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2019年内蒙古赤峰市中考数学试卷
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意,请将符合题意的选项序号,在答题卡的
对应位置上按要求涂黑.每小题3分,共42分)
1．（3分）在﹣4、﹣ 、0、4这四个数中，最小的数是（ ）
A．4 B．0 C．﹣ D．﹣4
2．（3分）2013﹣2018年我国与“一带一路”沿线国家货物贸易总额超过 60000亿元，将
60000用科学记数法表示为（ ）
A．6×104 B．0.6×105 C．6×106 D．60×103
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． + ＝ B．x3•x2＝x5 C．（x3）2＝x5 D．x6÷x2＝x3
4．（3分）不透明袋子中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球，从袋子中随机摸出3个
球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．3个都是黑球 B．2个黑球1个白球
C．2个白球1个黑球 D．至少有1个黑球
5．（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．圆柱
6．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图是九年级某考生做的水滴入一个玻璃容器的示意图（滴水速度保持不变），能
正确反映容器中水的高度（h）与时间（t）之间对应关系的大致图象是（ ）
1A． B．
C． D．
8．（3分）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是
（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
9．（3分）某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量
达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为（ ）
A．400（1+x2）＝900 B．400（1+2x）＝900
C．900（1﹣x）2＝400 D．400（1+x）2＝900
10．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则
∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
11．（3分）如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足
为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于（ ）
2A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
12．（3分）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，
则AE的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（3分）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝35°，∠D＝
15°，则∠ACB的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．85°
14．（3分）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三
角形扔掉；
②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（ ）
A．22019 B． C． D．
二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上.每小题3分,共12分)
315．（3分）因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝ ．
16．（3分）如图是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的统计表和折线统计图．
平均数 中位数 众数
甲 8 8 8
乙 8 8 8
你认为甲、乙两名运动员， 的射击成绩更稳定．（填甲或乙）
17．（3分）如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成
38°角，则木杆折断之前高度约为 m．
（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）
18．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；
③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；④当x＜﹣1或x＞3时，y
＞0．上述结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）
三、解答题（在答题卡上解答,答在本试卷上无效,解答时要写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤.共8题,满分96分)
419．（10分）先化简，再求值： ÷+，其中a＝|1﹣ |﹣tan60°+（）﹣1．
20．（10分）已知：AC是 ABCD的对角线．
▱
（1）用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE．（保留作图痕迹，
不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE的周长．
21．（12分）赤峰市某中学为庆祝“世界读书日”，响应”书香校园”的号召，开展了“阅读
伴我成长”的读书活动．为了解学生在此次活动中的读书情况，从全校学生中随机抽取一
部分学生进行调查，将收集到的数据整理并绘制成如图所示不完整的折线统计图和扇形
统计图．
（1）随机抽取学生共 名，2本所在扇形的圆心角度数是 度，并补全折线统
计图；
（2）根据调查情况，学校决定在读书数量为1本和4本的学生中任选两名学生进行交流，
请用树状图或列表法求这两名学生读书数量均为4本的概率．
22．（12分）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．
这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：
5（1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？
