文档内容
2021年贵州省铜仁市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、
D四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上．
1．2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在京举行，习近平总书记在大会上庄严
宣告：“我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．这是中国人民的伟大光荣，是中国共产党的
伟大光荣，是中华民族的伟大光荣!”现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，创造
了又一个彪炳史册的人间奇迹．98990000用科学记数法表示为（ ）
A．9.899×106 B．98.99×107 C．9.899×108 D．9.899×107
2．如图，是一个底面为等边三角形的正三棱柱，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．有6位同学一次数学测验分数分别是：125，130，130，132，140，145，则这组数据的
中位数是（ ）
A．130 B．132 C．131 D．140
4．下列等式正确的是（ ）
A．|﹣3|+tan45°＝﹣2 B．（xy）5÷（ ）5＝x10
C．（a﹣b）2＝a2+2ab+b2 D．x3y﹣xy3＝xy（x+y）（x﹣y）
5．直线AB、BC、CD、EG如图所示，∠1＝∠2＝80°，∠3＝40°，则下列结论错误的是（
）
A．AB∥CD B．∠EBF＝40° C．∠FCG+∠3＝∠2 D．EF＞BE
6．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一
种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
7．不等式组 的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知直线y＝kx+2过一、二、三象限，则直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3的交点个
数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，按下列步骤作图：
步骤1：以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交AC、AB于点D、E．
步骤2：分别以点D、E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧交于点M．
步骤3：作射线AM交BC于点F．
则AF的长为（ ）
A．6 B．3 C．4 D．6
10．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝
a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（ ）
A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．要使分式 有意义，则x的取值范围是 ．12．计算（ + ）（ ﹣ ）＝ ．
13．若甲、乙两人参加射击训练的成绩（单位：环）如下：
甲：6，7，8，9，10；
乙：7，8，8，8，9．
则甲、乙两人射击成绩比较稳定的是 （填甲或乙）．
14．如图，矩形ABOC的顶点A在反比例函数y＝ 的图象上，矩形ABOC的面积为3，则
k＝ ．
15．如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入 1，则输出的结果是
16．观察下列各项：1 ，2 ，3 ，4 ，…，则第n项是 ．
17．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB C D 的位置，则阴影部
1 1 1
分的面积是 ．18．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点，满足AE＝BF，连接CE、
DF，相交于点 G，连接 AG，若正方形的边长为 2．则线段 AG 的最小值为
．
三、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分，要有解题的主要过程）
19．（10分）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价 16（万元）．当每
辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．
通过市场调查得到了每辆降价的费用y （万元）与月销售量x（辆）（x≥4）满足某种
1
函数关系的五组对应数据如下表：
x 4 5 6 7 8
y 0 0.5 1 1.5 2
1
（1）请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出 y 与 x 的关系式 y ＝
1 1
；
（2）每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y＝（每辆原售价
﹣y ﹣进价）x，请你根据上述条件，求出月销售量x（x≥4）为多少时，销售利润最大？
1
最大利润是多少？
20．（10分）如图，AB交CD于点O，在△AOC与△BOD中，有下列三个条件：①OC
＝OD，②AC＝BD，③∠A＝∠B．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能
作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）．
（1）你选的条件为 、 ，结论为 ；
（2）证明你的结论．
21．（10分）某校开展主题为“防疫常识知多少”的调查活动，抽取了部分学生进行调查，
