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2021 年辽宁省鞍山市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的每小题3分，共24
分）
1. 下列实数最小的是（ ）
A. －2 B. －3.5 C. 0 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据实数大小比较的方法进行求解即可．
【详解】解：因 为，
所以最小的实数是－3.5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握应用实数大小的比较方法进行求解是
解题的关键．
2. 下列四幅图片上呈现 的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那
么这个图形就叫做中心对称图形.据此判断即可．
【详解】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关
键．3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘
方的性质逐项计算可判断求解．
【详解】解：A． 与 不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；
B． ，故B选项不符合题意；
C． ，故C选项符合题意；
D． ，故D选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与
积的乘方，掌握以上知识是解题的关键．
4. 不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出不等式的解集，将解集在数轴上表示出来．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴不等式的解集为： ，
表示在数轴上如图：
故选B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键
在于能够熟练掌握相关知识进行求解.5. 如图，直线 ，将一个含 角的三角尺按如图所示的位置放置，若 ，则
的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质求解，找出图中 ，进而求出∠3，再根据平行线
性质求出∠2即可．
【详解】解：如图，作 ，
三角尺是含 角的三角尺，
，
，
，
，
， ，
，
，
故选：C．
【点睛】此题考查平行线的性质，利用平行线性质求角，涉及到直角三角形两个余角的关
系．
6. 某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：
时间/h 6 7 8 9
人数 2 18 14 6
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A. 18，7.5 B. 18，7 C. 7，8 D. 7，7.5
【答案】D【解析】
【分析】根据众数和中位数的定义进行求解即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，参加体育锻炼时间的众数为7，
因为该班有40名同学，所以中位数为第20和21名同学时间，第20名同学的时间为 ，
第21名同学的时间为 ，
所以中位数为 ．
故选：D．
【点睛】考查了中位数、众数的概念．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数
是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平
均数），叫做这组数据的中位数．
7. 如图，AB为 的直径，C，D为 上的两点，若 ，则 的度数为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接AD，如图，根据圆周角定理得到 ， ，然后利用互
余计算出 ，从而得到 的度数．
【详解】解：连接AD，如图，
AB为 的直径，
，
，
．
故选B．【点睛】本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键
在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
8. 如图， 是等边三角形， ，点M从点C出发沿CB方向以 的速度
匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以 的速度匀速运动，当点M
停止运动时，点N也随之停止．过点M作 交AB于点P，连接MN，NP，作
关于直线MP对称的 ，设运动时间为ts， 与 重叠部分的面
积为 ，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出当点 落在AB上时，t的值，分 或 两种情形，分别
求出S的解析式，可得结论．
【详解】解：如图1中，当点 落在AB上时，取CN的中点T，连接MT．
， ， ，
，是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
， ， ，
， 是等边三角形，
，
，
，
，
四边形CMPN是平行四边形，
，
，
，
如图2中，当 时，过点M作 于K，则 ，
．
如图3中，当 时， ，观察图象可知，选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查动点问题，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是
学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9. 第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为1411780000人．将1411780000用科
学记数法可表示为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据把一个大于10的数记成 的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n
是正整数，进行求解即可出得出答案．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，
其中 1≤|a|<10 ， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
10. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑
色区域的概率是_________________．
【答案】
【解析】
【分析】求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】解：由图可知：黑色方砖有8个小三角形，每4个三角形是大正方形面积的∴黑色方砖在整个地板中所占的比值 ，
∴小球最终停留在黑色区域的概率 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够准确找出黑色方砖面积与
整个区域面积的关系.
11. 如图， 沿BC所在直线向右平移得 ，已知 ， ，则平移的
距离为___．
【答案】3
【解析】
【分析】利用平移的性质解决问题即可；
【详解】由平移的性质可知，BE=CF，
∵BF=8，EC=2，
∴BE+CF=8-2=6，
∴BE=CF=3，
∴平移的距离为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题
型；
12. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中
华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发
现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售
该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套
的价格为x元，则符合题意的方程是___________________．
【答案】
【解析】
【分析】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为 x元，则设第二批购买的“四大名
著”每套的价格为0.8x元，利用数量＝总价÷单价，结合第二批购买的套数比第一批少4
套，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为 x元，则设第二批购买的“四大
名著”每套的价格为0.8x元，依题意得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列
出方程.
