文档内容
商洛市 2024 届高三尖子生学情诊断考试（第二次）
数学试卷（文科）
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题
目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内
作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数 ，
，则 .设 ，则
的虚部为（ ）
A. B. C.1 D.0
3.一组数据： ，则这组数据的方差为（ ）
A.5.2 B.26 C.5 D.4.2
4.设向量 的夹角的余弦值为 ，则 （ ）
A.-1 B.1 C.-5 D.5
5.执行如图所示的程序框图，输出 的值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A.70 B.112 C.168 D.240
6.设 是等差数列 的前 项和，且 ，则 （ ）
A.34 B.30 C.26 D.22
7.已知偶函数 在 上单调递增，若 ，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
9.在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 是 上的一点，点 是 轴上的一点，且
，则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
10.数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列 ，其中从第3项起，每
一项都等于它前面两项之和，即 ，这样的数列称为“斐波那契数列”.若
，则 （ ）
A.175 B.176 C.177 D.178
11.已知三棱锥 的顶点都在球 的球面上，且 平面 ，若 ，
学科网（北京）股份有限公司，则球 的体积为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数 ，若对任意的 ，当 时，都有
，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知 ，设函数 ，则 的单调递减区间是__________.
14.已知函数 ，若曲线 在点 处的切线与直线 平行，
则 __________.
15.已知双曲线 的离心率为 ，其中一条渐近线与圆 交于
两点，则 __________.
16.魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺•鲁比克教授于1974年发明的机械益智
玩具.魔方拥有竞速､盲拧､单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力
游戏之一.一个三阶魔方，由27个棱长为1的正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了 ，则该魔方的
表面积增加了__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
学科网（北京）股份有限公司随着科学技术飞速发展，科技创新型人才需求量增大，在2015年，国家开始大力推行科技特长生招生扶持政
策，教育部也出台了《关于“十三五”期间全面深入推进教育信息化工作的指导意见（征求意见稿）》为选
拔和培养科技创新型人才做好准备.某调研机构调查了 两个参加国内学科竞赛的中学，从 两个中学
的参赛学员中随机抽取了60人统计其参赛获奖情况，并将结果整理如下：
未获得区前三名及以上名次 获得区前三名及以上名次
中学 11 6
中学 34 9
（1）试判断是否有 的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关？
（2）用分层抽样的方法，从样本中获得区前三名及以上名次的学生中抽取5人，再从这5人中任选3人进行
深度调研，求所选的3人中恰有2人来自 中学的概率.
附： ，其中 .
0.10 0.05 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
18.（本小题满分12分）
在 中，内角 的对边分别为 ，且 .
（1）证明： 是钝角三角形；
（2） 平分 ，且交 于点 ，若 ，求 的周长.
19.（本小题满分12分）
如图，在多面体 中，平面 平面 ，四边形 是矩形，四边形 是边长
为2的菱形， 是侧棱 上的一点，且 .
学科网（北京）股份有限公司（1）证明： ；
（2）若 为棱 的中点，求点 到平面 的距离.
20.（本小题满分12分）
设 分别是椭圆 的左､右焦点， ，椭圆的离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）作直线 与椭圆 交于不同的两点 ，其中点 的坐标为 ，若点 是线段 垂直平
分线上一点，且满足 ，求实数 的值.
21.（本小题满分12分）
已知函数 的导函数为 .
（1）证明：函数 有且只有一个极值点；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题
计分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 的普通方程和极坐标方程；
（2）在平面直角坐标系 中，过点 且倾斜角为 的直线 与曲线 交于 两点，证明：
.
学科网（北京）股份有限公司23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
商洛市 2024 届高三尖子生学情诊断考试（第二次）•数学试卷（文科）
参考答案､提示及评分细则
1.A 因为 ，所以
.故选A.
学科网（北京）股份有限公司2.B ，所以
，所以 的虚部为 .故选B.
3.A 依题意这组数据的平均数为 ，所以方差为
.2.故选A.
4.B 设 与 的夹角为 ，因为 与 的夹角的余弦值为 ，即 ，又 ，所以
，所以 .故选B.
5.C 第一次执行，由 ，则 ，又由 ，则进入循环；第一次循环，由
，则 ，又由 ，则进入循环；第二次循环，由 ，则
，又由 ，则进入循环；第三次循环，由 ，则
，又由 ，则进入循环；第四次循环，由 ，则
，又由 ，则进入循环；第五次循环，由 ，则
，又由 ，则进入循环；第六次循环，由 112，则
，又由 ，不成立，退出循环，则输出 .故选C.
6.B 设等差数列 的公差为 ，由 ，所以 解
学科网（北京）股份有限公司得 ，所以 .故选B.
