文档内容
2023 年高考考前押题密卷（全国甲卷）
数学（理科）·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知全集 ，集合 ， 则集合 等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知 ， ，
所以 ， ，故选：B．
2．（改编）复数 与下列复数相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题设， ，故B、C、D错误；
1
学科网（北京）股份有限公司而 ，故A正确. 故选：A
3．如图，网格小正方形的边长为1，网格纸上绘制了一个多面体的三视图，则该多面体的体积为 （ ）
A．14 B．7 C． D．
【答案】C
【详解】如图，由三视图还原可得，原几何体为三棱台，且有 ， ， ，
.
因为 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 .
又 ，所以，三棱台的高即为 .
又 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ，
所以，由棱台的体积公式 .故选：C.
2
学科网（北京）股份有限公司4．某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制扇形统计图如图所示，在华中地区的三省中，湖北省的
营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约2156万元.则下列说法错误的是（ ）
A．该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为35.6%
B．该公司在华东地区的营收额比西南地区､东北地区及湖北省的营收额之和还多
C．该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的三倍还多
D．该公司2022年营收总额约为30800万元
【答案】A
【详解】选项A，由右图华中地区的扇形图及湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，可知湖北省的
营收额约为 ，河南省的营收额约为 ，则湖南省的营收额约为 ，
因为华中地区的总营收额为 ，所以该公司湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为
，所以A错误.
选项B，由左图2022年的营收额的扇形图知，华东地区的营收额约为 ，西南地区的营收额约为
，东北地区营收额约为 ，
由选项A中得出湖北省的营收额约为 ，所以西南地区､东北地区及湖北省的营收额之和为
，
因为 ，所以该公司华东地区的营收额比西南地区､东北地区及湖北省的营收额之和还多，所
以B正确.选项C，由左图2022年的营收额的扇形图知，华南地区的营收额约为 ，
由选项A中得出河南省的营收额约为 ，
因为 ， ，所以该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的三倍还多，
所以C正确.选项D，由已知湖南省的营收额约2156万元，由选项A中得出湖南省的营收额约为 ，
所以该公司2022年营收总额约 万元，所以D正确. 故选：A.
5．函数 的图象大致为（ ）
3
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，可得 ，则 定义域为 ，
则 ，
，
则 为偶函数，其图像关于y轴轴对称，排除选项CD；
又 ，则排除选项B，正确选项为A.故选：A
6．数列 中， ，定义：使 为整数的数 叫做期盼数，则区
间 内的所有期盼数的和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： ， ，
，
又 为整数， 必须是2的 次幂 ，即 ．
内所有的“幸运数”的和：
4
学科网（北京）股份有限公司，故选：D．
7．已知 ，函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得 ，
即函数的单调递减区间为 ，
令 ，则函数 其中一个的单调递减区间为： 函数 在区间 内单调递减，
则满足 ，得 ，所以 的取值范围是 .故选：D.
8．（改编）在平面直角坐标系 y中，圆 的方程为 ，若直线 上存在一点 ，使
过点 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，得 ，则圆心 ，半径 ，
因为过点 所作的圆的两条切线相互垂直，所以 ， 及两切点构成正方形，且对角线 ，
在直线 上，则圆心到直线的距离 ，解得 或
根据选项，满足条件的为B.故选：B.
5
学科网（北京）股份有限公司9．在二项式 的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理
项都互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在二项式 展开式中，二项式系数的和为 ，所以 .
则 即 ，通项公式为 ，
故展开式共有9项，当 时，展开式为有理项，
把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，
即把其它的6个无理项先任意排，再把这三个有理项插入其中的7个空中，方法共有 种,
故有理项都互不相邻的概率为 , 故选：C
10．如图， 为正方体，下列错误的是（ ）
A． 平面 B．平面 平面 ．
C． 与 共面 D．异面直线 与 所成的角为90度
【答案】C
【详解】对于A，由正方体的性质知： ， 平面 ， 平面 ，
6
学科网（北京）股份有限公司所以 平面 ，故A正确；
对于B，由正方体的性质知： 平面 ，
平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，则平面 平面 ，故B正确；
对于C， 平面 ，因为 平面 ， 平面 ，
平面 ，由异面直线的判定定理知 与 是异面直线，故C不正确；
对于D，以 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，
， ， ， ， ， ，
所以异面直线 与 所成的角为90度，故D正确.故选：C.
