文档内容
2021年辽宁省鞍山市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的每小题3分，共24分）
1．（3分）（2021•鞍山）下列实数最小的是
A． B． C．0 D．1
2．（3分）（2021•鞍山）下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案
是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
3．（3分）（2021•鞍山）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
4．（3分）（2021•鞍山）不等式 的解集在数轴上表示正确的是
A．
B．
第1页（共42页）C．
D．
5．（3分）（2021•鞍山）如图，直线 ，将一个含 角的三角尺按如图所示的位置
放置，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
6．（3分）（2021•鞍山）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：
时间 6 7 8 9
人数 2 18 14 6
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是
A．18，7.5 B．18，7 C．7，8 D．7，7.5
7．（3 分）（2021•鞍山）如图， 为 的直径， ， 为 上的两点，若
，则 的度数为
A． B． C． D．
8．（3分）（2021•鞍山）如图， 是等边三角形， ，点 从点 出发沿
第2页（共42页）方向以 的速度匀速运动到点 ，同时点 从点 出发沿射线 方向以
的速度匀速运动，当点 停止运动时，点 也随之停止．过点 作 交 于点
，连接 ， ，作 关于直线 对称的△ ，设运动时间为 ，△
与 重叠部分的面积为 ，则能表示 与 之间函数关系的大致图象为
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2021•鞍山）第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为 1411780000
人．将1411780000用科学记数法可表示为 ．
10．（3分）（2021•鞍山）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块
方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是 ．
第3页（共42页）11．（3 分）（2021•鞍山）如图， 沿 所在直线向右平移得到 ，已知
， ，则平移的距离为 ．
12．（3分）（2021•鞍山）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和
“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用 3600元购买
“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二
批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一
批购买的“四大名著”每套的价格为 元，则符合题意的方程是 ．
13．（3分）（2021•鞍山）如图，矩形 中， ，对角线 ， 交于点 ，
，垂足为点 ，若 ，则 的长为 ．
14．（3分）（2021•鞍山）如图， ，定长为 的线段端点 ， 分别在射线
， 上运动（点 ， 不与点 重合）， 为 的中点，作 关于直线 对
称的△ ， 交 于点 ，当 是等腰三角形时， 的度数为 ．
15．（3分）（2021•鞍山）如图， 的顶点 在反比例函数 的图象上，
顶点 在 轴负半轴上， 轴， ， 分别交 轴于点 ， ．若 ，
第4页（共42页），则 ．
16．（3分）（2021•鞍山）如图，在正方形 中，对角线 ， 相交于点 ，
是线段 上的动点（点 不与点 ， 重合），连接 ，过点 作 分别交
， 于点 ， ，连接 交 于点 ，作 交 于点 ， 交 于
点 ．有下列结论：①当 时， ；② ；③当 时，
；④ ．其中正确的是 （填序号即可）．
三、解答题（每小题8分，共16分）
17．（8分）（2021•鞍山）先化简，再求值： ，其中 ．
18．（8分）（2021•鞍山）如图，在 中， 为 边上一点， ，延长
交 的延长线于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．求证：四边形
是菱形．
第5页（共42页）四、解答题（每小题10分，共20分）
19．（10分）（2021•鞍山）为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构
筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣
传海报，每套海报四张，海报内容分别是：
．防疫道路千万条，接种疫苗第一条；
．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；
．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；
．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．
志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．
（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到 海报的概率是 ．
（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人
中有一个人抽到 海报的概率．
20．（10分）（2021•鞍山）为庆祝建党100周年，某校开展“学党史 颂党恩”的作品征
集活动，征集的作品分为四类：征文、书法、剪纸、绘画．学校随机抽取部分学生的作品
进行整理，并根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）所抽取的学生作品的样本容量是多少？
（2）补全条形统计图．
（3）本次活动共征集作品1200件，估计绘画作品有多少件．
五、解答题（每小题10分，共20分）
第6页（共42页）21．（10分）（2021•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别
与 轴、 轴交于 ， 两点，与反比例函数 的图象在第二象限交于 ，
两点， 交 轴于点 ，若 ．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形 的面积．
22．（10分）（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门
在南门 的正北方向，小明自公园北门 处出发，沿南偏东 方向前往游乐场 处；
小华自南门 处出发，沿正东方向行走 到达 处，再沿北偏东 方向前往游乐场
处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门 与南门 之间的距离．