调查问卷设置了A：非常了解、B：比较了解、C：基本了解、D：不太了解四个等级，要求每个学生填且只能填其中的一个等级，采取随机抽样的方式，并根据调查结果绘制
成如图所示不完整的频数分布表和频数分布直方图，根据以上信息回答下列问题：
等级 频数 频率
A 20 0.4
B 15 b
C 10 0.2
D a 0.1
（1）频数分布表中a＝ ，b＝ ，将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校有学生1000人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了
解”防疫常识的学生共有多少人？
（3）在“非常了解”防疫常识的学生中，某班有 5个学生，其中3男2女，计划在这5
个学生中随机抽选两个加入防疫志愿者团队，请用列表或画树状图的方法求所选两个学
生中至少有一个女生的概率．
22．（10分）如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高AB＝120m，楼高CD＝99m，
某天上午9时太阳光线从山顶点A处照射到住宅的点E外．在点A处测得点E的俯角
∠EAM＝45°，上午10时太阳光线从山顶点A处照射到住宅点F处，在点A处测得点F
的俯角∠FAM＝60°，已知每层楼的高度为3m，EF＝40m，问：以当天测量数据为依据，
不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到
该层楼的外墙？（ ≈1.73）四、（本大题满分12分）
23．（12分）某快递公司为了提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货
物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2
台B型机器人每天共搬运货物460吨．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B
两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，
求出A、B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？
五、（本大题满分12分）
24．（12分）如图，已知△ABC内接于 O，AB是 O的直径，∠CAB的平分线交BC于
点D，交 O于点E，连接EB，作∠B⊙EF＝∠CAE⊙，交AB的延长线于点F．
（1）求证⊙：EF是 O的切线；
（2）若BF＝10，⊙EF＝20，求 O的半径和AD的长．
⊙
六、（本大题满分14分）
25．（14分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6 cm，AC＝12cm．点P是CA边
上的一动点，点P从点C出发以每秒2cm的速度沿CA方向匀速运动，以CP为边作等
边△CPQ（点B、点Q在AC同侧），设点P运动的时间为x秒，△ABC与△CPQ重叠
部分的面积为S．
（1）当点Q落在△ABC内部时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S（用含x的
代数式表示，不要求写x的取值范围）；
（2）当点Q落在AB上时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S的值；
（3）当点Q落在△ABC外部时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S（用含x的
代数式表示）．2021年贵州省铜仁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、
D四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上．
1．2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在京举行，习近平总书记在大会上庄严
宣告：“我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．这是中国人民的伟大光荣，是中国共产党的
伟大光荣，是中华民族的伟大光荣!”现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，创造
了又一个彪炳史册的人间奇迹．98990000用科学记数法表示为（ ）
A．9.899×106 B．98.99×107 C．9.899×108 D．9.899×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
【解答】解：98990000＝9.899×107．
故选：D．
2．如图，是一个底面为等边三角形的正三棱柱，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：如图所示的正三棱柱，其主视图是矩形，矩形中间有一条纵向的虚线．
故选：A．
3．有6位同学一次数学测验分数分别是：125，130，130，132，140，145，则这组数据的
中位数是（ ）
A．130 B．132 C．131 D．140
【分析】根据中位数的意义求解即可．
【解答】解：这组数据从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为 ＝131，
故选：C．
4．下列等式正确的是（ ）
A．|﹣3|+tan45°＝﹣2 B．（xy）5÷（ ）5＝x10
C．（a﹣b）2＝a2+2ab+b2 D．x3y﹣xy3＝xy（x+y）（x﹣y）
【分析】利用分式的乘除法、提公因式法与公式法分解因式、特殊角的三角函数求解即
可．
【解答】解：A．|﹣3|+tan45°＝3+1＝4，故A不符合题意；
B．（xy）5÷（ ）5＝x5y5÷ ＝x5y5• ＝y10，故B不符合题意；
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C不符合题意；