7.A 因为偶函数 在 上单调递增，所以 在 上单调递减. ，
所以只需比较 的大小即可.因为 ，所以 .又因为 ，所以 ，故
.而 在 上单调递减，所以 ，即 .故选A.
8.C 由 ，可得 ，即 ，所以
.故选C.
9.D 由题意知 ，设 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，所以 ，解得 ，所以
的面积 .故选D.
10.B 由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和， ，由 ，得
，所以 ，将这 个式子左､右两边分别相加可得
，所以 .所以
所以 .故选B.
11.D 在 中， ，由余弦定理得 ，
学科网（北京）股份有限公司设 外接圆的圆心为 ，则 平面 ，且 ，而 平面 ，因此
，取 的中点 ，连接 ，则四边形 为矩形，则 ，球 的半径
，体积 .故选D.
12.C 不等式 等价于 ，令
，根据题意对任意的 ，当 时， ，所
以函数 在 上单调递减，所以 在 上恒
成立，即 在 上恒成立.令 ，则 ，所以当 时，
， 单调递增；当 时， 单调递减.所以 ，所以
.故选C.
13. （开区间，半开半闭区间也正确） 依题意 ，令 ，解得
，所以 的单调递减区间是 .
14.6 由题意知 ，所以 ，解得 .
学科网（北京）股份有限公司15. 圆 的圆心 ，半径 ，由双曲线 的离心率为
，得 ，解得 ，于是双曲线的渐近线方程为 ，即 .当渐
近线为 时，点 到此直线的距离 ，即直线 与已知圆相离，不
符合要求；当渐近线为 时，点 到此直线的距离 ，则直线 与已
知圆相交，弦长 .
16. 如图，转动 后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，俯视图如图，由
图形的对称性可知， 为等腰直角三角形，设直角边 ，则斜边 ，故
，可得 .由几何关系得 ，故转动后的
表面积 ，故表面积增加了
.
学科网（北京）股份有限公司17.解：（1）补全 列联表如下：
未获得区前三名及以上名次 获得区前三名及以上名次 总计
中学 11 6 17
中学 34 9 43
总计 45 15 60
所以 ，
故没有 的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关.
（2）由题知，用分层抽样抽取的5人中，来自 中学的有2人，记为 ，来自 中学的有3人，记为
，
从这5人中任选3人进行深度调研，所有的结果有 ，
共10种，
其中恰有2人来自 中学的结果有 ，共6种，
故所求概率 .
18.（1）证明：在 中， ，
由正弦定理，得 ，即 ，
由余弦定理，得 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，
所以 是钝角三角形.
（2）解：因为 ，
且 ，
所以 ，
由余弦定理，得 ，
解得 （负值舍去），
所以 的周长为 .
19.（1）证明：连接 ，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，所以
平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
（2）解：因为平面 平面 ，平面 平面 平面
，所以 平面 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 平面 ，所以平面 平面 .
过 在平面 内作 ，交棱 的延长线于点 ，
因为平面 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以 ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 平面 ，
所以点 到平面 的距离等于 .
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
由 平面 ，得 ，所以 ，
因为 ，设点 到平面 的距离为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即点 到平面 的距离为 .
20.解：（1）设椭圆 的半焦距为 .
因为 ，所以 ，解得 ，
因为椭圆的离心率为 ，所以 ，即 ，解得 ，
则 ，
故椭圆 的方程为 .
学科网（北京）股份有限公司（2）由 ，根据题意可知直线 的斜率存在，
可设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 .
把 代入椭圆 的方程，消去 整理得 .
设 ，则 ，则 ，
所以线段 的中点坐标为 .
①当 时， ，线段 的垂直平分线为 轴，于是 .
由 ，解得 ；
②当 时，线段 的垂直平分线的方程为 .
由点 是线段 的垂直平分线上一点，令 ，得 .
因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以 .
综上所述，实数 的值为 .
21.（1）证明：由题意知 的定义域为 ，且 ，
令 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 （即 ）在 上单调递增，
又
所以 在 上有唯一零点 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 有且只有一个极值点 .
（2）解： 恒成立，
即 恒成立，
即 恒成立，即 恒成立.
令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
22.（1）解：由 得到 ，
即 ，所以曲线 的普通方程为 .
又因为 ，则 ，
整理得 ，即曲线 的极坐标方程为 ，
学科网（北京）股份有限公司（2）证明：由题意可得直线 的参数方程为 （ 为参数），
代入 ，整理得 ，
所以 .
则 ，
所以 .
23.解：（1）
当 时， ，即 ；
当 时， ，解得 ，即 ；
当 时， ，解得 ，此时无解.
综上，不等式 的解集为 .
（2）因为不等式 恒成立，
所以 ，即 恒成立，
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
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