文档内容
2021年重庆市中考数学试卷（B 卷）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了
代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答
案所对应的方框涂黑
1．3的相反数是（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
2．不等式x＞5的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．计算x4÷x结果正确的是（ ）
A．x4 B．x3 C．x2 D．x
4．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B
（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的相似比是（ ）
A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
5．如图，AB是 O的直径，AC，BC是 O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．70° B．90° C．40° D．60°6．下列计算中，正确的是（ ）
A．5 ﹣2 ＝21 B．2+ ＝2 C． × ＝3 D． ÷ ＝3
7．小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家．如图，反映
了小明离家的距离y（单位：km）与时间t（单位：h）之间的对应关系．下列描述错误
的是（ ）
A．小明家距图书馆3km
B．小明在图书馆阅读时间为2h
C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h
D．小明去图书馆的速度比回家时的速度快
8．如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和
△DCB全等的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D
9．如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P
在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点
O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°10．如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度
（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在
同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（
）
（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
11．关于 x的分式方程 +1＝ 的解为正数，且使关于 y的一元一次不等式组
有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数
y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接
EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题
卡中对应的横线上
13．计算： ﹣（ ﹣1）0＝ ．
14．不透明袋子中装π有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，
前后两次摸出的球都是白球的概率是 ．
15．方程2（x﹣3）＝6的解是 ．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D为圆心，
AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 .（结果保留
）
π
17．如图，△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC
所在平面内，得△ADC′，连接CC′，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE
＝BE，BC′＝2，则AD的长为 ．
18．盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实
现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配
为A，B，C三种盲盒各一个，其中盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音
箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音
箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核
算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、
多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为 元．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的
演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对
应的位置上.
19．计算：（1）a（2a+3b）+（a﹣b）2；
（2） ÷（x+ ）．
20．2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史
知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞
赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：
抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：
6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10
七八年级教师竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8.5 8.5
中位数 a 9
众数 8 b
优秀率 45% 55%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．
21．如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：
作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线
段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作
法）22．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概
括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，
请按要求完成下列各小题．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 5 4 a 2 1 b 7 …
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：
m＝ ，a＝ ，b＝ ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写
出该函数的一条性质： ；
（3）已知函数y＝ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|﹣
2x+6|+m＞ 的解集．
23．重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出
经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装
生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31
元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．为回馈广大食
客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格
降低 a%．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”
小面的销量在4月的基础上增加 a%，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加
a%．求a的值．