D．x3y﹣xy3＝xy（x2﹣y2）＝xy（x+y）（x﹣y），故D符合题意；
故选：D．
5．直线AB、BC、CD、EG如图所示，∠1＝∠2＝80°，∠3＝40°，则下列结论错误的是（
）
A．AB∥CD B．∠EBF＝40° C．∠FCG+∠3＝∠2 D．EF＞BE
【分析】根据平行线的判定、对顶角相等及三角形的外角定理求解判断即可得解．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝80°，
∴AB∥CD，
故A正确，不符合题意；
∵∠3＝40°，
∴∠EFB＝∠3＝40°，
∵∠1＝∠EBF+∠EFB，
∴∠EBF＝40°＝∠EFB，
∴EF＝BE，
故B正确，不符合题意；故D错误，符合题意；∵∠2是△FCG的外角，
∴∠FCG+∠3＝∠2，
故C正确，不符合题意；
故选：D．
6．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地
铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一
种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处
各正多边形的内角之和为360°．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同
一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不
能．
【解答】解：A选项，等边三角形的内角为60°，360°÷60°＝6（个），所以6个等边三
角形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
B选项，正方形的内角为90°，360°÷90°＝4（个），所以4个正方形可以在一个顶点处
实现内角之和等于360°，不符合题意；
C选项，正五边形的内角为108°，360÷108°＝3 ，所以正五边形不能在一个顶点处实
现内角之和等于360°，符合题意；
D选项，正六边形的内角为120°，360°÷120°＝3（个），所以3个正六边形可以在一个
顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
故选：C．
7．不等式组 的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】解两个一元一次不等式，再在数轴上画出两个不等式的解集．
【解答】解： ，解不等式①，得：x＜3，
解不等式②，得：x≥1，
如图，在数轴上表示不等式①、②的解集，可知所求不等式组的解集是：1≤x＜3．
故选：B．
8．已知直线y＝kx+2过一、二、三象限，则直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3的交点个
数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【分析】先判断k的正负性，再建立方程组，利用判别式即可判断交点个数．
【解答】解：∵直线y＝kx+2过一、二、三象限．
∴k＞0．
联立直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3组成方程组得：
．
∴x2﹣2x+3＝kx+2．
∴x2﹣（2+k）x+1＝0．
∴Δ＝（﹣2﹣k）2﹣4＝k2+4k
∵k＞0．
∴Δ＞0．
∴直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3的交点个数为2个．
故选：C．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，按下列步骤作图：
步骤1：以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交AC、AB于点D、E．
步骤2：分别以点D、E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧交于点M．
步骤3：作射线AM交BC于点F．
则AF的长为（ ）A．6 B．3 C．4 D．6
【分析】利用基本作图得到AF平分∠BAC，过F点作FH⊥AB于H，如图，根据角平
分线的性质得到FH＝FC，再根据勾股定理计算出AC＝6，设CF＝x，则FH＝x，然后
利用面积法得到 ×10•x+ ×6•x＝ ×6×8，解得x＝3，最后利用勾股定理计算AF的长．
【解答】解：由作法得AF平分∠BAC，
过F点作FH⊥AB于H，如图，
∵AF平分∠BAC，FH⊥AB，FC⊥AC，
∴FH＝FC，
在△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝ ＝6，
设CF＝x，则FH＝x，
∵S△ABF +S△ACF ＝S△ABC ，
∴ ×10•x+ ×6•x＝ ×6×8，解得x＝3，
在Rt△ACF中，AF＝ ＝ ＝3 ．
故选：B．
10．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（ ）
A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
【分析】先利用二次函数的性质得到两抛物线的对称轴，然后利用A点或B点向右平移
得到点（4，0）得到m的值．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣
m）2+k的对称轴为直线x＝h+m，
∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5；
当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1，
即m的值为5或1．
故选：C．
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．要使分式 有意义，则x的取值范围是 x ≠﹣ 1 ．