13. 如图，矩形ABCD中， ，对角线AC，BD交于点O， ，垂足为点
H，若 ，则AD的长为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】由矩形的性质得 ， ，求出 ，利用30°
角的直角三角形的性质求出 CH 的长度，再利用勾股定理求出 DH 的长度，根据
求出 ，然后由含 角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解： 四边形ABCD是矩形，
， ，
，
， ，
∴
在 中，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是矩形的性质以及直角三角形30°的性质，熟练掌握直角三角形30°
的性质是解决本题的关键．
14. 如图， ，定长为a的线段端点A，B分别在射线OP，OQ上运动（点A，
B不与点O重合），C为AB的中点，作 关于直线OC对称的 ， 交AB于点D，当 是等腰三角形时， 的度数为_____________．
【答案】 或
【解析】
【 分 析 】 结 合 折 叠 及 直 角 三 角 形 斜 边 中 线 等 于 斜 边 一 半 的 性 质 可 得
，设 ，然后利用三角形外角
和等腰三角形的性质表示出 ， ， ，
，从而利用分类讨论思想解题．
【详解】解： ，C为AB的中点，
，
， ，
又由折叠性质可得 ，
，
设 ，则 ， ，
， ，
①当 时， ，
，
解得 ，
；
②当 时， ，
，方程无解，
此情况不存在；
③当 时， ，
，
解得： ，
；
综上， 的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】此题考查折叠及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，三角形外角和等腰三角形的性质，难度一般．
15. 如图， 的顶点B在反比例函数 的图象上，顶点C在x轴负半轴上，
轴，AB，BC分别交y轴于点D，E．若 ， ，则
_____．
【答案】18
【解析】
【分析】过点B作 轴于点F，通过设参数表示出△ABC的面积，从而求出参数的
值，再利用△ABC与矩形ODBF的关系求出矩形面积，即可求得 k的值．
【详解】解：如图，过点B作 轴于点F．
轴，
，
，
，
，
设 ， ，则 ， ，
， ，
，，
，
，
，
又 反比例函数图象在第一象限，
，
故答案为18．
【点睛】此题考查反比例函数知识，涉及三角形相似及利用相似求长度，矩形面积公式等，
难度一般．
16. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，F是线段OD上的动点（点F
不与点O，D重合），连接CF，过点F作 分别交AC，AB于点H，G，连接CG
交BD于点M，作 交CG于点E，EF交AC于点N．有下列结论：①当
时， ；② ；③当 时， ；
④ ．其中正确的是_______（填序号即可）．
【答案】①③④
【解析】
【分析】①正确．利用面积法证明 即可．
②错误．假设成立，推出 ，显然不符合条件．
③正确．如图2中，过点M作 于P， 于Q，连接AF．想办法证明
，再利用相似三角形的性质，解决问题即可．
④正确．如图3中，将 绕点C顺时针旋转 得到 ，连接FW．则
， ， ， ，证明
，利用勾股定理，即可解决问题．
【详解】解：如图1中，过点G作 于T．，
，
， ，
四边形ABCD是正方形，
， ，
，
， ，
，
，
，故①正确，
假设 成立，
，
，
，显然这个条件不成立，故②错误，
如图2中，过点M作 于P， 于Q，连接AF．
， ，
，
， ， ，
，
， ，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
， ， ，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，故③正确，如图3中，将 绕点C顺时针旋转 得到 ，连接FW．则 ，
， ， ，
∵FG=FC，∠GFO=∠FCN，∠FGM=∠CFN=45°，
∴△FGM≌△CFN，
∴FM=CN，
， ， ，
，
，
，
，
，故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角
三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌
握相关知识进行求解.