（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过
400元．其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，
那么小明最多可购买钢笔多少支？
23．（12分）如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线
CE，垂足为E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
24．（12分）阅读下面材料：
我们知道一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线
通常写成Ax+By+C＝0（A≠0，A、B、C是常数）的形式，点P（x，y）到直线Ax+By+C＝0的距
0 0
离可用公式d＝ 计算．
例如：求点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离．
解：∵y＝﹣2x+5
∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5
∴点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离为：
d＝ ＝ ＝＝
根据以上材料解答下列问题：
（1）求点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7＝0的距离；
（2）如图，直线y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间
的距离．
625．（14分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过
点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若
不存在，请说明理由．
26．（14分）【问题】
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点
D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的
数量关系．
【探究发现】
（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P
与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；
【数学思考】
（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作
DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程；
【拓展引申】
（3）如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，
且AM＝BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发
7现点M在某一位置时BQ的值最大．若AC＝BC＝4，请你直接写出BQ的最大值．
82019年内蒙古赤峰市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意,请将符合题意的选项序号,在答题卡的
对应位置上按要求涂黑.每小题3分,共42分)
1．【解答】解：﹣4＜﹣ ＜0＜4，
∴在﹣4、﹣ 、0、4这四个数中，最小的数是﹣4．
故选：D．
2．【解答】解：60000＝6×104，
故选：A．
3．【解答】解：A、 + 无法计算，故此选项错误；
B、x3•x2＝x5，正确；
C、（x3）2＝x6，故此选项错误；
D、x6÷x2＝x4，故此选项错误；
故选：B．
4．【解答】解：A袋子中装有4个黑球和2个白球，摸出的三个球中可能为两个白球一个黑球，
所以A不是必然事件；
B．C．袋子中有4个黑球，有可能摸到的全部是黑球，B、C有可能不发生，所以B、C不是必
然事件；
D．白球只有两个，如果摸到三个球不可能都是白梂，因此至少有一个是黑球，D正确．
故选：D．
5．【解答】解：由于主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，由俯视图为圆形可得为圆
锥．
故选：B．
6．【解答】解：
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＞3，
∴不等式组的解集为x＞3，
在数轴上表示为：
，
9故选：C．
7．【解答】解：由于容器的形状是下宽上窄，所以水的深度上升是先慢后快．
表现出的函数图形为先缓，后陡．
故选：D．
8．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴CD＝BC＝＝5，且O为BD的中点，
∵E为CD的中点，
∴OE为△BCD的中位线，
∴OE＝CB＝2.5，
故选：A．
9．【解答】解：设月平均增长率为x，
根据题意得：400（1+x）2＝900．
故选：D．
10．【解答】解：如图，∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．
∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，
∴ ＝ ．
∴∠AOC＝∠BOC＝60°．
故选：D．
11．【解答】解：∵△POM的面积等于2，
∴|k|＝2，
而k＜0，
∴k＝﹣4．
故选：A．
12．【解答】解：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝，
10解得，AE＝3，
故选：C．
13．【解答】解：∵DE⊥AB，∠A＝35°
∴∠AFE＝∠CFD＝55°，
∴∠ACB＝∠D+∠CFD＝15°+55°＝70°．
故选：B．
14．【解答】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，
第一次：余下面积，
第二次：余下面积 ，
第三次：余下面积 ，
当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为 ，
故选：C．
二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上.每小题3分,共12分)
15．【解答】解：原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2，
故答案为：x（x﹣y）2
16．【解答】解：由统计表可知，
甲和乙的平均数、中位数和众数都相等，
由折线统计图可知，乙的波动小，成绩比较稳定，
故答案为：乙．
17．【解答】解：如图：AC＝3.1m，∠B＝38°，
∴AB＝＝，
∴木杆折断之前高度＝AC+AB＝3.1+5＝8.1（m）
故答案为8.1