11．若存在 ，使得关于 的不等式 成立，则实数 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】由 两边取对数可得 ①，
7
学科网（北京）股份有限公司令 则 ，因为 ，所以 ，则①可转化得 ，
因为 ， 因为存在 ，使得关于 的不等式 成立，
所以存在 ， 成立，故求 的最小值即可，令
，
令 ，
令 ， ，
所以 在 上单调递减，所以 ， ，所以 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减， ，
，所以实数 的最小值为 故选：D
12．如图拋物线 的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ，焦准距为4；抛物线 的顶点为 ，焦点也为 ，
准线为 ，焦准距为6． 和 交于 、 两点，分别过 、 作直线与两准线垂直，垂足分别为M、
N、S、T，过 的直线与封闭曲线 交于 、 两点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．四边形 的面积为100 C． D． 的取值范围为
8
学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【详解】设直线 与直线 分别交于 ，由题可知 ，
所以 ， ，故A正确；
如图以 为原点建立平面直角坐标系，则 ， ，所以抛物线 的方程为 ，
连接 ，由抛物线的定义可知 ，
又 ，所以 ，代入 ，可得 ，
所以 ，又 ，故四边形 的面积为 ，故B错误；
连接 ，因为 ，所以 ，
所以 ，故 ，故C正确；
根据抛物线的对称性不妨设点 在封闭曲线 的上部分，设 在直线 上的射影分别为 ，
当点 在抛物线 ，点 在抛物线 上时， ，
当 与 重合时， 最小，最小值为 ，
当 与 重合，点 在抛物线 上时，因为 ，直线 ，
与抛物线 的方程为 联立，可得 ，设 ，
9
学科网（北京）股份有限公司则 ， ，所以 ；
当点 在抛物线 ，点 在抛物线 上时，设 ，
与抛物线 的方程为 联立，可得 ，设 ，
则 ， ，当 ，
即 时取等号，故此时 ；
当点 在抛物线 ，点 在抛物线 上时，根据抛物线的对称性可知， ；
综上， ，故D正确. 故选：B.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
13．已知向量 ， 满足 ， ， ， 的夹角为150°，则 与 的夹角为______.
【答案】
【详解】因为 ， 与 的夹角为 ，所以 ，
所以 ，
得 ，又 ，所以 ，
又因为 ，所以 . 故答案为： .
14．已知曲线 在 处的切线为m，则过点 且与切线m垂直的直线方程为
__________．
10
学科网（北京）股份有限公司【答案】 ．
【分析】求得 ，得到切线的斜率，进而求得所求直线的斜率，结合点斜式方程，即可求
解.
【详解】由函数 ，可得 ，
则 ，即切线m的斜率为 ，
所以所求直线的斜率为1，其方程为 ，即 ．故答案为： .
15．在等比数列 中， 是函数 的极值点，则 ＝__________．
【答案】
【分析】由题，利用导数及韦达定理可得 ，后利用等比中项性质可得答案.
【详解】 ，由题 是方程 的两个不等实根，
则由韦达定理 ，所以
又 是 的等比中项且 与 同号，则 .故答案为： .
16．已知双曲线 的上焦点为 ，过焦点 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，
并与另一条渐近线交于点 ，若 ，则 的离心率为 。
【答案】 或
【详解】当 时，直线 与另一条渐近线平行，所以 ．
当 时，如图1，过 作另一条渐近线的垂线，垂足为 ，则 ，
11
学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，则 ，所以 ，
则 ， ，所以 ，
则 ， ．
当 时，如图2，过 作另一条渐近线的垂线，垂足为 ，则 ，
由 ，得 ，则 ，则 ，
所以 ，则 ， ，
所以 ，则 ， ．
综上， 的离心率为 或 .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分．
17．已知条件：① ；② ；③ .从三
个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
12
学科网（北京）股份有限公司问题：在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足：___________.
