文档内容
商洛市 2024 届高三尖子生学情诊断考试（第二次）
数学试卷（理科）
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题
目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内
作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数 ，
，则 .设 ，则
的虚部为（ ）
A. B. C.1 D.0
3.已知等比数列 的前 项和 ，则 （ ）
A.3 B.9 C.-9 D.-3
4.设向量 的夹角的余弦值为 ，则 （ ）
A.-1 B.1 C.-5 D.5
5.执行如图所示的程序框图，输出 的值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A.70 B.112 C.168 D.240
6.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 是 上的一点，点 是 轴上的一点，且
，则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数 的定义域均为 ，若 均为偶函数，则（ ）
A. B.
C. D.
9.小张每天早上在 任一时刻随机出门上班，他订购的报纸每天在 任一时刻随机送
到，则小张在出门时能拿到报纸的概率为（ ）
A. B. C. D.
10.数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列 ，其中从第3项起，每
一项都等于它前面两项之和，即 ，这样的数列称为“斐波那契数列”.若
，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A.175 B.176 C.177 D.178
11.某圆柱的轴截面是面积为12的正方形 为圆柱底面圆弧 的中点，在圆柱内放置一个球 ，则
当球 的体积最大时，平面 与球 的交线长为（ ）
A. B. C. D.
12.已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知 ，设函数 ，则 的单调递减区间是__________.
14. 的展开式中含 的项的系数为__________.
15.已知双曲线 的离心率为 ，其中一条渐近线与圆 交于
两点，则 __________.
16.如图1，已知 是边长为 的等边三角形， 分别在线段 上滑动，且 ，将
沿 折起，使得点 翻折到点 的位置，连接 ，如图2所示，则四棱锥 的体积
的最大值为__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
学科网（北京）股份有限公司17.（本小题满分12分）
已知某校高一有600名学生（其中男生320名，女生280名）.为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学
校增设了两门全新的校本课程 ，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计
了学生的选课情况，得到如下的 列联表.
选择课程 选择课程 总计
男生 200
女生 60
总计
（1）请将 列联表补充完整，并判断是否有 的把握认为选择课程与性别有关？说明你的理由；
（2）在所有男生中按列联表中的选课情况采用分层抽样的方法抽出8名男生，再从这8名男生中抽取3人做
问卷调查，设这3人中选择课程 的人数为 ，求 的分布列及数学期望.
附： .
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
18.（本小题满分12分）
在 中，角 所对的边分别为 .
（1）求角 的大小；
（2）若 的面积为 ，周长为 ，求 边上的高.
19.（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥 中，底面 为矩形， 与 交于点 ，点 在线段 上，且
平面 ，二面角 ，二面角 均为直二面角.
学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ；
（2）若 ，且平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 的长度.
20.（本小题满分12分）
设 分别是椭圆 的左､右焦点， ，椭圆的离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）作直线 与椭圆 交于不同的两点 ，其中点 的坐标为 ，若点 是线段 垂直平
分线上一点，且满足 ，求实数 的值.
21.（本小题满分12分）
已知函数 ，其中 ，曲线 在点 处的切线与曲线
相切于点 .
（1）若 ，求 ；
（2）证明： .
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题
计分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 的普通方程和极坐标方程；
（2）在平面直角坐标系 中，过点 且倾斜角为 的直线 与曲线 交于 两点，证明：
.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
学科网（北京）股份有限公司（1）求不等式 的解集；
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
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参考答案､提示及评分细则
1.A 因为 ，所以
.故选A.
2.B ，所以
，所以 的虚部为 .故选B.
学科网（北京）股份有限公司3.D 当 时， ；当 时， .
，又 是等比数列，所以 ，解得 .故选D.
4.B 设 与 的夹角为 ，因为 与 的夹角的余弦值为 ，即 ，又 ，所以
，所以 .故选B.
5.C 第一次执行，由 ，则 ，又由 ，则进入循环；第一次循环，由
，则 ，又由 ，则进入循环；第二次循环，由 ，则
，又由 ，则进入循环；第三次循环，由 ，则
，又由 ，则进入循环；第四次循环，由 ，则
，又由 ，则进入循环；第五次循环，由 ，则
，又由 ，则进入循环；第六次循环，由 112，则
，又由 ，不成立，退出循环，则输出 .故选C.
6.C 由 ，可得 ，即 ，所以
.故选C.
7.D 由题意知 ，设 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，所以 ，解得 ，所以
的面积 .故选D.
学科网（北京）股份有限公司8.C 因为 为偶函数，所以 ，即 ，所以
，令 得 ，故C正确，A无法判断是否正确；因为 为偶函数，
，所以 ，令 得 ，故D无法判断是否正确；因为无
法判断 的取值情况，故B错误.故选C.
9.A 设小张离开家的时间距离 为 分钟，送报的时间距离 为 分钟，
则 小张能拿到报纸，则 .画出 区域，为如图中的矩形 中 对应区域
如图 所示，设矩形 的面积为 ，则小张在出门时能拿到报纸的概率为
.故选A.
10.B 由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和， ，由 ，得
，所以 ，将这 个式子左､右两边分别相加可得
，所以 .所以
所以 .故选B.
