
【详解】（1）三棱柱 中，由 可得 ,
因 ，且 ， 面 ，则 平面 ，
因 平面 ，则 ，又四边形 是菱形,则 ，
由 ， 面 ，故得 面 ，因 面 ,故 ．
（2）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因 ，不妨设 ，则 ，由余弦定理， ,故
得： ，
分别取 为 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.( 轴为与平面 垂直向上的方向),
则有 ， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 故可取 ；
又因 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 故可取 .
设二面角 的平面角为 ，则 因 故
．
故二面角 的正弦值为 .
18．已知曲线 与曲线 关于直线 对称．
(1)求曲线 的方程．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)若过原点的两条直线分别交曲线 于点 ， ， ， ，且 （ 为坐标原点），则四边形
的面积是否为定值？若为定值，求四边形 的面积；若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，
【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点 ，将其代入即可求解，
（2）讨论 是否与 垂直，垂直时，求解 ， ，即可求解面积，不垂直时，联立
直线与椭圆方程，得韦达定理，即可根据弦长公式以及点到直线的距离公式求解面积，即可求解.
【详解】（1）设点 为曲线 上任一点，则点 关于直线 的对称点 在曲线
上．
根据对称性，得 解得
将 代入曲线 并整理，得 ．故曲线 的方程为 ．
（2）四边形 的面积为定值．理由如下：
当直线 的斜率不存在时，直线 轴，则 ．
因为 ，所以不妨设 ，则 ，
此时取 ， ，
根据对称性可知四边形 为平行四边形，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则四边形 的面积 ，为定值．
当直线 的斜率存在时，设 ，且 ， ．
联立 得 ．
由 ，得 ，则
， ，
则
．
因为 ，即 ，即 ，
所以
．
因为原点 到直线 的距离 ，
由于四边形 为平行四边形，
所以四边形 的面积 ．
综上，四边形 的面积为定值 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
19．甲、乙两人进行知识问答比赛，共有 道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的
概率分别为 和 ，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，
未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.
(1)若 ， ，求甲获胜的概率；
(2)若 ，设甲第 题的得分为随机变量 ，一次比赛中得到 的一组观测值 ，如下表.
现利用统计方法来估计 的值：
①设随机变量 ，若以观测值 的均值 作为 的数学期望，请以此求出 的估计
值 ；
②设随机变量 取到观测值 的概率为 ，即 ；
在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着 的变化，用使得 达到最大时 的取值
2
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司作为参数 的一个估计值.求 .
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
得分 1 0 0 ﹣1 1 1 ﹣1 0 0 0
1 1 1
题目 11 12 14 15 17 19 20
3 6 8
﹣
得分 0 1 1 ﹣1 0 0 0 1 0
1
表1：甲得分的一组观测值.
附：若随机变量 ， 的期望 ， 都存在，则 .
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据甲抢到题目数，分类讨论利用条件概率和全概率公式求解.
（2）①由公式计算的数学期望与观测值的均值 相等，可求出 的估计值 ；
②由概率 的表达式，利用导数求取最大值时时 的取值.
【详解】（1）记甲获胜为事件 ，甲抢到3道题为事件 ，甲抢到2道题为事件 ，甲抢到1道题为事件
，甲抢到0道题为事件 ，
则 ， ，
， ，
而 ，
2
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3
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
，
，
所以
.
（2）① ， ， ，
所以 ；
因为 ，
由表中数据可知 ，
所以 ， .
②因为 取值相互独立，
所以
，
所以 ；
令 得 ，
2
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司又 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
即当 时 取到最大值，从而 .
【点睛】方法点睛：
正确提取题干中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，
并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识
转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!
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