三、解答题（每小题8分，共16分）
17. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】【分析】根据分式的混合运算的运算法则把原式化简为 ，再代入求值．
【详解】解：
．
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入
求出分式的值．
18. 如图，在 中，G为BC边上一点， ，延长DG交AB的延长线于点
E，过点A作 交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先证四边形AEDF是平行四边形，再证 ，则 ，即可得
出结论．
【详解】证明： 四边形ABCD是平行四边形，
， ， ，
，
四边形AEDF是平行四边形，
，
，
，
，
，，
平行四边形AEDF是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，菱形的判定定理，熟练掌握以上几
何性质是解题的关键．
四、解答题（每小题10分，共20分）
19. 为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府
积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海
报内容分别是：
A.防疫道路千万条，接种疫苗第一条；
B．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；
C．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；
D．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．
志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．
（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是 ．
（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人
中有一个人抽到D海报的概率．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的结
果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1） 每套海报四张
小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的结果有6种，
小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的概率为 ．
【点睛】本题考查了概率的计算，用列表法或画树状图法求概率，掌握概率的计算方法是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所
求情况数与总情况数之比．
20. 为庆祝建党100周年，某校开展“学党史•颂党恩”的作品征集活动，征集的作品分为
四类：征文、书法、剪纸、绘画．学校随机抽取部分学生的作品进行整理，并根据结果绘
制成如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）所抽取的学生作品的样本容量是多少？
（2）补全条形统计图．
（3）本次活动共征集作品1200件，估计绘画作品有多少件．
【答案】（1）120；（2）图形见解析；（3）360件
【解析】
【分析】（1）根据剪纸的人数除以所占百分比，得到抽取作品的总件数；
（2）由总件数减去其他作品数，求出绘画作品的件数，补全条形统计图即可；
（3）求出样本中绘画作品的百分比，乘以1200即可得到结果．
【详解】解：（1）根据题意得： （件），
所抽取的学生作品的样本容量是120；
（2）绘画作品为 （件），
补全统计图，如图所示：（3）根据题意得： （件），
则绘画作品约有360件．
答：本次活动共征集作品1200件时，绘画作品约有360件．
【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体，条形统计图和
扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关
键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分
比大小．
五、解答题（每小题10分，共20分）
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于A，B
两点，与反比例函数 的图象在第二象限交于C， 两点， 交x轴
于点E，若 ．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形OCDE的面积．
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质
求得C点坐标，再利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A点和E点坐标，然后用
的面积减去 的面积求解．
【详解】解：（1）将 代入 中，
，
反比例函数的解析式为 ；
过点D作 轴，过点C作 轴，，
，
，
，
将 代入 中，
，
解得： ，
C点坐标为 ，
将 ， 代入 中，
可得 ，
解得： ，
一次函数的解析式为 ；
（2）设直线OC的解析式为 ，
将 代入，得： ，
解得： ，
直线OC的解析式为 ，
由 ，设直线DE的解析式为 ，
将 代入可得： ，
解得： ，
直线DE的解析式为 ，
当 时， ，解得： ，
E点坐标为 ，
，
在 中，当 时， ，
解得： ，
A点坐标为 ，
，
，
．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质，掌握一次函
数及反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．
22. 小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小
明自公园北门A处出发，沿南偏东 方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正
东方向行走 到达C处，再沿北偏东 方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所
示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数
据： ， ， ， ）【答案】
【解析】
【分析】作 于E， 于F，易得四边形 BCFE是矩形，则 ，
，设 ，则 ，在 中利用含30度的直
角 三 角 形 三 边 的 关 系 得 到 ， 在 中 ，
，根据题意得到 ，求得x的值，然后根据
勾股定理求得AE和BE，进而求得AB．
【详解】解：如图，作 于E， 于F，
，
四边形BCFE是矩形，
， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，，
解得： ，
，
，
，
，
由勾股定理得 ，
，
，
答：公园北门A与南门B之间的距离约为 ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确构建直角三角形是解
题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
23. 如图，AB为 的直径，C为 上一点，D为AB上一点， ，过点A作
交CD的延长线于点E，CE交 于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取
点F，使 ．
（1）求证：CF是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析；（2）5
【解析】