24．对于任意一个四位数m，若干位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位
上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：m＝3507，因为3+7＝
2×（5+0），所以3507是“共生数”；m＝4135，因为4+5≠2×（1+3），所以4135不
是“共生数”．
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位
上的数字之和能被9整除时，记F（n）＝ ．求满足F（n）各数位上的数字之和是偶
数的所有n．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，
0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛
物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线AD平移4 个单位，
得到新的抛物线y ，点E为点P的对应点，点F为y 的对称轴上任意一点，在y 上确定
1 1 1
一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点
G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，
画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
26．在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD
上一点，连接EF．
（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；
②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：
BE+BH＝ BF；
（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，
点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连
接FP，当NP+ MP最小时，直接写出△DPN的面积．2021年重庆市中考数学真题（B卷）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，
都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题
卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑
1. 3的相反数是（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
【考点】相反数．
【答案】C
【分析】根据相反数的定义，即可解答．
【解答】解：3的相反数是﹣3，
故选：C．
2不等式x＞5的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【专题】数与式；数感．
【答案】A
【分析】明确x＞5在数轴上表示5的右边的部分即可．
【解答】解：不等式x＞5的解集在数轴上表示为：5右边的部分，不包括5，
故选：A．
3计算x4÷x结果正确的是（ ）
A．x4 B．x3 C．x2 D．x
【考点】同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝x4﹣1＝x3，
故选：B．
4如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B
（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的相似比是（ ）
A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
【考点】坐标与图形性质；位似变换．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】D
【分析】根据信息，找到OB与OD的比值即可．
【解答】解：∵B（0，1），D（0，3），∴OB＝1，OD＝3，
∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB与△OCD的相似比是OB：OD＝1：3，
故选：D．
5如图，AB是 O的直径，AC，BC是 O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．70° B．90° C．40° D．60°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．
【答案】A
【分析】根据直径所对的圆周角为90°，即可求解．
【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴∠C＝90°， ⊙
∵∠A＝20°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，
故选：A．
6下列计算中，正确的是（ ）
A．5 ﹣2 ＝21 B．2+ ＝2 C． × ＝3 D． ÷ ＝3
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法
则逐一判断即可．
【解答】解：A．5 ﹣2 ＝3 ，此选项计算错误；
B．2与 不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
C． × ＝ × × ＝3 ，此选项计算正确；
D． ÷ ＝ ＝ ，此选项计算错误；故选：C．
7小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家．如图，反映
了小明离家的距离y（单位：km）与时间t（单位：h）之间的对应关系．下列描述错误
的是（ ）
A．小明家距图书馆3km
B．小明在图书馆阅读时间为2h
C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h
D．小明去图书馆的速度比回家时的速度快
【考点】函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项中是说法是否正确．
【解答】解：由图象知：
A．小明家距图书馆3km，正确；
B．小明在图书馆阅读时间为3﹣1＝2小时，正确；
C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h，正确；
D．因为小明去图书馆需要1小时，回来不足1小时，所以小明去图书馆的速度比回家
时的速度快，错误，符合题意．
故选：D．
8如图，在△ABC和△DCB 中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和
△DCB全等的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D【考点】全等三角形的判定．
【专题】三角形；图形的全等；应用意识．
【答案】B
【分析】根据证明三角形全等的条件AAS，SAS，ASA，SSS逐一验证选项即可．
【解答】解：在△ABC和△DCB中，
∵∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，
A：当∠ABC＝∠DCB时，△ABC≌△DCB（ASA），
故A能证明；
B：当AB＝DC时，不能证明两三角形全等，
故B不能证明；
C：当AC＝DB时，△ABC≌△DCB（SAS），
故C能证明；
D：当∠A＝∠D时，△ABC≌△DCB（AAS），
故D能证明；
故选：B．
9如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在
正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，
且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【考点】直角三角形斜边上的中线；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：OM＝OP，从而得出
∠DPM＝150°，利用四边形内角和定理即可求得．
【解答】解：在Rt△PMN中，∠MPN＝90°，∵O为MN的中点，
∴OP＝ ，
∵∠PMN＝30°，
∴∠MPO＝30°，
∴∠DPM＝150°，
在四边形ADPM中，
∵∠A＝90°，∠ADB＝45°，∠DPM＝150°，
∴∠AMP＝360°﹣∠A﹣∠ADB﹣∠DPM
＝360°﹣90°﹣45°﹣150°
＝75°．
故选：C．
10如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度
（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在
同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（
）
