文档内容
铜川市 2024 年高三质量检测卷
数学（理科）
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的
指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题
区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作
答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：高考范围。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．若集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
3．从1，2，…，9这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的9倍，则它的侧面积扩大为原来的（ ）
A． 倍 B．3倍 C． 倍 D．9倍
5．已知 ， 是 上的两个动点， 是线段 的中点，若 ，则点
的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司6．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
7．设 为抛物线 的焦点，点 在抛物线上，点 在准线 上．满足 轴．若 ，
则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
8．在递增等比数列 中，其前 项和为 ，且 是 和 的等差中项，则 （ ）
A．28 B．20 C．18 D．12
9．已知函数 且满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
10．已知函数 满足 （其中 是 的导数），若 ，
， ，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．正四棱锥 内有一球与各面都相切，球的直径与边 的比为 ，则 与平面 所成
角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知斜率为 的直线 经过双曲线 的右焦点 ，交双曲线 的右支于 ，
学科网（北京）股份有限公司两点，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量 ， ，且 ，则 ______．
14．已知锐角 ， 满足 ， ，则 ______．
15．如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，
按图中结构第 个图的化学键和原子的个数之和为______个．（用含 的代数式表示）
15．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为______．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每
个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等是传统的重大春祭节日，扫墓祭祀、缅怀祖先，是中华民
族自古以来的优良传统．某社区进行流动人口统计，随机抽取了100人了解他们今年是否回老家祭祖，得到
如下不完整的 列联表：
回老家 不回老家 总计
50周岁及以下 55
50周岁以上 15 40
总计 100
（1）根据统计完成以上 列联变，并根据表中数据估计该社区流动人口中50周岁以上的居民今年回老家
祭祖的概率；
（2）能否有 的把握认为回老家祭祖与年龄有关？
参考公式： ，其中 ．
参考数据：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
学科网（北京）股份有限公司18．（本小题满分12分）
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ．
（1）证明： ；
（2）若 ，当 取最大值时，求 的面积．
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥 中，侧面 底面 ，且 为等边三角形， ， ，
为 的中点．
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上，且椭圆 的离
心率为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）相互垂直且斜率存在的直线 ， 都过点 ．直线 与椭圆 相交于 ， 两点，直线 与椭圆
相交于 ， 两点，点 为线段 的中点，点 为线段 的中点，证明：直线 过定点．
21．（本小题满分12分）
已知函数 ．
（1）若 ，求 在点 处的切线方程；
学科网（北京）股份有限公司（2）若 是 的两个极值点，证明： ．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一
题计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点为极点， 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）设直线 与曲线 ， 分别交于 ， 两点（异于极点），求线段 的长度．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知 ， ，函数 的最小值为2，证明：
（1） ；
（2） ．
铜川市 2024 年高三质量检测卷・数学（理科）
参考答案、提示及评分细则
1．B 由题意知 ， ，所以
．故选B．
2．A ，则 ．故选A．
3．C 和为质数有 ，
共14种情况，因此概率为 ．故选C．
4．B 设圆柱的高为 ，底面半径为 ，则体积为 ，体积扩大为原来的9倍，则扩大后的体积为 ，
学科网（北京）股份有限公司因为高不变，故体积 ，即底面半径扩大为原来的3倍，原来侧面积为 ，扩大后的圆
柱侧面积为 ，故侧面积扩大为原来的3倍．故选B．
5．C 因为 中点为 ，又 ，所以 ，点 在以 为圆心，4为半径的圆上，
其轨迹方程为 ．故选C．
6．C 因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 ．故选C．
7．A 依题意， ， 为等边三角形， ．故选A．
8．A 根据题意得 ， ，解得 或 （舍），则
，故选A．
9．B 由 可知： 关于 对称，故 ， ，
时， 取最小值为 ．故选B．
10．A ，令 ，则 在 上恒成
立，故 在 上为减函数，故 ，则
，故 ，即 ．故选A．
11．C 设球心为 ， 在平面 内的射影为 ， 为 中点， 于 ，半径为 ，
学科网（北京）股份有限公司， ，则 ，
．故选C．
12．C 设 ， ，直线 的方程为 ，其中 ，联立
得 ． ， ，由 ，得
，即 ， ，即 ， ，
整理得 ， 离心率 ．故选C．
13． ， ， ，解得 ， ，
．
14． 由 ， ， ， 均为锐角，得 ， ，则
学科网（北京）股份有限公司．
15． 由图，第1个图中有6个化学键和6个原子；
第2个图中有11个化学键和10个原子；
第3个图中有16个化学键和14个原子，
观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子，
则第 个图有 个化学键和 个原子，所以总数为 ．
16． ，即 ，对
恒成立，当 时， ，
，故 符合题意，当 时， ，
，在 上， 不合题意，故 ．
17．解：（1）补全表格如下：
回老家 不回老家 总计
50周岁及以下 5 55 60
50周岁以上 15 25 40
总计 20 80 100
该社区50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率为 ；
（2） ，
有 的把握认为是否回老家祭祖与年龄有关．
18．（1）证明： ，
则 ，
而 ，
学科网（北京）股份有限公司故 ，
故 ，
故 ；
（2）解： ，
当且仅当 时， 取最大值，此时， 且 ，则 ，
，故 ．
19．（1）证明：如图，取 中点 ，连接 ， ，
为等边三角形， ，
又侧面 底面 ， 底面 ，侧面 底面 ，
平面 ． 平面 ， ，
又 ， 分别为 ， 中点， ，
又 ， ，
， 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， ；
（2）解：以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设等边 的边长为4，
， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 即 则可取 ，
学科网（北京）股份有限公司，
直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
20．解：（1）设点 ， 的坐标分别为 、 ．
由题意有 解得
故椭圆 的标准方程为 ；
（2）证明：设直线 的斜率为 ，可得直线 的斜率为 ，
设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
直线 的方程为 ，
联立方程 消除 后有 ，有 ，可得 ，
，
学科网（北京）股份有限公司同理 ， ，
由对称性可知直线 所过的定点 必定在 轴上，设点 的坐标为 ，
有 ，有 ，化简得 ，解得 ，
故直线 过定点 ．
21．解：（1）当 时， ， ， ， ，
所以 在 处的切线方程为 ；
（2）证明如下：由题意可知 是方程 的两个不等的正实数根，
， ，
．
要证 成立，只需证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，即证 ，
设 ，则 ，即证 ，
令 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司在 上单调递减，则 ， ，故 ．
22．解：（1）曲线 （ 为参数），消去参数得 ，
将 代入，得曲线 的极坐标方程为 ，
由 得 ， ，
曲线 的直角坐标方程为 ；
（2）易知直线 的极坐标方程为 ，
代入曲线 ， 的极坐标方程得 ， ，
．
23．解：由于 ， ，则 ，当且仅当 取等号，
故 的最小值为 ．
证明：（1） ， ， ， ， ，
，
当且仅当 ， 时取等号；
（2） ， ，
，
当且仅当 ，即 时取等号．
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