【分析】（1）根据题意判定 ，然后结合相似三角形的性质求得
，从而可得 ，然后结合等腰三角形的性质求得
，从而判定CF是 的切线；
（2）由切线长定理可得 ，从而可得 ，得到 ，然后利用
勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．【详解】（1）证明： ， ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
， ，
，
，
AB是 的直径，
，
又 ，
，
，
，
即CF是 的切线；
（2） CF是 的切线， ，
，
，
，
又 ，
在 中， ，
设 的半径为x，则 ， ，
在 中， ，
解得： ，
的半径为5．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定
理等，熟练掌握相关定理与性质是解决本题的关键．
24. 2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进
行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售
一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，
经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设
这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1） ；（2）当销售单价为56元时，每天所获得的利润最大，最
大利润为1152元
【解析】
【分析】（1）根据“销售单价每降低1元，则每天可多售出2件”列函数关系式；
（2）根据总利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，然后利用二次函数的性质分析其最
值．
【详解】解：（1）由题意可得： ，
整理，得： ，
每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 ；
（2）设销售所得利润为w，由题意可得：
，
整理，得： ，
，
当 时，w取最大值 为1152，
当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．
【点睛】此题考查二次函数的应用——销售问题，涉及运算能力及一次函数应用，熟练掌
握相关知识是解题的关键．
七、解答题（本题满分12分）
25. 如图，在 中， ， ，过点A作射线AM交
射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转 得到AN，过点C作 交直线AN于
点F，在AM上取点E，使 ．
（1）当AM与线段BC相交时，
①如图1，当 时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 ．
②如图2，当 时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．（2）当 ， 时，若 是直角三角形，直接写出AF的长．
【答案】（1）① ；② ，理由见解析；（2） 或
【解析】
【分析】（1）①结论： ．如图1中，作 交AM于T．想办法证
明 ， ，可得结论．
②结论： ．过点C作 于Q．想办法证明 ，
，可得结论．
（2）分两种情形：如图3－1中，当 时，过点B作 于J，过点F作
于K．利用勾股定理以及面积法求出CD，再证明 ，可得结论．如图
3－2中，当 时， ，解直角三角形求出AK，可得结论．
【详解】解：（1）①结论： ．
理由：如图1中，作 交AM于T．
， ，
是等边三角形，
， ，
， ，
四边形AFCT是平行四边形，，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为： ．
②如图2中，结论： ．
理由：过点C作 于Q．
，
，
，
，
，
四边形AFCQ是矩形，
，
， ，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）如图3－1中，当 时，过点B作 于J，过点F作 于
K．
在 中， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形CDKF是平行四边形，
，
四边形CDKF是矩形，
，
，
，
，
．
如图3－2中，当 时，同理可得：
，
，
，
在 中， ， ，
， ，
，
，
， ，
，，
，
．
综上所述，满足条件的AF的值为 或 ．
【点睛】此题是几何变换综合题．考查了等边三角形的判定及性质，平行四边形的判定及
性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，此题是一道几何综合题，掌
握各知识点并掌握推理能力是解题的关键．
八、解答题（本题满分14分）
26. 如图，抛物线 交x轴于点 ， ，D是抛物线的顶点，P
是抛物线上的动点，点P的横坐标为 ， 交直线l： 于点
E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求点P的坐标；
（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且 ，在点P
从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法将 ， 代入 ，即可求得答案；
（2）利用配方法可求得抛物线顶点坐标 ，由 得 ，再根据 与 的面积相等，可得 ，故点F分别是AP、ED的中点，
设 ， ，结合中点坐标公式建立方程求解即可；
（3）根据题意，分别求出t的最大值和最小值：①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，
此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角 ，以 为圆心，
为半径作 ，交抛物线对称轴于点 ，过点 作 轴于点H，运用
勾股定理即可求得答案，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如
图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作 交抛物线对称轴于点M，连接OM，设抛
物线对称轴交x轴于点E，运用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：（1） 抛物线 交x轴于点 ， ，
将A、B坐标分别代入抛物线解析式得： ，
解得： ，
抛物线的表达式为： ；
（2）如图，
D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为： ，
，
交直线l： 于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为
，
，设 ， ，
又 的面积为 ， 的面积为 ， ，
，
， ，即点F分别是AP、ED的中点，又 ， ， ， ，
由中点坐标公式得： ，
解得： （与“ ”不符，应舍去）， ，
，
， ；
（3）①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，
以OB为斜边在第一象限内作等腰直角 ，
则 ， ，
以 为圆心， 为半径作 ，交抛物线对称轴于点 ，
过点 作 轴于点H，则 ， ， ，
，
，
②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作 交抛物线对称轴于点M，
，
经过点C，
连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，
则 ， ，
，
，
，
综上所述， ．
【点睛】此题属于二次函数综合题，考查代数计算问题，涉及勾股定理，三角形全等，二
元一次方程和一元二次方程的解及圆的相关知识，属于压轴题类型．