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：要使分式 有意义，则x+1≠0，
解得：x≠﹣1．
故答案为：x≠﹣1．
12．计算（ + ）（ ﹣ ）＝ 3 ．
【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝（3 +3 ）（ ﹣ ）
＝3（ + ）（ ﹣ ）
＝3×（3﹣2）
＝3．
故答案为3．
13．若甲、乙两人参加射击训练的成绩（单位：环）如下：
甲：6，7，8，9，10；
乙：7，8，8，8，9．
则甲、乙两人射击成绩比较稳定的是 乙 （填甲或乙）．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
【解答】解：甲的平均数为： ＝8，乙的平均数为： ＝8，
S甲 2＝ [（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]
＝ （4+1+0+1+4）
＝2，
S乙 2＝ [（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]
＝ （1+0+0+0+1）
＝0.4，
∵S甲 2＞S乙 2，
∴乙的成绩比较稳定．
故答案为：乙．
14．如图，矩形ABOC的顶点A在反比例函数y＝ 的图象上，矩形ABOC的面积为3，则
k＝ 3 ．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得出答案．
【解答】解：∵矩形ABOC的面积为3，
∴|k|＝3，
又∵k＞0，
∴k＝3，
故答案为：3．
15．如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入 1，则输出的结果是 66【分析】第一次输入x的值为1，计算出y＝6，选择否的程序；第二次输入x的值为7，
计算出y＝66，选择是的程序，输出即可．
【解答】解：当x＝1时，y＝1+2+3＝6，
∵6＜9，
∴选择否的程序，
∴6+1＝7，
当x＝7时，y＝49+14+3＝66，
∵66＞9，
∴选择是的程序，
故答案为：66．
16．观察下列各项：1 ，2 ，3 ，4 ，…，则第n项是 n ．
【分析】根据题目中数字的特点，可以发现数字的整数部分是连续的整数，从1开始，
而分数部分的分母是2的n次方，n从1开始，分子都是1，然后即可写出第n项对应的
数字．
【解答】解：∵一列数为1 ，2 ，3 ，4 ，…，、
∴这列数可以写成：1 ，2 ，3 ，4 ，…，
∴第n项是n ，
故答案为：n ．
17．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB C D 的位置，则阴影部
1 1 1
分的面积是 2 ﹣ ．【分析】连接AE，根据旋转的性质推出Rt△AB E≌Rt△ADE，再由含30度角的直角三
1
角形性质得出DE＝ ，最后由图可以得出S阴影部分 ＝2（S正方形ABCD ﹣S四边形ADEB1 ），
将相关数值代入求解即可．
【解答】解：如图，
连接AE，根据题意可知AB ＝AD＝1，∠B ＝∠D＝90°，∠BAB ＝30°，
1 1 1
在Rt△AB E和Rt△ADE中，
1
，
∴Rt△AB E≌Rt△ADE（HL），
1
∵∠B AE＝∠DAE＝ ∠B AD＝30°，
1 1
∴ ＝ ，解得DE＝ ，
∴S四边形ADEB1 ＝2S△ADE ＝2× ×AD×DE＝ ，
∴S阴影部分 ＝2（S正方形ABCD ﹣S四边形ADEB1 ）＝2×（1﹣ ）＝2﹣ ，
故答案为：2﹣ ．18．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点，满足AE＝BF，连接CE、
DF，相交于点G，连接AG，若正方形的边长为2．则线段AG的最小值为 ．
【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC＝2，∠B＝∠DCF＝90°，然后利用“边角边”
证明△DCF和△CBE全等，根据全等三角形对应角相等和同角的余角相等可得∠DGC
＝90°，从而确定AG最小时G的位置，根据勾股定理可得结论．
【解答】解：如图1，取CD的中点H，连接GH，
在正方形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝∠DCF＝90°，
∵AE＝BF，
∴BE＝CF，
在△DCF和△CBE中，
，
∴△DCF≌△CBE（SAS），
∴∠CDF＝∠BCE，
∵∠DCE+∠BCE＝90°，
∴∠CDF+∠DCE＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴点G在以DC为直径和圆上，如图2，连接AC，BD交于点O，取DC的中点H，
由勾股定理得：AC＝ ＝2 ，
∵E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点，
∴点G在以H为圆心，CH为半径的 圆上运动，当点G与O重合时，AG最小，
此时AG＝AO＝ AC＝ ，
即AG的最小值＝ ．
故答案为： ；
三、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分，要有解题的主要过程）
19．（10分）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价 16（万元）．当每
辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．
通过市场调查得到了每辆降价的费用y （万元）与月销售量x（辆）（x≥4）满足某种
1
函数关系的五组对应数据如下表：
x 4 5 6 7 8
y 0 0.5 1 1.5 2
1
（1）请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出 y 与x的关系式 y ＝ x ﹣ 2
1 1
（ x ≥ 4 ）． ；