（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】利用斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，求出CE的长，从而得出BE，再
利用tan50°即可求出AB的长．
【解答】解：∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，
∴DE：CE＝5：12，
∵DE＝50米，
∴CE＝120米，∵BC＝150米，
∴BE＝150﹣120＝30米，
∴AB＝tan50°×30+50
＝85.7米．
故选：D．
11 关于 x 的分式方程 +1＝ 的解为正数，且使关于 y 的一元一次不等式组
有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式(组)及应用；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】由关于y的一元一次不等式组 有解得到a的取值范围，再由关于
x的分式方程 +1＝ 的解为正数得到a的取值范围，将所得的两个不等式组成
不等式组，确定a的整数解，结论可求．
【解答】解：关于x的分式方程 +1＝ 的解为x＝ ．
∵关于x的分式方程 +1＝ 的解为正数，
∴a+4＞0．
∴a＞﹣4．
∵关于x的分式方程 +1＝ 有可能产生增根2，
∴ ．
∴a≠﹣1．
解关于y的一元一次不等式组 得：．
∵关于y的一元一次不等式组 有解，
∴a﹣2＜0．
∴a＜2．
综上，﹣4＜a＜2且a≠﹣1．
∵a为整数，
∴a＝﹣3或﹣2或0或1．
∴满足条件的整数a的值之和是：﹣3﹣2+0+1＝﹣4．
故选：B．
12如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y
＝ （k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接
EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形
斜边上的中线；勾股定理；矩形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】首先设A（a，0），表示出D（a， ），再根据D，E，F都在双曲线上，依
次表示出坐标，再由S△AEF ＝1，转化为S△ACF ＝2，列出等式即可求得．【解答】解：设A（a，0），
∵矩形ABCD，
∴D（a， ），
∵矩形ABCD，E为AC的中点，
则E也为BD的中点，
∵点B在x轴上，
∴E的纵坐标为 ，
∴ ，
∵E为AC的中点，
∴点C（3a， ），
∴点F（3a， ），
∵△AEF的面积为1，AE＝EC，
∴S△ACF ＝2，
∴ ，
解得：k＝3．
故选：D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案
直接填在答题卡中对应的横线上
13计算： ﹣（ ﹣1）0＝ ．
【考点】实数的π运算；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】2．
【分析】利用算术平方根，零指数幂的意义进行运算．
【解答】解：原式＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
14不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前
后两次摸出的球都是白球的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解
即可．
【解答】解：列表如下
黑 白 白
黑 （黑，黑） （白，黑） （白，黑）
白 （黑，白） （白，白） （白，白）
白 （黑，白） （白，白） （白，白）
由表可知，共有9种等可能结果，其中前后两次摸出的球都是白球的有4种结果，
所以前后两次摸出的球都是白球的概率为 ，
故答案为： ．
15方程2（x﹣3）＝6的解是 ．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】x＝6．
【分析】按照去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可．
【解答】解：方程两边同除以2得：
x﹣3＝3．
移项，合并同类项得：
x＝6．
故答案为：x＝6．
16如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D为圆心，
AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留
）
π【考点】菱形的性质；扇形面积的计算．
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；运算能力；应用意识．
【答案】96﹣100 ．
【分析】先求出菱π形面积，再计算四个扇形的面积即可求解．
【解答】解：在菱形ABCD中，有：AC＝12，BD＝16．
∴ ．
∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°．
∴四个扇形的面积，是一个以 AB的长为半径的圆．
∴图中阴影部分的面积＝ ×12×16﹣ ×102＝96﹣100 ．
π π
故答案为：96﹣100 ．
17如图，△ABC中，点π D为边BC的中点，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC
所在平面内，得△ADC′，连接CC′，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE
＝BE，BC′＝2，则AD的长为 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】三角形；图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力；应用意识．
【答案】3．
【分析】根据翻折的性质和三角形的中位线可以得到OD的长，然后根据全等三角形的
判定和性质可以得到AO的长，从而可以求得AD的长．【解答】解：由题意可得，
△DCAQ≌△DC′A，OC＝OC′，∠COD＝∠C′OD＝90°，
∴点O为CC′的中点，
∵点D为BC的中点，
∴OD是△BCC′的中位线，
∴OD＝ BC′，OD∥BC′，
∴∠COD＝∠EC′B＝90°，
∵AE＝BE，BC′＝2，
∴OD＝1，
在△EC′B和△EOA中，
，
∴△EC′B≌△EOA（AAS），
∴BC′＝AO，
∴AO＝2，
∴AD＝AO+OD＝2+1＝3，
故答案为：3．
18盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现
销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为
A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音
箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音
箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核
算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、
多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为 元．
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】155．
【分析】根据题意确定B盲盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出代数式，解代
数式即可．
【解答】解：∵蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱；
∴B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22﹣2﹣3﹣1﹣1﹣3﹣2＝10（个），
∵B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱
的数量之比为3：2，
∴B盒中有多接口优盘10× ＝5（个），蓝牙耳机有5× ＝3（个），迷你音箱有10
﹣5﹣3＝2（个），
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为a元，b元，c元，
由题知： ，
∵①×2﹣②得：a+b＝45，
②×2﹣①×3得：b+c＝55，
∴C盒的成本为：a+3b+2c＝（a+b）+（2b+2c）＝45+55×2＝155（元），
故答案为：155．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须
给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答
过程书写在答题卡中对应的位置上.
