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2021年甘肃省白银市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。
1．【分析】根据倒数的定义进行答题．
【解答】解：设3的倒数是a，则3a＝1，
解得，a＝ ．
故选：D．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个
数互为倒数．
2．【分析】根据轴对称图形的概念判断求解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图形沿某条直线折叠，如
果图形的两部分能够重合，那么这个图形是轴对称图形．
3．【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；
根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝2 ，所以A选项的计算错误；
B、原式＝3 ，所以B选项的计算错误；
C、原式＝ ＝ ，所以C选项的计算正确；
D、原式＝ ＝ ＝2，所以D选项的计算错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法和除法法则．
4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将50亿用科学记数法表示为5×109．
故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．【分析】根据“上加下减”的原则求解即可．
【解答】解：将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得的函数解析式为y＝5x﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则是解答此题
的关键．
6．【分析】根据角的和差得到∠ABF＝70°，再根据两直线平行，同位角相等即可得解．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠CBF＝20°，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝70°，
∵DE∥BF，
∴∠ADE＝∠ABF＝70°，
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
7．【分析】连接OC、OD，可得∠AOB＝∠COD＝42°，由圆周角定理即可得∠CED＝ ∠COD
＝21°．
【解答】解：连接OC、OD，
∵AB＝CD，∠AOB＝42°，
∴∠AOB＝∠COD＝42°，
∴∠CED＝ ∠COD＝21°．
故选：D．
【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理，解题的关键是掌握圆周
角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的
一半．
8．【分析】设共有x人，y辆车，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设共有x人，y辆车，
依题意得： ．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正
确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．【分析】根据（m，n）是“相随数对”得出9m+4n＝0，再将原式化成9m+4n﹣2，最后整体代
入求值即可．
【解答】解：∵（m，n）是“相随数对”，
∴ + ＝ ，
∴ ＝ ，
即9m+4n＝0，
∴3m+2[3m+（2n﹣1）]
＝3m+2[3m+2n﹣1]
＝3m+6m+4n﹣2
＝9m+4n﹣2
＝0﹣2
＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查代数式求值，理解“相随数对”的意义是正确计算的关键．
10．【分析】先根据AB＝BC结合图2得出AB＝ ，进而利用勾股定理得，AD²+BD²＝13，
再由运动结合△ADM的面积的变化，得出点M和点B重合时，△ADM的面积最大，其值
为3，即 AD•BD＝3，进而建立二元二次方程组求解，即可得出结论．
【解答】解：由图2知，AB+BC＝2 ，
∵AB＝BC，
∴AB＝ ，
∵AB＝BC，BD⊥AC，
∴AC＝2AD，∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD²+BD²＝AB²＝13①，
设点M到AC的距离为h，
∴S△ADM ＝ AD•h，
∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，
∴当点M运动到点B时，△ADM的面积最大，即h＝BD，
由图2知，△ADM的面积最大为3，
∴ AD•BD＝3，
∴AD•BD＝6②，
①+2×②得，AD²+BD²+2AD•BD＝13+2×6＝25，
∴（AD+BD）²＝25，
∴AD+BD＝5（负值舍去），
∴BD＝5﹣AD③，
将③代入②得，AD（5﹣AD）＝6，
∴AD＝3或AD＝2，
∵AD＞BD，
∴AD＝3，
∴AC＝2AD＝6，
故选：B．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，判断出AB＝ 和点M
和点B重合时，△ADM的面积为3是解本题的关键．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。
11．【分析】提取公因式进行因式分解．
【解答】解：4m﹣2m2＝2m（2﹣m），
故答案为：2m（2﹣m）．
【点评】本题考查提公因式法进行因式分解，掌握提取公因式的技巧准确计算是解题关键．
12．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：移项，得： x＞1+ ，
合并同类项，得： x＞ ，系数化为1，得：x＞ ，
故答案为：x＞ ．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关
键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．
13．【分析】根据根的判别式Δ＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的
关键．
14．【分析】根据众数的定义就可解决问题．
【解答】解：36.6℃出现的次数最多有4次，所以众数是36.6℃．
故答案为：36.6．
【点评】本题主要考查了众数的定义，正确理解众数的意义是解决本题的关键．
15．【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AD长，再根据矩形的性
质得出AD∥BC，∠B＝90°，然后解直角三角形ABE即可．
【解答】解：∵∠AED＝90°，F是AD边的中点，EF＝4cm，
∴AD＝2EF＝8cm，
∵∠EAD＝30°，
∴AE＝AD•cos30°＝8× ＝4 cm，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠BEA＝∠EAD＝30°，
在Rt△ABE中，
BE＝AE•cos∠BEA＝4 ×cos30°＝4 × ＝6（cm），
故答案为：6．
【点评】本题考查了矩形的性质直角三角形斜边上的中线以及解直角三角形，关键是利用直角三角形斜边上的中线求出AD的长．