(1)求角 的大小；(2)若 ， 与 的平分线交于点 ，求 周长的最大值.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分
【答案】(1)条件选择见解析， ；(2) .
【详解】（1）选择条件①， ，
在 中，由余弦定理得 ，（2分）
整理得 ，则 ，又 ，所以 .（5分）
选择条件②， ，于是 ，
在 中，由正弦定理得， ，（2分）
因为 ，则 ，即 ，（3分）
因为 ，因此 ，即 ，又 ，所以 .（5分）
选择条件③， ，
在 中，因为 ，即 ，（2分）
则 ，又 ，即有 ，则 ，所以 .（5分）
（2）由（1）知， ，有 ，（6分）
而 与 的平分线交于点 ，即有 ，于是 ，（7分）
13
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，且 ，（8分）
在 中，由正弦定理得， ，
所以 ， ，（9分）
所以 的周长为
，（10分）
由 ，得 ，则当 ，即 时， 的周长取得最大值 ，
所以 周长的最大值为 .（12分）
18．区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术．区块链作为构造信任
的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2018年至2022年五年期间，中国的区块链企业
数量逐年增长，居世界前列．现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
编号x 1 2 3 4 5
企业总数量y（单位：千个） 2.156 3.727 8.305 24.279 36.224
(1)根据表中数据判断， 与 （其中e＝2.71828…为自然对数的底数），哪一个回归方程类
型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的结果，求 关于 的回归方程；（结果精确到小数点后第三位）
14
学科网（北京）股份有限公司附：线性回归方程 中， ，
参考数据： ， ， ，
(3)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区
块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参
加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公
司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，
乙胜丙的概率为 ，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？
【答案】(1) 适宜 (2) (3)甲公司获得“优胜公司”的概率最大
【详解】（1）根据表中数据可知增加的速度逐渐变快，
所以回归方程 适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；（2分）
（2）对 两边取自然对数，得 ，令 ，得 ,（3分）
由于 ， ， ，（4分）
则 ， ，（6分）
∴ 关于 的回归直线方程为 ，则 关于 的回归方程为 ；（7分）
（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：A：甲与乙先赛；B：甲与丙先赛；C：丙与乙先赛，
由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 ，（8分）
则甲公司获胜的概率分别是 ，（9分）
15
学科网（北京）股份有限公司，（10分）
，（11分）
由于 ，∴甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大．（12分）
19．如图，已知正方体 的棱长为 ， 分别为 的中点.(1)已知点 满足
，求证 四点共面；(2)求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）如图1，取 中点 ，连接 .