19计算：
（1）a（2a+3b）+（a﹣b）2；
（2） ÷（x+ ）．
【考点】单项式乘多项式；完全平方公式；分式的混合运算．
【专题】整式；分式；运算能力．
【答案】（1）3a2+ab+b2；（2） ．
【分析】（1）先利用单项式乘多项式法则、完全平方公式计算，再合并同类项即可；
（2）先将被除式分子、分母因式分解，同时计算括号内分式的加法，再将除法转化为
乘法，继而约分即可．
【解答】解：（1）原式＝2a2+3ab+a2﹣2ab+b2
＝3a2+ab+b2；（2）原式＝ ÷（ + ）
＝ ÷
＝ •
＝ ．
20. 2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史
知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞
赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：
抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：
6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．
七八年级教师竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8.5 8.5
中位数 a 9
众数 8 b
优秀率 45% 55%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．
【考点】用样本估计总体；中位数；众数．
【专题】数据的收集与整理；应用意识．
【答案】（1）8；9．（2）102人；（3）八年级教师更加优异．
【分析】（1）根据中位数定义、众数的定义即可找到a、b的值．（2）计算出成绩达到8分及以上的人数的频率即可求解．
（3）根据优秀率进行评价即可．
【解答】解：（1）∵七年级教师的竞赛成绩：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，
9，9，9，9，10，10，10，10，10．
∴中位数a＝8．
根据扇形统计图可知D类是最多的，故b＝9．
故答案为：8；9．
（2）该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数＝ ＝
102（人）．
（3）根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：45%、55%．故八年级的教师学习党史
的竞赛成绩谁更优异．
21如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：
作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线
段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作
法）
【考点】平行四边形的性质；作图—基本作图．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力；应用意识．
【答案】图见解答过程；猜想：DF＝3BF证明过程见解答．
【分析】根据题意作出图即可；
【解答】解：如图：猜想：DF＝3BF．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形．
∴OA＝OC，OD＝OB．
∵AC＝2AB．
∴AO＝AB．
∵∠BAC的角平分线与BC交于点E．
∴BF＝FO．
∴DF＝3BF．
22探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括
函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请
按要求完成下列各小题．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 5 4 a 2 1 b 7 …
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：
m＝ ，a＝ ，b＝ ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写
出该函数的一条性质： ；
（3）已知函数y＝ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|﹣
2x+6|+m＞ 的解集．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】数形结合；应用意识．
【答案】（1）﹣2，3，4；
（2）图象见解答过程，当x＝3时函数有最小值y＝1（答案不唯一）；
（3）x＜0或x＞4．
【分析】（1）代入一对x、y的值即可求得m的值，然后代入x＝1求a值，代入x＝4
求b值即可；
（2）利用描点作图法作出图像并写出一条性质即可；
（3）根据图像求出即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，|6|+m＝4，
解得：m＝﹣2，
即函数解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2，
当x＝1时，a＝1+|﹣2+6|﹣2＝3，
当x＝4时，b＝4+|﹣2×4+6|﹣2＝4，
故答案为：﹣2，3，4；
（2）图象如右图，根据图象可知当x＝3时函数有最小值y＝1；
（3）根据当y＝x+|﹣2x+6|﹣2的函数图象在函数y＝ 的图象上方时，不等式 x+|﹣2x+6|﹣2＞ 成立，
∴x＜0或x＞4．
23重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经
典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生
面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，
4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．为回馈广大食
客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格
降低 a%．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”
小面的销量在4月的基础上增加 a%，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加
a%．求a的值．