16．【分析】反比例函数y＝ 的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
判断出y的值的大小关系．
【解答】解：∵k＝a2+1＞0，
∴反比例函数y＝ 的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣3，y ），B（﹣4，y ）同在第三象限，且﹣3＞﹣4，
1 2
∴y ＜y ，
1 2
故答案为：＜．
【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解决问题的关键，
17．【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形
面积公式求出即可．
【解答】解：连接AC，
∵从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC＝90°，
∴AC为直径，即AC＝4dm，AB＝BC（扇形的半径相等），
∵AB2+BC2＝22，
∴AB＝BC＝2 dm，
∴阴影部分的面积是 ＝2 （dm2）．
π
故答案为：2 ．
【点评】本题π考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关
键．
18．【分析】根据已知的式子可以得到每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项的
符号：第奇数项是正号，第偶数项是负号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，据此即可
写出．
【解答】解：观察代数式，得到第n个式子是：an+（﹣1）n+1•2b2n﹣1．故答案为：an+（﹣1）n+1•2b2n﹣1．
【点评】本题考查了探索规律，根据所排列的代数式，总结出规律是解题的关键．
三、解答题：本大题共5小题，共26分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤。
19．【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝1+2﹣2×
＝3﹣ ．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，牢记 a﹣p＝
（a≠0）是解题的关键．
20．【分析】首先将分式的分子与分母进行分解因式进而化简，再将x的值代入求出答案．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）• ＝ • ＝﹣ ，
当x＝4时，原式＝﹣ ＝﹣ ．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题关键．
21．【分析】（1）①根据要求作出图形即可．
②根据要求作出图形即可．
（2）证明△DFB≌△DCB可得结论．
【解答】解：（1）①如图，直线DE，线段AD，线段CD即为所求．
②如图，点F，线段CD，BD，BF即为所求作．
（2）结论：BF＝BC．
理由：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AD＝DF，∴DF＝DC， ＝ ，
∴∠DBC＝∠DBF，
∵∠DFB+∠DAC＝180°．∠DCB+∠DCA＝180°，
∴∠DFB＝∠DCB，
在△DFB和△DCB中，
，
∴△DFB≌△DCB（AAS），
∴BF＝BC．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，
圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，正确寻找全等三角形解决问题．
22．【分析】设设CD＝xcm，在Rt△ACD中，可得出AD＝ ，在Rt△BCD中，BD＝
，再由AD+BD＝AB，列式计算即可得出答案．
【解答】解：设CD＝xm，
在Rt△ACD中，AD＝ ，
在Rt△BCD中，BD＝ ，
∵AD+BD＝AB，
∴ ，
解得，x≈33.4．
答：宝塔的高度约为33.4m．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是
解决本题的关键．
23．【分析】（1）设白球有x个，根据多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右
可估计摸到红球的概率为0.75，据此利用概率公式列出关于x的方程，解之即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即
可．
【解答】解：（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，∴估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有x个，
根据题意，得： ＝0.75，
解得x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
∴估计箱子里白色小球的个数为1；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，
∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
四、解答题：本大题共5小题，共40分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤。
24．【分析】（1）由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘以A等级对应
百分比可得m的值；
（2）总人数乘以C等级人数所占百分比求出其人数即可补全图形；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）总人数乘以样本中D、E等级人数和所占比例即可．
【解答】解：（1）一共调查学生人数为40÷20%＝200（人），A等级人数m＝200×8%＝16
（人），
故答案为：200，16；
（2）∵C等级人数为200×25%＝50（人），
补全频数分布直方图如下：（3）由于一共有200个数据，其中位数是第100、101个数据的平均数，而第100、101个数
据都落在C等级，
所以所抽取学生成绩的中位数落在C等级；
故答案为：C．
（4）估计成绩优秀的学生有2000× ＝940（人）．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确
题意，利用数形结合的思想解答．
25．【分析】（1）根据函数图象和题意可以求得小刚家与学校的距离为3000m，小刚骑自行车
的速度为200m/min；
（2）先求出小刚从图书馆返回家的时间，进而得出总时间，再利用待定系数法即可求出y
与x之间的函数关系式；
（3）把x＝35代入（2）的结论解答即可．
【解答】解：（1）由题意得，小刚家与学校的距离为3000m，
小刚骑自行车的速度为：（5000﹣3000）÷10＝200（m/min），
故答案为：3000；200；
（2）小刚从图书馆返回家的时间：5000÷200＝25（min），
总时间：25+20＝45（min），
设小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数表达式为y＝kx+b，
把（20，5000），（45，0）代入得：
，解得 ，
∴y＝﹣200x+9000（20≤x≤45）；（3）小刚出发35分钟时，即当x＝35时，
y＝﹣200×35+9000＝2000．
答：此时他离家2000m．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