11.D 由题意知，当球 的体积最大时，球与圆柱的上下底面及母线均相切，因为正方形 的面积为
学科网（北京）股份有限公司12，所以 ，如图1，记 所在底面的圆心为 所在底面的圆心为 ，平面 与
球 的交线为圆形，如图 即为截面圆的直径，易知 ，易知Rt
Rt ，故 ，所以 ，所以交线长为
.故选D.
12.D 由题意得 ，又 ，所以 .令 ，则 ，所以当
时， ，当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
设 ，当 时， ，所以 在 上单调递减，又 ，且
，所以 ，所以 .故选D.
13. （开区间，半开半闭区间也正确） 依题意 ，令 ，解得
，所以 的单调递减区间是 .
学科网（北京）股份有限公司14. 的展开式的通项为 ，故令 ，2，可得
的展开式中含 的项的系数为 .
15. 圆 的圆心 ，半径 ，由双曲线 的离心率为
，得 ，解得 ，于是双曲线的渐近线方程为 ，即 .当渐
近线为 时，点 到此直线的距离 ，即直线 与已知圆相离，不
符合要求；当渐近线为 时，点 到此直线的距离 ，则直线 与已
知圆相交，弦长 .
16.2 依题意当平面 平面 时，四棱锥 的体积才会取得最大值.设
，设 为 的中点，在等边 中，点 分别为 上一点，且
，所以 ，又 为 的中点，所以 ，又平面 平面 ，平面 平
面 平面 ，所以 平面 ，因为 ，所以 .所以四棱锥
的体积 ，所以
，解得 ，当 时， 单调递增，当 时，
学科网（北京）股份有限公司单调递减，所以当 ，四棱锥 的体积最大，所以 .
17.解：（1）由男生320名，女生280名，结合表中数据， 列联表如图所示，
选择课程 选择课程 总计
男生 120 200 320
女生 60 220 280
总计 180 420 600
，
所以有 的把握认为选择课程与性别有关.
（2）抽出8名男生中，选择课程 的人数为： （名），选择课程 的人数为：
5（名），
的所有可能取值为 ，
，
，
则 的分布列为
0 1 2 3
所以 .
18.解：（1）由已知结合正弦定理边化角可得 .
又 ，
代入整理可得 .
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 .
又 ，所以 .
（2）由 及 可得， .
又周长为 ，则 ，所以 .
根据余弦定理可得， ，
整理可得 .
设 边上的高为 ，则 ，解得 ，
所以 边上的高为 .
19.（1）证明：因为 平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 .
又因为四边形 为矩形，所以 ，则 .
（2）解：因为四边形 为矩形，所以 .
又因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
同理， .
设 ，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
.
设 为平面 的法向量，
因为 所以 令 ，则 ，所以 ；
设 为平面 的法向量，
因为 所以 令 ，则 ，所以 ，
所以 ，解得 .
故 .
20.解：（1）设椭圆 的半焦距为 .
因为 ，所以 ，解得 ，
因为椭圆的离心率为 ，所以 ，即 ，解得 ，
则 ，
故椭圆 的方程为 .
（2）由 ，根据题意可知直线 的斜率存在，
可设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 .
学科网（北京）股份有限公司把 代入椭圆 的方程，消去 整理得 .
设 ，则 ，则 ，
所以线段 的中点坐标为 .
①当 时， ，线段 的垂直平分线为 轴，于是 .
由 ，解得 ；
②当 时，线段 的垂直平分线的方程为 .
由点 是线段 的垂直平分线上一点，令 ，得 .
因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以 .
综上所述，实数 的值为 .
21.（1）解： ，所以 ，又 ，所以曲线 在点 处的切线方程为
，
因为 ，所以 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，即 单调递增，
又 ，所以 ，又 ，所以 ，
因为 ，所以曲线 在 处的切线方程为 ，所以 ，解得 .
（2）证明：因为 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，
同理可知曲线 在 处的切线方程为 ，
所以 ，
设 ，则 ，所以 ，所以 ，即 单调递减，且 ，
当 时， ，所以 ，由（1）可知 ，此时 ；
当 时， ，则 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，此时 ；
当 时， ，所以 .
设 ，则 ，
若 ，则 ，所以 单调递减，所以 时，
1，与 矛盾，故 不符题意，
所以应有 ，此时 .
学科网（北京）股份有限公司综上所述， .
当 时， ，
当 时， 且 ，设 ，此时 ，所
以 单调递减，所以 ，所以 ，即 .
综上所述， .
22.（1）解：由 得到 ，
即 ，所以曲线 的普通方程为 .
又因为 ，则 ，
整理得 ，即曲线 的极坐标方程为 ，
（2）证明：由题意可得直线 的参数方程为 （ 为参数），
代入 ，整理得 ，
所以 .
则 ，
所以 .
23.解：（1）
当 时， ，即 ；
当 时， ，解得 ，即 ；
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，解得 ，此时无解.
综上，不等式 的解集为 .
（2）因为不等式 恒成立，
所以 ，即 恒成立，
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
学科网（北京）股份有限公司