【考点】二元一次方程组的应用；一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）每份“堂食”小面的价格为7元，每份“生食”小面的价格为5元；
（2）a＝8．
【分析】（1）设每份“堂食”小面的价格为x元，每份“生食”小面的价格为y元，根据3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份
“生食”小面的总售价为33元列方程组解出可得结论；
（2）根据5月“堂食”小面的销售额+“生食”小面的销售额＝4月的总销售额（1+
a%），用换元法解方程可得结论．
【解答】解：（1）设每份“堂食”小面的价格为x元，每份“生食”小面的价格为y元，
根据题意得： ，
解得： ，
答：每份“堂食”小面的价格为7元，每份“生食”小面的价格为5元；
（2）由题意得：4500×7+2500（1+ a%）×5（1﹣ a%）＝（4500×7+2500×5）（1+
a%），
设a%＝m，则方程可化为：9×7+25（1+ m）（1﹣ m）＝（9×7+25）（1+ m），
375m2﹣30m＝0，
m（25m﹣2）＝0，
解得：m ＝0（舍），m ＝ ，
1 2
∴a＝8．
24对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上
的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：m＝3507，因为3+7＝2×
（5+0），所以3507是“共生数”；m＝4135，因为4+5≠2×（1+3），所以4135不是
“共生数”．
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位
上的数字之和能被9整除时，记F（n）＝ ．求满足F（n）各数位上的数字之和是偶
数的所有n．
【考点】列代数式；因式分解的应用．
【专题】新定义；运算能力．【答案】（1）5313是“共生数”，6437不是“共生数”；
（2）2148或3069．
【分析】（1）根据题目中的定义，可直接判断5313，6437是否为“共生数”；
（2）根据定义，先用两个未知数表示F（n），然后列出含有n的式子，找出满足要求
的结果即可．
【解答】解：（1）∵5+3＝2×（3+1），
∴5313是”共生数“，
∵6+7≠2×（3+4），
∴6437不是“共生数”；
（2）∵n是“共生数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字，
设n的千位上的数字为a，则十位上的数字为2a，（1≤a≤4），
设n的百位上的数字为b，
∵个位和百位都是0﹣9的数字，
∴个位上的数字为9﹣b，且9﹣b＞b，
∴0≤b≤4
∴n＝1000a+100b+20a+9﹣b；
∴F（n）＝ ＝340a+33b+3，
由于n是“共生数”，
∴a+9﹣b＝2×（2a+b），
即a+b＝3，
可能的情况有：
，
∴n的值为1227或2148或3069，
各位数和为偶数的有2148和3069，
∴n的值是2148或3069．
25如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，
0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛
物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线AD平移4 个单位，
得到新的抛物线y ，点E为点P的对应点，点F为y 的对称轴上任意一点，在y 上确定
1 1 1
一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点
G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4；（2）8；（3）G（ ）或G（ ）或G（
）．
【分析】（1）直角代入点A，B坐标即可；
（2）作PE∥y轴交直线AD于E，通过铅垂高表示出△APD的面积即可求出最大面积；
（3）通过平移距离为4 ，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，得出平
移后的抛物线关系式和E的坐标，从而平行四边形中，已知线段 DE，分DE为边还是
对角线，通过点的平移得出G的横坐标即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得
，
∴ ，
∴y＝x2﹣3x﹣4，
（2）当x＝0时，y＝﹣4，
∴点C（0，﹣4），∵点D与点C关于直线l对称，
∴D（3，﹣4），
∵A（﹣1，0），
∴直线AD的函数关系式为：y＝﹣x﹣1，
设P（m，m2﹣3m﹣4），
作PE∥y轴交直线AD于E，
∴E（m，﹣m﹣1），
∴PE＝﹣m﹣1﹣（m2﹣3m﹣4）
＝﹣m2+2m+3，
∴S△APD ＝ ＝2（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+4m+6，
当m＝﹣ ＝1时，S△APD 最大为＝8，
（3）∴直线AD与x轴正方向夹角为45°，
∴沿AD方向平移 ，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位，
∵P（1，﹣6），
∴E（5，﹣10），
抛物线y＝x2﹣3x﹣4平移后y ＝x2﹣11x+20，
1
∴抛物线y 的对称轴为：直线x＝ ，
1当DE为平行四边形的边时：
若D平移到对称轴上F点，则G的横坐标为 ，
代入y ＝x2﹣11x+20得y＝﹣ ，
1
∴ ，
若E平移到对称轴上F点，则G的横坐标为 ，
代入y ＝x2﹣11x+20得y＝ ，
1
∴ ，
若DE为平行四边形的对角线时，
若E平移到对称轴上F点，则G平移到D点，
∴G的横坐标为 ，
代入y ＝x2﹣11x+20得y＝﹣ ，
1
∴∴G（ ）或G（ ）或G（ ），
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，
画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
26在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD
上一点，连接EF．
（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；
②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：
BE+BH＝ BF；
（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，