件，利用该数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
26．【分析】（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出，∠OCA＝∠DCB，由圆周角定理可得
∠ACB＝90°，进而得到∠OCD＝90°，即可得出结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到 ＝ ＝ ，设BD＝2x，则OB＝OC＝3x，OD＝
OB+BD＝5x，在Rt△OCD中，根据勾股定理求出x＝1，即 O的半径为3，由平行线的性
质得到∠OCB＝∠EOC，在Rt△OCE中，可求得tan∠EO⊙C＝2，即tan∠OCB＝2．
【解答】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠DCB＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DCB，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，
即∠OCD＝90°，
∴OC⊥DC，
∵OC是 O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：⊙∵OE∥BC，
∴ ＝ ，
∵CD＝4，CE＝6，
∴ ＝ ＝ ，
设BD＝2x，则OB＝OC＝3x，OD＝OB+BD＝5x，
∵OC⊥DC，
∴△OCD是直角三角形，在Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2，
∴（3x）2+42＝（5x）2，
解得，x＝1，
∴OC＝3x＝3，即 O的半径为3，
∵BC∥OE， ⊙
∴∠OCB＝∠EOC，
在Rt△OCE中，tan∠EOC＝ ＝ ＝2，
∴tan∠OCB＝tan∠EOC＝2．
【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判
定、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成
比例定理是解题的关键．
27．【分析】（1）根据矩形的性质得∠DAB＝∠B＝90°，由等角的余角相等可得∠ADE＝
∠BAF，利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性质得AD＝AB，即可得四
边形ABCD是正方形；
（2）利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性质得AE＝BF，由已知BH＝
AE可得BH＝BF，根据线段垂直平分线的性质可得即可得AH＝AF，△AHF是等腰三角形；
类比迁移：延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，利用SAS可得△DAE≌△ABH
（SAS），由全等三角形的性质得AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，由已知DE＝AF可得AH
＝AF，可得△AHF是等边三角形，则AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，等量代换可得
DE＝AH＝8．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：△AHF是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠ABH＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AE＝BF，
∵DE＝AF，
∴BH＝AE，
∴BH＝BF，
∵∠ABH＝90°，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等腰三角形；
类比迁移：解：延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝AD，∴∠ABH＝∠BAD，
∵BH＝AE，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，
∵DE＝AF，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等边三角形，
∴AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，
∴DE＝AH＝8．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的
判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）求出点D的坐标，可得结论．
（3）①过点H作HM⊥EF于M，证明△EMH≌△FGB（AAS），推出MH＝GB，EM＝FG，
由HM＝OG，可得OG＝GB＝ OB＝2，由题意直线AB的解析式为y＝ x﹣2，设E（a，
﹣2a+8），F（a， a﹣2），根据MH＝BG，构建方程求解，可得结论．
②因为△PHB的周长＝PH+PB+HB＝PC+2+PB+5＝PC+PB+7，所以要使得△PHB的周
长最小，只要PC+PB的值最小，因为PC+PB≥BC，所以当点P在BC上时，PC+PB＝BC
的值最小．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ x2+bx+c过A（0，﹣2），B（4，0）两点，
∴ ，
解得 ，
∴y＝ x2﹣ x﹣2．（2）∵B（4，0），A（0，﹣2），
∴OB＝4，OA＝2，
∵GF⊥x轴，OA⊥x轴，
在Rt△BOA和Rt△BGF中，tan∠ABO＝ ＝ ，
即 ＝ ，
∴GB＝1，
∴OG＝OB﹣GB＝4﹣1＝3，
当x＝3时，y ＝ ×9﹣ ×3﹣2＝﹣2，
D
∴D（3，﹣2），即GD＝2，
∴FD＝GD﹣GF＝2﹣ ＝ ，
∴S△BDF ＝ •DF•BG＝ × ×1＝ ．
（3）①如图1中，过点H作HM⊥EF于M，
∵四边形BEHF是矩形，
∴EH∥BF，EH＝BF，
∴∠HEF＝∠BFE，∵∠EMH＝∠FGB＝90°，
∴△EMH≌△FGB（AAS），
∴MH＝GB，EM＝FG，
∵HM＝OG，
∴OG＝GB＝ OB＝2，
∵A（0，﹣2），B（4，0），
∴直线AB的解析式为y＝ x﹣2，
设E（a，﹣2a+8），F（a， a﹣2），
由MH＝BG得到，a﹣0＝4﹣a，
∴a＝2，
∴E（2，4），F（2，﹣1），
∴FG＝1，
∵EM＝FG，
∴4﹣y ＝1，
H
∴y ＝3，
H
∴H（0，3）．
②如图2中，BH＝ ＝ ＝5，
∵PH＝PC+2，
∴△PHB的周长＝PH+PB+HB＝PC+2+PB+5＝PC+PB+7，
要使得△PHB的周长最小，只要PC+PB的值最小，
∵PC+PB≥BC，
∴当点P在BC上时，PC+PB＝BC的值最小，
∵BC＝ ＝ ＝4 ，
∴△PHB的周长的最小值为4 +7．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，全等三角形
的判定和性质，矩形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会寻找全
等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2022/1/24 19:15:56；用户：我不叫王海宁；邮箱：orFmNtygTZdeoRRXtaD47YJRzPg0@weixin.jyeoo.com；学号：39962365