（结果取整数．参考数据： ， ， ，
六、解答题（每小题10分，共20分）
23．（10分）（2021•鞍山）如图， 为 的直径， 为 上一点， 为 上一点，
，过点 作 交 的延长线于点 ， 交 于点 ，连接 ， ，
第7页（共42页）在 的延长线上取点 ，使 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．
24．（10分）（2021•鞍山）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以
冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，
每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决
定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售
单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为 （元 ，每天的销售量为 （件 ．
（1）求每天的销售量 （件 与销售单价 （元 之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
七、解答题（本题满分12分）
25．（12分）（2021•鞍山）如图，在 中， ， ，过
点 作射线 交射线 于点 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，过点 作
交直线 于点 ，在 上取点 ，使 ．
（1）当 与线段 相交时，
①如图1，当 时，线段 ， 和 之间的数量关系为 ．
②如图2，当 时，写出线段 ， 和 之间的数量关系，并说明理由．
（2）当 ， 时，若 是直角三角形，直接写出 的长．
第8页（共42页）八、解答题（本题满分14分）
26．（14分）（2021•鞍山）如图，抛物线 交 轴于点 ， ，
是抛物线的顶点， 是抛物线上的动点，点 的横坐标为 ， 交直线
于点 ， 交 于点 ，交 轴于点 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求点 的坐标；
（3）连接 ，点 在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且 ，在点
从点 运动到点 的过程中，点 也随之运动，直接写出点 的纵坐标 的取值范围．
第9页（共42页）2021年辽宁省鞍山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的每小题3分，共24分）
1．（3分）（2021•鞍山）下列实数最小的是
A． B． C．0 D．1
【解答】解：因为 ，
所以最小的实数是 ．
故选： ．
2．（3分）（2021•鞍山）下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案
是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
．是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选： ．
3．（3分）（2021•鞍山）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
第10页（共42页）【解答】解： ． 与 不是同类项，不能合并，故 选项不符合题意；
． ，故 选项不符合题意；
． ，故 选项符合题意；
． ，故 选项不符合题意，
故选： ．
4．（3分）（2021•鞍山）不等式 的解集在数轴上表示正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解： ，
，
，
，
表示在数轴上如图：
故选： ．
5．（3分）（2021•鞍山）如图，直线 ，将一个含 角的三角尺按如图所示的位置
第11页（共42页）放置，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，作 ，
三角尺是含 角的三角尺，
，
，
，
，
， ，
，
，
故选： ．
6．（3分）（2021•鞍山）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：
时间 6 7 8 9
人数 2 18 14 6
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是
A．18，7.5 B．18，7 C．7，8 D．7，7.5
【解答】解：根据题意可得，参加体育锻炼时间的众数为7，
第12页（共42页）因为该班有40名同学，所以中位数为第20和21名同学锻炼时间的平均数，第20名同学
的时间为 ，第21名同学的时间为 ，
所以中位数为 ．
故选： ．
7．（3 分）（2021•鞍山）如图， 为 的直径， ， 为 上的两点，若
，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：连接 ，如图，
为 的直径，
，
，
．
故选： ．
8．（3分）（2021•鞍山）如图， 是等边三角形， ，点 从点 出发沿
方向以 的速度匀速运动到点 ，同时点 从点 出发沿射线 方向以
的速度匀速运动，当点 停止运动时，点 也随之停止．过点 作 交 于点
，连接 ， ，作 关于直线 对称的△ ，设运动时间为 ，△
第13页（共42页）与 重叠部分的面积为 ，则能表示 与 之间函数关系的大致图象为
A． B．
C． D．
【解答】解：如图1中，当点 落在 上时，取 的中点 ，连接 ．
， ， ，
，
是等边三角形，
，
第14页（共42页）是等边三角形，
，
，
，
， ， ，
， 是等边三角形，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
如图2中，当 时，过点 作 于 ，则 ，
．
如图3中，当 时， ，
第15页（共42页）观察图象可知，选项 符合题意，
故选： ．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2021•鞍山）第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为 1411780000
人．将1411780000用科学记数法可表示为 ．
【解答】解： ．
故答案为： ．
10．（3分）（2021•鞍山）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块
方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是 ．
【解答】解：由图可知：黑色区域在整个地面中所占的比值 ，
小球最终停留在黑色区域的概率 ，
故答案为： ．
11．（3 分）（2021•鞍山）如图， 沿 所在直线向右平移得到 ，已知
， ，则平移的距离为 3 ．
第16页（共42页）【解答】解：由平移的性质可知， ，
， ，
，
，
平移的距离为3，
故答案为：3．
12．（3分）（2021•鞍山）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和