点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+ MP最小时，直接写出△DPN的面积．
【考点】几何变换综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力；模型思想；应用意识．
【答案】（1）① ；
②证明见解答过程；
（2） ．
【分析】（1）①过D作DH⊥GC于H，先证明△BGF是等边三角形，求出CD长度，
再证明BF＝CF＝GF，从而在Rt△BDC中，求出CF＝ ＝ ＝2 ，
即得GF，在Rt△CDH中，求出DH＝CD•sin30°＝ 和CH＝CD•cos30°＝ ，可得
GH＝GF+FH＝ ，Rt△GHD中，即可得到DG＝ ＝ ；
②过E作EP⊥AB交BD于P，过H作MH⊥BC交BD于M，连接PG，作BP中点N，
连接EN，由∠ABC+∠EFH＝180°，得B、E、F、H共圆，可得∠FBH＝∠FEH，从而
可证HF＝GF，由E、P、F、G共圆可得∠BMH＝∠GPF＝60°，故△GFP≌HFM，PF
＝FM，可得 NF＝MH，BF＝MH+EP，在 Rt△BEP 中，EP＝BE•tan30°＝ BE，
Rt△MHB中，MH＝BH•tan30°＝ BH，即可得到BE+BH＝ BF；
（2）以M为顶点，MP为一边，作∠PML＝30°，ML交BD于G，过P作PH⊥ML于
H，设MP交BD于K，Rt△PMH中，HP＝ MP，NP+ MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，而将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，可得∠QKP＝
∠FEP＝60°，从而可证ML∥AC，四边形GHND是矩形，由DN＝2NC，得DN＝GH＝
2，由等边△ABC中，AB＝6，点E为AB中点时，点M为BE中点，可得BM＝ ，BD
＝AB•sinA＝3 ，Rt△BGM中，MG＝ BM＝ ，BG＝BM•cos30°＝ ，可求MH
＝MG+GH＝ ，GD＝BD﹣BG＝ ，Rt△MHP中，可得HP＝ ，从而可得
PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP＝ ，故S△DPN ＝ PN•DN＝ ．
【解答】解：（1）①过D作DH⊥GC于H，如图：
∵线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，点E与点B重合，且GF的延长线过点
C，
∴BG＝BF，∠FBG＝60°，
∴△BGF是等边三角形，
∴∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF，
∵等边△ABC，AB＝6，BD⊥AC，
∴∠DCF＝180°﹣∠BDC﹣∠DFC＝30°，∠DBC＝ ∠ABC＝30°，CD＝ AC＝ AB＝
3，
∴∠BCG＝∠ACB﹣∠DCF＝30°，
∴∠BCG＝∠DBC，
∴BF＝CF，
∴GF＝CF，Rt△BDC中，CF＝ ＝ ＝2 ，
∴GF＝2 ，
Rt△CDH中，DH＝CD•sin30°＝ ，CH＝CD•cos30°＝ ，
∴FH＝CF﹣CH＝ ，
∴GH＝GF+FH＝ ，
Rt△GHD中，DG＝ ＝ ；
②过E作EP⊥AB交BD于P，过H作MH⊥BC交BD于M，连接PG，作BP中点N，
连接EN，如图：
∵EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，
∴△EGF是等边三角形，
∴∠EFG＝∠EGF＝∠GEF＝60°，∠EFH＝120°，EF＝GF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABC+∠EFH＝180°，
∴B、E、F、H共圆，
∴∠FBH＝∠FEH，
而△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，即∠FBH＝30°，
∴∠FEH＝30°，
∴∠FHE＝180°﹣∠EFH﹣∠FEH＝30°，
∴EF＝HF＝GF①，∵EP⊥AB，∠ABD＝30°，
∴∠EPB＝60°，∠EPF＝120°，
∴∠EPF+∠EGF＝180°，
∴E、P、F、G共圆，
∴∠GPF＝∠GEF＝60°，
∵MH⊥BC，∠DBC＝30°，
∴∠BMH＝60°，
∴∠BMH＝∠GPF②，
而∠GFP＝∠HFM③，
由①②③得△GFP≌HFM（AAS），
∴PF＝FM，
∵EP⊥AB，BP中点N，∠ABD＝30°，
∴EP＝ BP＝BN＝NP，
∴PF+NP＝FM+BN，
∴NF＝ BM，
Rt△MHB中，MH＝ BM，
∴NF＝MH，
∴NF+BN＝MH+EP，即BF＝MH+EP，
Rt△BEP中，EP＝BE•tan30°＝ BE，
Rt△MHB中，MH＝BH•tan30°＝ BH，
∴BF＝ BE+ BH，
∴BE+BH＝ BF；
（2）以M为顶点，MP为一边，作∠PML＝30°，ML交BD于G，过P作PH⊥ML于
H，设MP交BD于K，如图：Rt△PMH中，HP＝ MP，
∴NP+ MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，
∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，
∴F在射线QF上运动，则P在射线MP上运动，根据“瓜豆原理”，F为主动点，P是
从动点，E为定点，∠FEP＝60°，则F、P轨迹的夹角∠QKP＝∠FEP＝60°，
∴∠BKM＝60°，
∵∠ABD＝30°，
∴∠BMK＝90°，
∵∠PML＝30°，
∴∠BML＝60°，
∴∠BML＝∠A，
∴ML∥AC，
∴∠HNA＝180°﹣∠PHM＝90°，
而BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠HNA＝∠PHM＝90°，
∴四边形GHND是矩形，
∴DN＝GH，
∵边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，
∴CD＝3，
又DN＝2NC，
∴DN＝GH＝2，
∵等边△ABC中，AB＝6，点E为AB中点时，点M为BE中点，∴BM＝ ，BD＝AB•sinA＝6×sin60°＝3 ，
Rt△BGM中，MG＝ BM＝ ，BG＝BM•cos30°＝ ，
∴MH＝MG+GH＝ ，GD＝BD﹣BG＝ ，
Rt△MHP中，HP＝MH•tan30°＝ ，
∴PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP＝ ，
∴S△DPN ＝ PN•DN＝ ．