因为 分别是 的中点，所以 ，且 ，（1分）
16
学科网（北京）股份有限公司所以 是平行四边形，所以 .因为 ，所以 .（3分）
又 ，所以 ，所以 是 的中点.（5分）
又因为 是 的中点，所以 ，所以 ，所以 四点共面．（6分）
（2）如图2，以点 为坐标原点，分别以 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， .（7分）
设平面 的一个法向量为 ，
由 可得， ，取 ，则 是平面 的一个法向量.（9分）
设平面 的一个法向量为 ，
由 可得， ，取 ，则 是平面 的一个法向量.（11分）
所以， ，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．（12分）
20．已知椭圆 的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，
且 ．(1)求椭圆C的方程；(2)若P为直线 上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．
①证明：直线CD过椭圆右焦点 ；②椭圆的左焦点为 ，求 的内切圆的最大面积．
【答案】(1) (2)①证明见解析；②
17
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由已知得： ， ， ，设 ，
因为M在椭圆上，所以 ① （2分）
因为 ，将①式代入，得 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ．（4分）
（2）①设 ，则 ， ，所以 ， ，
联立方程 ，得 ， 则 ．（5分）
联立方程 ，得 ， ，则 ，（6分）
椭圆的右焦点为 ， ， ，（7分）
因为 ，说明C，D， 三点共线，即直线CD恒过 点．（8分）
②因为直线CD恒过 点，所以 的周长为 ，
设 内切圆的半径为 ，所以 的面积 ，
18
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，（9分）
若内切圆的面积最大，即r最大，也就是 最大，
因为 三点不共线，所以直线CD的斜率不为0，设直线CD的方程为 ，
代入 得： ，可得 ， ，
又因为
令 ，（*）式化为： ， （11分）
因为函数 在 上单调递增，所以当 ，即 时，（*）式取最大值3，
所以 ，故 ，所以得到 内切圆面积的最大值为 ，当 时取得．（12分）
21．已知函数 ，设m，n为两个不相等的正数，且 .(1)求实数a的取
值范围；(2)证明： . 微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
【答案】(1) (2)证明见解析
【详解】（1）由题意， 有两个不相等正根，
所以 有两个不相等正根，即 有两个不相等正根，（1分）
19
学科网（北京）股份有限公司记函数 ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，（3分）
令 得 ，且 ，x无限趋近于0时，函数值无限趋向于0，
作出函数 的图象，如图
（4分）
要使 有两个不相等正根，则函数 与函数 有两个交点，
由图知 ，故实数a的取值范围 .（5分）
（2）函数 定义域为 ，
当 时， ， 在 上单调递增，不符合题意；
当 时，若 时， ， 在 上单调递减，若 时， ， 在
上单调递增，（7分）
由题意，不妨设 ，先证明 .要证 ，即证 ；
因为 ，且 在 上单调递增，故只需证明 ，（8分）
令 ，
则 ，所以 在 上单调递增，（9分）
20
学科网（北京）股份有限公司所以当 时， ，则有 ，
因为 ，所以 ，则 ，故 ；
再证 ，即证 .因为 ，且 在 上单调递增，（10分）
只需证明 ，即证 ，
因为 ，所以 ，
所以只需证明 ，令 ，（11分）
则 ．令 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，于是 ，
从而可得 在 上单调递减，故 ，
所以 成立，故 .综上， .（12分）
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhou 2022），简称“杭州2022年亚运会”，
将在中国浙江杭州举行，原定于2022年9月10日至25日举办；2022年7月19日亚洲奥林匹克理事会宣
布将于2023年9月23日至10月8日举办，赛事名称和标识保持不变。某高中体育爱好者为纪念在我国举
办的第三次亚运会，借四叶草具有幸福幸运的象征意义，准备设计一枚四叶草徽章捐献给亚运会。如图，
在极坐标系Ox中，方程 表示的图形为“四叶草”对应的曲线C．(1)设直线l：
21
学科网（北京）股份有限公司与C交于异于O的两点A、B，求线段AB的长；
(2)设P和Q是C上的两点，且 ，求 的最大值．
【答案】(1)9 (2)
【详解】（1）设A、B两点的极坐标分别为 、 ，（2分）
则 ，
，因此， ；（5分）
（2）根据对称性，不妨设 、 ，
．（8分）
∵ ，则 ，
所以当 时，即 ， 时， ．（10分）
[选修4-5：不等式选讲] 微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
23．已知函数 ．(1)求不等式 的解集；(2)若 的最小值为m，正数a，b，c
22
学科网（北京）股份有限公司满足 ，求证 ．
【答案】(1) (2)答案见详解
【详解】（1）当 时， ，
解 ，即 ，解得 ；
当 时， ，
解 ，即 ，解得 ，无解；
当 时， ，
解 ，即 ，解得 .（4分）
综上所述，不等式 的解集为 . （5分）
（2）由（1）可知， .
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，（7分）
所以函数 的最小值为2，所以 ，所以 .（8分）
由柯西不等式可得， ，（9分）
当且仅当 时，等号成立.所以 ，所以 。（10分）
23
学科网（北京）股份有限公司24
学科网（北京）股份有限公司