“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用 3600元购买
“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二
批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一
批购买的“四大名著”每套的价格为 元，则符合题意的方程是 ．
【解答】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为 元，则设第二批购买的“四大
名著”每套的价格为 元，
依题意得： ．
故答案为： ．
13．（3分）（2021•鞍山）如图，矩形 中， ，对角线 ， 交于点 ，
，垂足为点 ，若 ，则 的长为 ．
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ，
，
第17页（共42页）， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
14．（3分）（2021•鞍山）如图， ，定长为 的线段端点 ， 分别在射线
， 上运动（点 ， 不与点 重合）， 为 的中点，作 关于直线 对
称的△ ， 交 于点 ，当 是等腰三角形时， 的度数为
或 ．
【解答】解： ， 为 的中点，
，
， ，
又由折叠性质可得 ，
，
设 ，则 ， ， ，
，
①当 时， ，
，
解得 ，
；
②当 时， ，
第18页（共42页），方程无解，
此情况不存在；
③当 时， ，
，
解得： ，
；
综上， 的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．
15．（3分）（2021•鞍山）如图， 的顶点 在反比例函数 的图象上，
顶点 在 轴负半轴上， 轴， ， 分别交 轴于点 ， ．若 ，
，则 1 8 ．
【解答】解：如图，过点 作 轴于点 ．
轴，
，
，
第19页（共42页），
，
设 ， ，则 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
又 反比例函数图象在第一象限，
，
故答案为18．
16．（3分）（2021•鞍山）如图，在正方形 中，对角线 ， 相交于点 ，
是线段 上的动点（点 不与点 ， 重合），连接 ，过点 作 分别交
， 于点 ， ，连接 交 于点 ，作 交 于点 ， 交 于
点 ．有下列结论：①当 时， ；② ；③当 时，
；④ ．其中正确的是 ①③④ （填序号即可）．
【解答】解：如图1中，过点 作 于 ．
第20页（共42页），
，
， ，
四边形 是正方形，
， ，
，
， ，
，
，
，故①正确，
假设 成立，
，
，
，显然这个条件不成立，故②错误，
如图2中，过点 作 于 ， 于 ，连接 ．
， ，
，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
第21页（共42页），
，
，
，
， ，
，
，
， ， ，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，故③正确，
如图 3 中，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ．则 ，
， ， ，
， ， ，
第22页（共42页），
，
，
，
，故④正确，
故答案为：①③④．
三、解答题（每小题8分，共16分）
17．（8分）（2021•鞍山）先化简，再求值： ，其中 ．
第23页（共42页）【解答】解：
．
当 时，原式 ．
18．（8分）（2021•鞍山）如图，在 中， 为 边上一点， ，延长
交 的延长线于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．求证：四边形
是菱形．
【解答】证明： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
平行四边形 是菱形．
四、解答题（每小题10分，共20分）
19．（10分）（2021•鞍山）为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构
筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣
传海报，每套海报四张，海报内容分别是：
第24页（共42页）．防疫道路千万条，接种疫苗第一条；
．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；
．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；
．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．
志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．
（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到 海报的概率是 ．
（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人
中有一个人抽到 海报的概率．
【解答】解：（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到 海报的概率是 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到 海报的结果有6种，
小张和小李两个人中有一个人抽到 海报的概率为 ．
20．（10分）（2021•鞍山）为庆祝建党100周年，某校开展“学党史 颂党恩”的作品征
集活动，征集的作品分为四类：征文、书法、剪纸、绘画．学校随机抽取部分学生的作品
进行整理，并根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
第25页（共42页）请根据以上信息解答下列问题：
（1）所抽取的学生作品的样本容量是多少？
（2）补全条形统计图．
（3）本次活动共征集作品1200件，估计绘画作品有多少件．
【解答】解：（1）根据题意得： （件 ，
所抽取的学生作品的样本容量是120；
（2）绘画作品为 （件 ，
补全统计图，如图所示：
故答案为：36；
（3）根据题意得： （件 ，
则绘画作品约有360件．
答：本次活动共征集作品1200件时，绘画作品约有360件．
第26页（共42页）五、解答题（每小题10分，共20分）
21．（10分）（2021•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别
与 轴、 轴交于 ， 两点，与反比例函数 的图象在第二象限交于 ，
两点， 交 轴于点 ，若 ．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形 的面积．
【解答】解：（1）将 代入 中，
，
反比例函数的解析式为 ；
过点 作 轴，过点 作 轴，
，
，
，
，
第27页（共42页）将 代入 中，
，
解得： ，
点坐标为 ，
将 ， 代入 中，
可得 ，
解得： ，
一次函数的解析式为 ；
（2）解法一：设直线 的解析式为 ，