（2）每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y＝（每辆原售价
﹣y ﹣进价）x，请你根据上述条件，求出月销售量x（x≥4）为多少时，销售利润最大？
1
最大利润是多少？
【分析】（1）由表格数据判断y 与x成一次函数关系；
1
（2）根据公式：每月销售利润y＝（每辆原售价﹣y ﹣进价）x，求出利润y与x间的关
1系，利用二次函数的性质求出利润最大值和月销售量．
【解答】解：（1）由题意可知：y 与x成一次函数关系，
1
设y ＝kx+b（k≠0），
1
∵x＝4时，y ＝0，x＝6时，y ＝1，
1 1
∴ ，
解得： ，
∴y ＝ x﹣2（x≥4）．
1
故答案为：y ＝ x﹣2（x≥4）．
1
（2）由（1）得：y ＝ x﹣2（x≥4），
1
∴y＝[22﹣（ x﹣2）﹣16]x＝ x2+8x＝ （x﹣8）2+32，
∴x＝8时，y ＝32，
max
答：月销售量为8时，最大销售利润为32万元．
20．（10分）如图，AB交CD于点O，在△AOC与△BOD中，有下列三个条件：①OC
＝OD，②AC＝BD，③∠A＝∠B．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能
作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）．
（1）你选的条件为 ① 、 ③ ，结论为 ② ；
（2）证明你的结论．
【分析】（1）根据全等三角形的判定即可选出条件、结论；
（2）由选择的条件证明△AOC≌△BOD，即可得证．
【解答】（1）解：由AAS，选的条件是：①，③，结论是②，
故答案为：①，③，②（答案不唯一）；
（2）证明：在△AOC和△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴AC＝BD．
21．（10分）某校开展主题为“防疫常识知多少”的调查活动，抽取了部分学生进行调查，
调查问卷设置了A：非常了解、B：比较了解、C：基本了解、D：不太了解四个等级，
要求每个学生填且只能填其中的一个等级，采取随机抽样的方式，并根据调查结果绘制
成如图所示不完整的频数分布表和频数分布直方图，根据以上信息回答下列问题：
等级 频数 频率
A 20 0.4
B 15 b
C 10 0.2
D a 0.1
（1）频数分布表中a＝ 5 ，b＝ 0. 3 ，将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校有学生1000人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了
解”防疫常识的学生共有多少人？
（3）在“非常了解”防疫常识的学生中，某班有 5个学生，其中3男2女，计划在这5
个学生中随机抽选两个加入防疫志愿者团队，请用列表或画树状图的方法求所选两个学
生中至少有一个女生的概率．
【分析】（1）根据频率＝ 可计算出得出总数，进而求出a、b的值，并补全频数
分布直方图；
（2）根据样本中“非常了解”“比较了解”所占的百分比估计总体1000人中“非常了
解”“比较了解”的人数；
（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出两个学生中至少有一个女生的概率．
【解答】解：（1）20÷0.4＝50（人），
a＝50×0.1＝5（人），
b＝15÷50＝0.3，
故答案为：5，0.3；
（2）1000×（0.4+0.3）＝700（人），
答：该校1000学生中“非常了解”和“比较了解”防疫常识的学生大约有700人；
（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有20种等可能出现的结果情况，其中两人中至少有一名女生的有12种，
所以两个学生中至少有一个女生的概率为 ＝ ．
答：两个学生中至少有一个女生的概率为 ．
22．（10分）如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高AB＝120m，楼高CD＝99m，
某天上午9时太阳光线从山顶点A处照射到住宅的点E外．在点A处测得点E的俯角
∠EAM＝45°，上午10时太阳光线从山顶点A处照射到住宅点F处，在点A处测得点F
的俯角∠FAM＝60°，已知每层楼的高度为3m，EF＝40m，问：以当天测量数据为依据，
不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到
该层楼的外墙？（ ≈1.73）【分析】利用锐角三角函数关系表示出ME、MF，根据EF＝MF﹣ME＝40m可得AM＝
54.6m，求出DF，根据每层楼的高度为3m即可得出答案．
【解答】解：根据题意可知：
四边形ABDM是矩形，
∴AB＝MD＝120m，
在Rt△AME中，ME＝AMtan45°＝AM，
在Rt△AMF中，MF＝AMtan60°＝ AM，
∵EF＝MF﹣ME＝40m，
∴ AM﹣AM＝40，
∴AM≈54.6（m），
∴MF≈54.6×1.73≈94.46（m），
∴DF＝120﹣94.46＝25.54（m），
25.54÷3≈8.5，
∴至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙．
答：至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙．
四、（本大题满分12分）
23．（12分）某快递公司为了提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货
物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2
台B型机器人每天共搬运货物460吨．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B
两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，