18．【解答】解：由图可知，对称轴x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴b＝﹣2a，与x轴另一个交点（﹣1，0），
11①∵a＞0，
∴b＜0；
∴①错误；
②当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0；
②正确；
③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0可以看作函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的交点，
由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1有两个不同的交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
∴③正确；
④由图象可知，y＞0时，x＜﹣1或x＞3
∴④正确；
故答案为②③④．
三、解答题（在答题卡上解答,答在本试卷上无效,解答时要写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤.共8题,满分96分)
19．【解答】解： ÷+
＝
＝
＝，
当a＝|1﹣ |﹣tan60°+（）﹣1＝ ﹣1﹣ +2＝1时，原式＝．
20．【解答】解：（1）如图，CE为所作；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，
∵点E在线段AC的垂直平分线上，
∴EA＝EC，
12∴△DCE的周长＝CE+DE+CD＝EA+DE+CD＝AD+CD＝5+3＝8．
21．【解答】解：（1）16÷32%＝50，
所以随机抽取学生共50名，
2本所在扇形的圆心角度数＝360°×＝216°；
4本的人数为50﹣2﹣16﹣30＝2（人），
补全折线统计图为：
故答案为50，216°．
（2）画树状图为：（用1、4分别表示读书数量为1本和4本的学生）
共有12种等可能的结果数，其中这两名学生读书数量均为4本的结果数为4，
所以这两名学生读书数量均为4本的概率＝＝．
22．【解答】解：（1）设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了（x+1）个，
依题意得：10（x+1）×0.85＝10x﹣17．
解得x＝17．
答：小明原计划购买文具袋17个．
（2）设小明可购买钢笔y支，则购买签字笔（50﹣x）支，
依题意得：[8y+6（50﹣y）]×80%≤400．
解得y≤100．
即y ＝100．
最大值
答：明最多可购买钢笔100支．
23．【解答】（1）证明：∵点C、D为半圆O的三等分点，
∴ ，
∴∠BOC＝∠A，
∴OC∥AD，
13∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：连接OD，OC，
∵ ，
∴∠COD＝×180°＝60°，
∵CD∥AB，
∴S ＝S ，
△ACD △COD
∴图中阴影部分的面积＝S ＝ ＝．
扇形COD
24．【解答】解：（1）∵3x﹣y+7＝0，
∴A＝3，B＝﹣1，C＝7．
∵点Q（﹣2，2），
∴d＝ ＝＝．
∴点Q（﹣2，2）到到直线3x﹣y+7＝0的距离为；
（2）直线y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线为y＝﹣x+2，
在直线y＝﹣x上任意取一点P，
当x＝0时，y＝0．
∴P（0，0）．
∵直线y＝﹣x+2，
∴A＝1，B＝1，C＝﹣2
∴d＝ ＝ ，
∴两平行线之间的距离为 ．
1425．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为
（3，0）、（0，3），
将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A（﹣1，0）；
（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，
函数顶点坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），
将CD的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD的表达式为：y＝7x﹣3，
当y＝0时，x＝，
故点E（，x）；
（3）①当点P在x轴上方时，如下图2，
∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，
过点B作BH⊥AH，设PH＝AH＝m，
则PB＝PA＝ m，
由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，
16＝m2+（ m﹣m）2，解得：m＝（负值已舍去），
15则PB＝ m＝1+ ，
则y＝ ＝ ；
P
②当点P在x轴下方时，
则y＝﹣（ ）；
P
故点P的坐标为（1， ）或（1， ）．
26．【解答】证明：【探究发现】
（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC
∴∠CAB＝∠CBA＝45°
∵CD∥AB
∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD
∴∠DCB＝∠DBC＝45°
∴DB＝DC
即DB＝DP
【数学思考】
（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°
∴∠DCG＝∠DGC＝45°
∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，
∵∠BDP＝∠CDG＝90°
∴∠CDP＝∠BDG，且DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，
∴△CDP≌△GDB（ASA）
∴BD＝DP
【拓展引申】
（3）如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，
∵MH⊥MN，
∴∠AMH+∠NMB＝90°
∵CD∥AB，∠CDB＝90°
16∴∠DBM＝90°
∴∠NMB+∠MNB＝90°
∴∠HMA＝∠MNB，且AM＝BN，∠CAB＝∠CBN＝45°
∴△AMH≌△BNQ（ASA）
∴AH＝BQ
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴AB＝4 ，AC﹣AH＝BC﹣BQ
∴CH＝CQ
∴∠CHQ＝∠CQH＝45°＝∠CAB
∴HQ∥AB
∴∠HQM＝∠QMB
∵∠ACB＝∠HMQ＝90°
∴点H，点M，点Q，点C四点共圆，
∴∠HCM＝∠HQM
∴∠HCM＝∠QMB，且∠A＝∠CBA＝45°
∴△ACM∽△BMQ
∴
∴
∴BQ＝
∴AM＝2 时，BQ有最大值为2．
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