将 代入，得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
由 ，设直线 的解析式为 ，
将 代入可得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
解得： ，
点坐标为 ， ，
第28页（共42页），
在 中，当 时， ，
解得： ，
点坐标为 ，
，
，
．
解法二：在 中，当 时， ，
点坐标为 ，
又 ，
，
，
，
第29页（共42页）．
22．（10分）（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门
在南门 的正北方向，小明自公园北门 处出发，沿南偏东 方向前往游乐场 处；
小华自南门 处出发，沿正东方向行走 到达 处，再沿北偏东 方向前往游乐场
处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门 与南门 之间的距离．
（结果取整数．参考数据： ， ， ，
【解答】解：作 于 ， 于 ，
，
四边形 是矩形，
， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
第30页（共42页），
解得 ，
，
，
，
，
由勾股定理得 ，
，
，
答：公园北门 与南门 之间的距离约为1293 ．
六、解答题（每小题10分，共20分）
23．（10分）（2021•鞍山）如图， 为 的直径， 为 上一点， 为 上一点，
，过点 作 交 的延长线于点 ， 交 于点 ，连接 ， ，
在 的延长线上取点 ，使 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．
第31页（共42页）【解答】解：（1） ， ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
， ，
，
，
是 的直径，
，
又 ，
，
，
，
即 是 的切线；
（2） 是 的切线， ，
，
，
，
第32页（共42页）又 ，
在 中， ，
设 的半径为 ，则 ， ，
在 中， ，
解得： ，
的半径为5．
24．（10分）（2021•鞍山）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以
冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，
每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决
定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售
单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为 （元 ，每天的销售量为 （件 ．
（1）求每天的销售量 （件 与销售单价 （元 之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
【解答】解：（1）由题意可得： ，
整理，得： ，
每天的销售量 （件 与销售单价 （元 之间的函数关系式为 ；
（2）设销售所得利润为 ，由题意可得：
，
整理，得： ，
，
当 时， 取最大值为1152，
当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．
七、解答题（本题满分12分）
第33页（共42页）25．（12分）（2021•鞍山）如图，在 中， ， ，过
点 作射线 交射线 于点 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，过点 作
交直线 于点 ，在 上取点 ，使 ．
（1）当 与线段 相交时，
①如图1，当 时，线段 ， 和 之间的数量关系为 ．
②如图2，当 时，写出线段 ， 和 之间的数量关系，并说明理由．
（2）当 ， 时，若 是直角三角形，直接写出 的长．
【解答】解：（1）①结论： ．
理由：如图1中，作 交 于 ．
， ，
是等边三角形，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
第34页（共42页），
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为： ．
②如图2中，结论： ．
理由：过点 作 于 ．
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
第35页（共42页），
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）如图 中，当 时，过点 作 于 ，过点 作 于 ．
在 中， ， ，
， ，
，
，
第36页（共42页），
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
．
如图 中，当 时， ，
第37页（共42页），
，
在 中， ， ，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的 的值为 或 ．
八、解答题（本题满分14分）
26．（14分）（2021•鞍山）如图，抛物线 交 轴于点 ， ，
第38页（共42页）是抛物线的顶点， 是抛物线上的动点，点 的横坐标为 ， 交直线
于点 ， 交 于点 ，交 轴于点 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求点 的坐标；
（3）连接 ，点 在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且 ，在点
从点 运动到点 的过程中，点 也随之运动，直接写出点 的纵坐标 的取值范围．
【解答】解：（1） 抛物线 交 轴于点 ， ，
将 、 坐标分别代入抛物线解析式得： ，
解得： ，
抛物线的表达式为： ；
（2）如图， 是抛物线的顶点，抛物线的表达式为： ，
，
交直线 于点 ， 是抛物线上的动点，点 的横坐标为
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，设 ， ，
又 的面积为 ， 的面积为 ， ，
，
， ，即点 分别是 、 的中点，
又 ， ， ， ，
由中点坐标公式得： ，
解得： （与“ ”不符，应舍去）， ，
，
， ， ， ；
（3）①当点 与点 重合时，点 与点 重合，此时 的值最大，如图2，
以 为斜边在第一象限内作等腰直角△ ，
则 ， ， ，
以 为圆心， 为半径作 ，交抛物线对称轴于点 ，
过点 作 轴于点 ，则 ，
， ，
，
第40页（共42页），
②当点 与点 重合时，点 与点 重合，此时 的值最小，如图3，
连接 ，以 为圆心， 为半径作 交抛物线对称轴于点 ，
，
经过点 ，
连接 ，设抛物线对称轴交 轴于点 ，
则 ， ，
，
，
，
综上所述， ．
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日期：2021/9/13 17:18:09；用户：初中数学61；邮箱：ydyd61@xyh.com；学号：36810736
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