求出A、B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？
【分析】（1）题目中的等量关系是：①每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，②3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨．
（2）题目中的不等关系是：每天搬运的 不低于1800吨，等量关系是：总费用＝A型机
器费用+B型机器费用，极值问题来利用函数的递增情况解决．
【解答】（1）解：设每台A型机器人每天分别搬运货物x吨，每台B型机器人每天分
别搬运货物y吨．
解得
（2）设：A种机器人采购m台，B种机器人采购（20﹣m）台，总费用为w．
100m+80（20﹣m）≥1800．
解得：m≥10．
w＝3m+2（20﹣m）
＝m+40．
∵1＞0，
∴w随着m的减少而减少．
∴当m＝10 w有最小值，w小 ＝10+40＝50．
∴A、B两种机器人分别采购10台，20台时，所需费用最低，最低费用是50万．
五、（本大题满分12分）
24．（12分）如图，已知△ABC内接于 O，AB是 O的直径，∠CAB的平分线交BC于
点D，交 O于点E，连接EB，作∠B⊙EF＝∠CAE⊙，交AB的延长线于点F．
（1）求证⊙：EF是 O的切线；
（2）若BF＝10，⊙EF＝20，求 O的半径和AD的长．
⊙
【分析】（1）连接OE，根据圆周角定理得∠AEB＝90°，根据角平分线的定义和同圆的
半径相等，等边对等角及等量代换可得∠OEF＝90°，根据切线的判定定理可得结论；
（2）如图，设 O的半径为x，则OE＝OB＝x，根据勾股定理列方程可得x的值，证明
⊙△EBF∽△AEF，列比例式 ＝ ＝ ，设BE＝a，则AE＝2a，根据勾股定理列
方程可得a的值，证明BC∥EF，列比例式可得结论．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵AB是 O的直径，
∴∠AEB⊙＝90°，
即∠AEO+∠OEB＝90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠BEF＝∠CAE，
∴∠BEF＝∠BAE，
∵OA＝OE，
∴∠BAE＝∠AEO，
∴∠BEF＝∠AEO，
∴∠BEF+∠OEB＝90°，
∴∠OEF＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是 O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解⊙：如图，设 O的半径为x，则OE＝OB＝x，
∴OF＝x+10， ⊙
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2+EF2＝OF2，
∴x2+202＝（x+10）2，
解得：x＝15，
∴ O的半径为15；
⊙∵∠BEF＝∠BAE，∠F＝∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴ ＝ ＝ ，
设BE＝a，则AE＝2a，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
即a2+（2a）2＝302，
解得：a＝6 ，
∴AD＝2a＝12 ，
∵∠CAE＝∠BAE，
∴ ，
∴OE⊥BC，
∵OE⊥EF，
∴BC∥EF，
∴ ，即 ，
∴AD＝9 ．
六、（本大题满分14分）
25．（14分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6 cm，AC＝12cm．点P是CA边
上的一动点，点P从点C出发以每秒2cm的速度沿CA方向匀速运动，以CP为边作等
边△CPQ（点B、点Q在AC同侧），设点P运动的时间为x秒，△ABC与△CPQ重叠
部分的面积为S．
（1）当点Q落在△ABC内部时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S（用含x的
代数式表示，不要求写x的取值范围）；
（2）当点Q落在AB上时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S的值；
（3）当点Q落在△ABC外部时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S（用含x的
代数式表示）．【分析】（1）如图1中，当点Q落在△ABC内部时，求出等边△PQC的面积即可．
（2）如图2中，当点Q落在AB上时，过点Q作QH⊥AC于H．利用平行线分线段成
比例定理求出QH即可．
（3）如图3中，点Q落在△ABC外部时，设CQ交AB于N，PQ交AB于M，过点N作
NH⊥AC于H，过点M作MJ⊥AC于J，作NT∥PQ交AC于T．利用相似三角形的性质
求出MJ，求出△BCQ，△APQ的面积即可．
【解答】解：（1）如图1中，当点Q落在△ABC内部时，S＝ ×（2x）2＝ x2．
（2）如图2中，当点Q落在AB上时，过点Q作QH⊥AC于H．
∵∠QHA＝∠ACB＝90°，
∴QH∥BC，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，
∴x＝4，
∴CP＝8，CH＝PH＝4，
∴S＝ ×82＝16 ．
（3）如图3中，点Q落在△ABC外部时，设CQ交AB于N，PQ交AB于M，过点N作
NH⊥AC于H，过点M作MJ⊥AC于J，作NT∥PQ交AC于T．
由（2）可知，CH＝HT＝4，CT＝NT＝8，NH＝4 ，AT＝4，
∴S△BCN ＝ ×6 ×4＝12 ，
∵NT∥PM，
∴△AMP∽△ANT，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴MJ＝12 ﹣2 x，
∴S＝S△ABC ﹣S△BCN ﹣S△AMP ＝ ×6 ×12﹣12 ﹣ ×（12﹣2x）×（12 ﹣2 x）＝
﹣2 x2+24 x﹣48 （4＜x≤6）．
